基于KAUTZ模型的预测函数控制及其稳定条件

D01:10.13374.isml00103x.2007.11.23 第29卷第11期 北京科技大学学报 Vol.29 No.11 2007年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Now.2007 基于KAUTZ模型的预测函数控制及其稳定条件 许鸣珠刘贺平李晓理王允建 北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要对模型未知的系统采用Kz函数逼近得到系统的近似模型.基于所得到的K山tz模型设计了一种预测函数控制 器.对该算法进行了稳定性分析，依据Ly apunov稳定性定理得到了保证闭环控制系统稳定的充分条件.仿真实验证明，该算 法能够准确逼近真实系统模型.实现自适应控制，得到满意的控制效果. 关键词预测函数挖制：Ktz模型；最小二乘辨识；Lyapunov稳定性 分类号TP273.2 预测函数控制(predictive functional control, n(z,b,c)= P℉C?是在预测控制的基础上发展起来的一种 1-c2)1-bz「-z2+b(c-1)z+1-1 快速算法，以其算法简单、计算量小、跟踪快速准确 22+b(c-1)z-cL 22+b(c-1)z-c] 等特点吸引了众多研究者，成为研究的热点，目前， (2) 多数P℉C是利用参数模型作为预测模型，在设计控 制方案时需要预先知道被控对象的模型结构.然而 其中，b和c是参数，满足条件|b<1和c<L, 在实际应用中模型阶次和时延的辨识比较麻烦，针 c=-,b= 5+ξ 对这个问题有许多学者进行了研究.文献[34基 1十关* (3) 于神经网络研究了模型未知的情况.文献[58研 ξ是Kmtz滤波器的极点，具体取值方法见文 究了利用正交函数逼近来建立未知系统模型的方 献刁，是它的共轭.系统的传递函数G(z)可以 法，其中Laguerre模型是单极点网络，能够成功逼 写成Kautz函数的线性组合形式： 近过阻尼系统避免了辨识模型结构的麻烦，但是对 G(z)= 于欠阻尼系统或特性变化较大的情况逼近效果很 合8t,6e (4) 差.拥有两个极点的Kautz滤波网络能够有效地克 其中，gi是Kautz函数基的组合系数.实际应用中 服Laguerre模型的缺点，其辨识算法简单、适用范 组合系数g:取有限项N,N称为截断阶次，取值跟 围广，逼近精度高.本文提出了一种基于Kautz模 极点的选择有关，具体方法见文献8)·则式(4)改 型的预测函数控制算法并对系统进行了稳定性分 写为： 析，依据Ly apunov稳定性理论得到了闭环控制系统 稳定的充分条件.仿真试验表明该算法对结构和参 G(z)= 2 b.c) (5) 数未知的系统能够准确辨识实现了稳定控制. 实际系统的输入输出模型可以用图1所示的 1 Kaut模型 Kautz滤波网络来表示. 从图1第1支路得 Kautz函数是平方可积函数空间上的一组正交 基，定义为： x1(k)= m-1(z,b,c)= 展开得： 1-c2(z-b)z「-g2+b(c-1z+]n-1 2+b(c-1)z-cL z+b(c-1)z-c x1(k+1)=-b(c-1)x1(k)十cx1(k-1)十 (1) 1-cu(k+1)-bN1-Cu(k). 收稿日期：200608-09修回日期：2006-1030 同理，由第2支路得 基金项目：北京市教委重点学科共建项目(N。.00002268) 作者简介：许鸣珠(1967一)，女，高级工程师，博士 xi(k) 2-b=x2k)

基于 KAUTZ 模型的预测函数控制及其稳定条件 许鸣珠 刘贺平 李晓理 王允建 北京科技大学信息工程学院, 北京 100083 摘 要 对模型未知的系统采用 Kautz 函数逼近得到系统的近似模型.基于所得到的 Kautz 模型设计了一种预测函数控制 器.对该算法进行了稳定性分析, 依据 Ly apunov 稳定性定理得到了保证闭环控制系统稳定的充分条件.仿真实验证明, 该算 法能够准确逼近真实系统模型, 实现自适应控制, 得到满意的控制效果. 