第11期 许鸣珠等：基于KAUTZ摸型的预测函数控制及其稳定条件 。1173。 结合图1和式(6)可以得到系统模型的状态空 间方程： u(k+i)= 凸(k)u(i) (9) =1 X(k+1)=A1X(k)+A2X(k-1)+BU(k) 式中，u(i)是基函数在第k十i采样周期的取值， y(k+1)=CX(k+1) ,是基函数个数，凸(k)是对应基函数的线性加权 (7) 系数.P℉C中基函数的选择依赖于设定值和对象本 式中，X(k)、X(k一1)、Uk)和C的表达式如下： 身的性质，通常可取为阶跃、斜坡、指数函数等.对 X()=[x(k)x2(k)…x(k]T, 于一般对象取两个基函数，阶跃及斜坡函数来构造 Xk-1)=[x1(k-)x2k-1)…xx(k-1功T, 控制量均能满足要求.本文中控制量取为如下 形式： U(k)=[u(k-1)u(k], u(k+i=1(k)+i2(k) (10) C=[g1g2…5…gN· 利用线性状态反馈预测理论，可以从式(7)和 其中A1和A2是NXN下三角矩阵，B是N×2矩 (10)得出未来k十i时刻的系统模型预测输出： 阵具体形式如下所示： ym(k十i)= a11 0 0 cOX(k)+COX(k-1)+COoiu(k-1)+ Q21 Q22 0 A1= c空g4(+c会-lg() LONI ON2 ONN (11) 「B11 0 07 其中：01=A,Q2=A1Q1+A2Q3=A1Q2+ B21 P22 0 A2Q1,,Q=A1Q-1+A2Q-2:Q=A2,Q2= A1Q1,Q3=AQ2+A2Q1,Q:=A0-1+ LBNI BN2 BNN A2Q-2:如果=i,则2u=B2;如果j=i-1,则 011 012] Q加i=A1Qm(i-)十B1;如果j<i-L,Qmi= B=1-2 021 02m =[B1B. A12u(-1)+A2QMi-2. P℉C是一种闭环控制算法，在实际情况下由于 L GNI GN2 二次噪声、系统时变等原因而引起模型预测输出与 由式7)可知，当极点和截断阶次N确定以 对象输出之间存在一定的预测误差.将预测误差通 后，所表征对象的变化可以通过Kautz模型的系数 过一个预估器对未来优化时域中的误差加以补偿 向量C的变化来反映，由于X(k+1)可以由式(7) 可以提高控制精度，取未来预测误差为： 通过U(k)计算得到，则系数C可以方便地应用式 e(k+i)=y(k)-ym(k) (12) (8)的最小二乘辨识算法在线获得. 式中，y(k)和ym(k)为k时刻的系统输出与模型 C(k)=C(k-1)+ 输出. P(k-1)x(k)Ly(k)-C(k)X(k1 控制系统的参考轨迹取值如下： Y+X(k)P(k-1)x(k) y,(k+i)=ay(k)+(1-d)w(k)(13) P(k)-P(k-V- 式中，a=xp(-T/T),T,是采样周期，Tr是闭 环系统期望响应时间，w(k)是设定值. P(k-1)x(k X(k P(k-1 Y+K(k)P(k-1)Xk)」 本文采用下面的二次型性能指标计算控制量 8 u(k): 其中，Y为遗忘因子. J= [ym(k+i)+e(k+i)-y(k+i)]2 2基于Kaut忆模型的预测函数控制 预测函数控制的特点在于将输入结构化，认为 u(k+i-12 (14) 每一时刻的控制输入“是事先选定的基函数u的 式中，【H1,H2]是优化时域入是控制量的加权 线性组合，即： 系数.结合图 1 和式( 6)可以得到系统模型的状态空 间方程: X( k +1) =A1 X( k ) +A2X( k -1) +BU( k ) y ( k +1) =CX( k +1) ( 7) 式中, X( k ) 、X( k -1) 、U( k )和 C 的表达式如下 : X( k) =[ x 1( k ) x 2( k ) … x N( k )] T , X( k -1) =[ x1( k -1) x 2( k -1) … xN ( k -1)] T , U( k) =[ u( k -1) u( k )] T , C =[ g1 g2 … gj … gN] . 