。1174 北京科技大学学报 第29卷 为了从式(14)得到未知参数内1(k)和2(k), 从式(17)知加权系数1(k)存在的条件是R 只需要两个优化点H1和H2,则式(14)改写为： 存在，因此在选择控制器参数H1、H2、4和H,时 J=[ym(k+H)+e(k+H)-y(k+H 应保证此条件满足.实际中使得R=1/(R1R3一 [ym(k+H2)+e(k+H2)-y(k+H2]2+ R2)存在，即R1R3一R2≠0的条件很容易满足，只 ,(k)+(H-1)2(k2+ 要在控制器调节时选择合适的参数即可. g,41(k)+(H2-)2(k]2 (15) 3稳定性分析 将式(11)、(12)和(13)分别带入式(15)可得： 假设Kautz模型能够准确逼近真实模型，利用 J=[L1(k)+M11()+M122(k月2+ 公式(18)和系统状态方程(7)可得控制系统的闭环 [L2(k)+M1凸(k)+M22(k)2+ 状态空间方程如下： 4[1(k)+(H-)2(k]2+ X(k+1)=AX(k)+A,X(k-1)+ H,IA(k)+(H2-1)2(k]2 (16) B2Sww(k)+Bou(k-1) (19) 式中， 式中，A=A1十B2Sx十CB2S,A=A2十B2Sx1, Li(y)=ymHi+e(k+H)-y(k+H), Bo=B1+B2So.由公式(7)、(18)和(19)得： ymH= u(k)=(Sx+SyC)X(k)+S1x(k-1)+ COn,X(k)+COn X(k-1)+CQou,u(k-1), Sww(k)+Sou(k-1) (20) Lk)=ymH2+e(k+H2)-y(k+H2), 定理1设矩阵 ym H2= Ai A Bo COn,X(k)+CO,X(k-1)+CQou,u(k-1), M- 00 Sx+SyC Sx-1 So M1=C g,M=c总 如果满足条件入(M川<1，则闭环控制系统稳定. H H 证明：由于设定值的引入不会影响所设计控制 a-cu,a-c 系统的稳定性，所以在分析闭环控制系统稳定之前 令w(k)=0,此时式(19)和(20)变为： 令 ,(k0-0, X(k+1)=AX(k)+A.X(k-1)+Bou(k-1) 可求得： (21) 1(k)=SxX(k)+Sx-1X(k-1)+ u(k)=(Sx十SC)X(k)+ Sy(k)+Sww(k)+Sou(k-1) (17) Sx-1X(k-1)+Sou(k-1) (22) 式中： 将式(21)和(22)写成增广矩阵形式： Sx=Vi(Q-C)+v2(Qn,-C), X(k+1)门 Sx-1=V1QH十2QH, X(k) So=ViOou,+V2Cou u(k) Bo S,=V11-a")+y21-a), A年 X(k)1 0 0 X(k-1) (23) S.-VidV-R(R:Mz-RM). Sx+SyC Sx1 So L u(k-1) V2=R(R2M22-R3M12), 简记为： R1=Min+Miz+A+A: Z(k+1)=MZ(k) (24) R2=MM+M2Mm+HH1-)+g,(H-1), 依据Lyapunov稳定性定理得到闭环系统稳定条件： I入(M)<1 (25) R3=Mi+Mi2十g,(H1-1)+g,(H2-1), 定理1证毕. R=1/(R1R3-R2). 则当前控制量： 4仿真 u(k)=1(k) (18) 为了验证算法的有效性进行了大量的仿真实为了从式( 14) 得到未知参数 μ1 ( k ) 和 μ2( k ), 只需要两个优化点 H1 和 H2, 则式( 14)改写为 : J =[ y m( k +H1) +e ( k +H1) -y r( k +H1)] 2 + [ ym( k +H2) +e( k +H2) -y r( k +H2)] 2 + λH1 [ μ1( k ) +( H1 -1) μ2( k)] 2 + λH2 [ μ1( k ) +( H2 -1) μ2( k )] 2 ( 15) 将式( 11) 、( 12) 和( 13)分别带入式( 15) 可得: J =[ L1( k ) +M11 μ1() +M12 μ2( k )] 2 + [ L2( k ) +M21 μ1( k ) +M22 μ2( k )] 2 + λH1 [ μ1( k ) +( H1 -1) μ2( k)] 2 + λH 2 [ μ1( k ) +( H2 -1) μ2( k )] 2 ( 16) 式中, L 1( y) =y mH1 +e( k +H1) -y r( k +H1), ym H1 = CQH1 X( k ) +C QH1 X( k -1) +CQ0uH1 u ( k -1) , L 2( k) =y mH2 +e( k +H2) -y r( k +H2), ym H2 = CQH2 X( k ) +CQH2 X( k -1) +CQ0uH2 u( k -1) , M11 =C ∑ H1 j =1 Qj uH 1 , M12 =C ∑ H1 j =2 ( j -1) Qju H 1 , M21 =C ∑ H 2 j =1 Qj uH2 , M22 =C ∑ H 2 j =2 ( j -1) Qju H2 . 令 J μ1( k ) =0, J μ2( k ) =0, 可求得: μ1( k ) =SxX( k ) +Sx -1X( k -1) + S yy ( k ) +S w w( k ) +S 0 u( k -1) ( 17) 式中 : Sx =V 1( QH1 -C) +V 2( QH2 -C), Sx -1=V 1 QH 1 +V2 QH 2 , S 0 =V 1 Q0uH 1 +V2 Q0uH 2 , Sy =V 1( 1 -α H1 ) +V 2( 1 -α H2 ), S w =V 1α H1 +V 2α H2 , V1 =R ( R 2 M21 -R 3 M11), V2 =R ( R 2 M22 -R 3 M12), R 1 =M 2 11 +M 2 12 +λH 1 +λH 2 , R2=M11 M21+M12 M22 +λH1 ( H1-1) +λH2 ( H2-1), R 3 =M 2 21 +M 2 22 +λH 1 ( H1 -1) +λH 2 ( H2 -1), R =1/( R 1R3 -R 2) . 则当前控制量: u ( k) =μ1( k) ( 18) 从式( 17)知, 加权系数 μ1( k ) 存在的条件是 R 存在, 因此在选择控制器参数 H1 、H2 、λH 1和 λH 2时 应保证此条件满足 .实际中使得 R =1/ ( R 1R 3 - R 2)存在, 即 R 1R 3 -R 2 ≠0 的条件很容易满足, 只 要在控制器调节时选择合适的参数即可. 3 稳定性分析 假设 Kautz 模型能够准确逼近真实模型, 利用 公式( 18)和系统状态方程( 7)可得控制系统的闭环 状态空间方程如下 : X( k +1) =Af X( k ) +As X( k -1) + B2 S w w ( k ) +B0 u( k -1) ( 19) 式中, Af =A1 +B2 Sx +CB2 Sy , As =A2 +B2Sx-1, B0 =B1 +B2 S 0.由公式( 7) 、( 18) 和( 19)得: u( k ) =( Sx +S yC) X( k ) +Sx-1 X( k -1) + S w w( k ) +S0 u( k -1) ( 20) 定理 1 设矩阵 M = Af As B0 I 0 0 Sx +SyC Sx -1 S 0 , 如果满足条件 λi( M ) <1, 则闭环控制系统稳定. 证明:由于设定值的引入不会影响所设计控制 系统的稳定性, 所以在分析闭环控制系统稳定之前 令 w( k ) =0, 此时式( 19) 和( 20)变为: X( k +1) =Af X( k) +As X( k -1) +B0 u( k -1) ( 21) u( k ) =( Sx +S yC) X( k ) + Sx -1 X( k -1) +S 0 u ( k -1) ( 22) 将式( 21)和( 22)写成增广矩阵形式: X( k +1) X( k ) u( k ) = Af As B0 I 0 0 Sx +S yC Sx-1 S 0 X( k ) X( k -1) u ( k -1) ( 23) 简记为 : Z( k +1) =MZ ( k ) ( 24) 依据 Lyapunov 稳定性定理得到闭环系统稳定条件: λi( M ) <1 ( 25) 定理 1 证毕 . 4 仿真 为了验证算法的有效性进行了大量的仿真实 · 1174 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 29 卷