关键词 预测函数控制;Kautz 模型;最小二乘辨识;Lyapunov 稳定性 分类号 TP273.2 收稿日期:2006-08-09 修回日期:2006-10-30 基金项目:北京市教委重点学科共建项目( No .00002268) 作者简介:许鸣珠( 1967—) , 女, 高级工程师, 博士 预测函数控制( predictive functional control, PFC) [ 1-2] 是在预测控制的基础上发展起来的一种 快速算法, 以其算法简单 、计算量小 、跟踪快速准确 等特点吸引了众多研究者, 成为研究的热点 .目前, 多数 PFC 是利用参数模型作为预测模型, 在设计控 制方案时需要预先知道被控对象的模型结构 .然而 在实际应用中模型阶次和时延的辨识比较麻烦, 针 对这个问题有许多学者进行了研究 .文献[ 3-4] 基 于神经网络研究了模型未知的情况 .文献[ 5-8] 研 究了利用正交函数逼近来建立未知系统模型的方 法, 其中 Laguerre 模型是单极点网络, 能够成功逼 近过阻尼系统, 避免了辨识模型结构的麻烦, 但是对 于欠阻尼系统或特性变化较大的情况逼近效果很 差.拥有两个极点的 Kautz 滤波网络能够有效地克 服 Laguerre 模型的缺点, 其辨识算法简单、适用范 围广、逼近精度高 .本文提出了一种基于 Kautz 模 型的预测函数控制算法, 并对系统进行了稳定性分 析, 依据 Ly apunov 稳定性理论得到了闭环控制系统 稳定的充分条件 .仿真试验表明该算法对结构和参 数未知的系统能够准确辨识, 实现了稳定控制 . 1 Kautz 模型 Kautz 函数是平方可积函数空间上的一组正交 基, 定义为 : ψ2n -1( z, b, c) = 1 -c 2 ( z -b) z z 2 +b( c -1) z -c -cz 2 +b( c -1) z +1 z 2 +b( c -1) z -c n -1 ( 1) ψ2 n( z, b, c) = ( 1 -c 2 )( 1 -b 2 ) z z 2 +b( c -1) z -c -cz 2 +b( c -1) z +1 z 2 +b( c -1) z -c n -1 ( 2) 其中, b 和c 是参数, 满足条件 b <1 和 c <1, c =-ξξ＊, b = ξ+ξ＊ 1 +ξξ＊ ( 3) ξ是 Kautz 滤 波器的 极点, 具体 取值方 法见文 献[ 7] , ξ＊是它的共轭.系统的传递函数 G( z) 可以 写成 Kautz 函数的线性组合形式 : G( z) = ∑ ∞ i =1 giψi( z, b, c) ( 4) 其中, gi 是 Kautz 函数基的组合系数.实际应用中 组合系数 gi 取有限项 N, N 称为截断阶次, 取值跟 极点的选择有关, 具体方法见文献[ 8] .则式( 4) 改 写为: G( z) = ∑ N i =1 giψi( z, b, c) ( 5) 实际系统的输入输出模型可以用图 1 所示的 Kautz 滤波网络来表示. 从图 1 第 1 支路得 x 1( k ) = 1 -c 2 ( z -b) z z 2 +b( c -1) -c u( k ), 展开得 : x 1( k +1) =-b( c -1) x 1( k ) +cx 1( k -1) + 1 -c 2 u( k +1) -b 1 -c 2 u( k ) . 同理, 由第 2 支路得 x 1( k ) 1 -b 2 z -b =x 2( k ), 第 29 卷 第 11 期 2007 年 11 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol.29 No.11 Nov.2007 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2007.11.023