其中 A1 和 A2 是 N ×N 下三角矩阵, B 是N ×2 矩 阵, 具体形式如下所示: A1 = α11 0 … 0 α21 α22 … 0    αN 1 αN 2 … αNN , A2 = β11 0 … 0 β21 β22 … 0    βN 1 βN2 … βNN , B = 1 -c 2 σ11 σ12 σ21 σ22   σN1 σN 2 =[ B1 B2] . 由式( 7)可知, 当极点 ξ和截断阶次 N 确定以 后, 所表征对象的变化可以通过 Kautz 模型的系数 向量 C 的变化来反映, 由于 X( k +1)可以由式( 7) 通过 U( k ) 计算得到, 则系数 C 可以方便地应用式 ( 8)的最小二乘辨识算法在线获得 . C( k ) =C( k -1) + P ( k -1) X( k )[ y( k ) -C( k) X( k)] γ+X T ( k ) P( k -1) X( k ) T P ( k ) = 1 γ P( k -1) - P ( k -1) X( k ) X T ( k ) P ( k -1) γ+K T ( k ) P( k -1) X( k ) ( 8) 其中, γ为遗忘因子. 2 基于 Kautz 模型的预测函数控制 预测函数控制的特点在于将输入结构化, 认为 每一时刻的控制输入 u 是事先选定的基函数 ubj 的 线性组合, 即: u( k +i) = ∑ n b j =1 μj ( k) ubj( i) ( 9) 式中, u bj( i)是基函数在第 k +i 采样周期的取值, nb 是基函数个数, μj ( k )是对应基函数的线性加权 系数.PFC 中基函数的选择依赖于设定值和对象本 身的性质, 通常可取为阶跃、斜坡、指数函数等 .对 于一般对象取两个基函数, 阶跃及斜坡函数来构造 控制量均能满足要求.本文中控制量取为如下 形式: u( k +i) =μ1( k ) +iμ2( k ) ( 10) 利用线性状态反馈预测理论, 可以从式( 7) 和 ( 10)得出未来 k +i 时刻的系统模型预测输出 : y m( k +i) = CQiX( k ) +C QiX( k -1) +CQ0u iu( k -1) + C ∑ i j =1 Qj uiμ1( k ) +C ∑ i j =2 ( j -1) Qj uiμ2( k ) ( 11) 其中 :Q1 =A1, Q2 =A1 Q1 +A2, Q3 =A1 Q2 + A2 Q1, …, Qi =A1 Qi-1 +A2 Qi-2 ;Q1 =A2, Q2 = A1 Q1, Q3 = A1 Q2 +A2 Q1, …, Qi = A1 Qi -1 + A2 Qi-2 ;如果 j =i, 则 Qj ui =B2 ;如果 j =i -1, 则 Qju i =A1 Qju( i -1) +B1 ;如 果 j <i -1, Qju i = A1 Qju( i -1) +A2 Qj u( i -2) . PFC 是一种闭环控制算法, 在实际情况下由于 二次噪声 、系统时变等原因而引起模型预测输出与 对象输出之间存在一定的预测误差 .将预测误差通 过一个预估器, 对未来优化时域中的误差加以补偿, 可以提高控制精度, 取未来预测误差为: e( k +i) =y ( k) -y m( k ) ( 12) 式中, y ( k ) 和 y m( k )为 k 时刻的系统输出与模型 输出. 控制系统的参考轨迹取值如下: y r( k +i) =α i y ( k) +( 1 -α i ) w ( k) ( 13) 式中, α=ex p( -Ts/ T r), Ts 是采样周期, T r 是闭 环系统期望响应时间, w ( k) 是设定值 . 本文采用下面的二次型性能指标计算控制量 u ( k ) : J = ∑ H2 i =H1 [ y m( k +i) +e( k +i) -y r( k +i)] 2 + ∑ H2 i =H1 λi[ u( k +i -1)] 2 ( 14) 式中, [ H1, H2] 是优化时域, λi 是控制量的加权 系数. 第 11 期 许鸣珠等:基于 KAUTZ 模型的预测函数控制及其稳定条件 · 1173 ·