。1172· 北京科技大学学报 第29卷 1-c(z-b)z -c22+6(c-1)z+1 -cz2+b(c-1)2+1 2+b(c-1)z-c z2+b(c-1)2-c 2+b(c-1)-c 2-b x()x() x(k) x() N)XN) g3 y() ②②病 图1 Kautz滤波网络结构图 Fig 1 Structure of Kautz filter networks 展开得： 展开为： x2(k)=J1-bx1(k)+bx2(k). x3(k+1)=b(c2-1)x1(k)+ [1-c3x1(k-1)-b(c-1)x2(k)+ 由第3支路得 xk=二+M二出x(, ex3(k-1)-c -cu(k+1)-bu(k)]. z2+b(c-1)-c 以此类推归纳可以得到如下的关系式一0： x1(k+1)=a1x1(k)+B11x1(k-1)+N1-c2(o11u(k-1)+o12u(k)） x2(k+1)=a21x1(k)+a2x2(k) x3(k+1)=1x1(k)十a8x3(k)十B31x1(k-1)十B8x3(k-1)+1-C(o1u(k-1)十o32u(k) x4(k+1)=a41x1(k)+a42x2(k)十a4x4(k)十B42x2k-1)+B44x2(k-1) x1(k+1)=G1x1(k)+a3x3k)++amx(k)+B1x1(k-1)+3x3(k-1)++Bxi(k-1)十 N1-c2)[1u(k-1)+o2u(k] (6) 其中，变量i的取值等于截断级数N对于一般对象取N=4~6就可以满足要求：参数1=（一c分× (一b,2=(一c宁；y和，的变化也是有规律的，以N=6为例，其定义如下： Q11Q12 a13 a14a15 c16 -b(c-1) a21 ap 23 C24 a25 a26 1-b b a31 32 33 a34 a35 036 bc2-1) 0 -b(c-1) a41 a42 44 045 46 -c1-b2 -b 0 -b(c-1) a51 C52 053 54 a55 56 -cbM2-1) 0 b(c2-1) 0 -b(c-1) a61 &62 463 a64 06 a66 21-b cb 0 bc2-1) 0 -b(c-1)」 B11 B12B13β14 B15 B16 P21 B22 23 24 0 0 B31 P32 B33 Bs B41 B42 B43 Bas 6 0 C B51 B52 B53 B 月 -c(1-c2) 1-c2 0 1 B62B63 B64 B6s B6 0 0 1-c20

图 1 Kautz 滤波网络结构图 Fig.1 Structure of Kautz filter networks 展开得: x 2( k ) = 1 -b 2 x 1( k ) +bx 2( k ) . 由第 3 支路得 x 3( k ) = -cz 2 +b( c -1) z +1 z 2 +b( c -1) -c x 1( k) , 展开为 : x 3( k +1) =b( c 2 -1) x 1( k ) + [ 1 -c 2 ] x 1( k -1) -b( c -1) x 2( k ) + cx 3( k -1) -c 1 -c 2 [ u( k +1) -bu( k )] . 以此类推, 归纳可以得到如下的关系式[ 9-10] : x 1( k +1) =α11 x 1( k ) +β11 x1( k -1) + 1 -c 2 ( σ11 u ( k -1) +σ12 u( k )) x 2( k +1) =α21 x 1( k ) +α22 x 2( k ) x 3( k +1) =α31 x 1( k ) +α33 x 3( k ) +β31 x1( k -1) +β33 x 3( k -1) + 1 -c 2 ( σ31 u( k -1) +σ32 u( k) ) x 4( k +1) =α41 x 1( k ) +α42 x 2( k ) +α44 x 4( k ) +β42 x2( k -1) +β44 x 2( k -1)   x 1( k +1) =αi 1 x1( k ) +αi 3 x 3( k ) +…+αiixi( k ) +βi 1 x1( k -1) +βi 3 x3( k -1) +…+βi ix i( k -1) + ( 1 -c 2 )[ σi 1 u ( k -1) +σi2 u ( k )] ( 6) 其中, 变量 i 的取值等于截断级数 N, 对于一般对象取 N =4 ～ 6 就可以满足要求;参数 σi1 =( -c) i -1 2 × ( -b), σi 2 =( -c) i-1 2 ;αij和βij的变化也是有规律的, 以 N =6 为例, 其定义如下 : α11 α12 α13 α14 α15 α16 α21 α22 α23 α24 α25 α26 α31 α32 α33 α34 α35 α36 α41 α42 α43 α44 α45 α46 α51 α52 α53 α54 α55 α56 α61 α62 α63 α64 α65 α66 = -b( c -1) 1 -b 2 b b( c 2 -1) 0 -b( c -1) -c 1 -b 2 -b 0 -b( c -1) -cb( c 2 -1) 0 b( c 2 -1) 0 -b( c -1) c 2 1 -b 2 cb 0 b( c 2-1) 0 -b( c-1) , β11 β12 β13 β14 β15 β16 β21 β22 β23 β24 β25 β26 β31 β32 β33 β34 β35 β36 β41 β42 β43 β44 β45 β46 β51 β52 β53 β54 β55 β56 β61 β62 β63 β64 β65 β66 = c 0 0 1 -c 2 0 c 0 1 0 c -c( 1 -c 2 ) 0 1 -c 2 0 c 0 -c 0 1 -c 2 0 c . · 1172 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 29 卷

第11期 许鸣珠等：基于KAUTZ摸型的预测函数控制及其稳定条件 。1173。 结合图1和式(6)可以得到系统模型的状态空 间方程： u(k+i)= 凸(k)u(i) (9) =1 X(k+1)=A1X(k)+A2X(k-1)+BU(k) 式中，u(i)是基函数在第k十i采样周期的取值， y(k+1)=CX(k+1) ,是基函数个数，凸(k)是对应基函数的线性加权 (7) 系数.P℉C中基函数的选择依赖于设定值和对象本 式中，X(k)、X(k一1)、Uk)和C的表达式如下： 身的性质，通常可取为阶跃、斜坡、指数函数等.对 X()=[x(k)x2(k)…x(k]T, 于一般对象取两个基函数，阶跃及斜坡函数来构造 Xk-1)=[x1(k-)x2k-1)…xx(k-1功T, 控制量均能满足要求.本文中控制量取为如下 形式： U(k)=[u(k-1)u(k], u(k+i=1(k)+i2(k) (10) C=[g1g2…5…gN· 利用线性状态反馈预测理论，可以从式(7)和 其中A1和A2是NXN下三角矩阵，B是N×2矩 (10)得出未来k十i时刻的系统模型预测输出： 阵具体形式如下所示： ym(k十i)= a11 0 0 cOX(k)+COX(k-1)+COoiu(k-1)+ Q21 Q22 0 A1= c空g4(+c会-lg() LONI ON2 ONN (11) 「B11 0 07 其中：01=A,Q2=A1Q1+A2Q3=A1Q2+ B21 P22 0 A2Q1,,Q=A1Q-1+A2Q-2:Q=A2,Q2= A1Q1,Q3=AQ2+A2Q1,Q:=A0-1+ LBNI BN2 BNN A2Q-2:如果=i,则2u=B2;如果j=i-1,则 011 012] Q加i=A1Qm(i-)十B1;如果j<i-L,Qmi= B=1-2 021 02m =[B1B. A12u(-1)+A2QMi-2. P℉C是一种闭环控制算法，在实际情况下由于 L GNI GN2 二次噪声、系统时变等原因而引起模型预测输出与 由式7)可知，当极点和截断阶次N确定以 对象输出之间存在一定的预测误差.将预测误差通 后，所表征对象的变化可以通过Kautz模型的系数 过一个预估器对未来优化时域中的误差加以补偿 向量C的变化来反映，由于X(k+1)可以由式(7) 可以提高控制精度，取未来预测误差为： 通过U(k)计算得到，则系数C可以方便地应用式 e(k+i)=y(k)-ym(k) (12) (8)的最小二乘辨识算法在线获得. 式中，y(k)和ym(k)为k时刻的系统输出与模型 C(k)=C(k-1)+ 输出. P(k-1)x(k)Ly(k)-C(k)X(k1 控制系统的参考轨迹取值如下： Y+X(k)P(k-1)x(k) y,(k+i)=ay(k)+(1-d)w(k)(13) P(k)-P(k-V- 式中，a=xp(-T/T),T,是采样周期，Tr是闭 环系统期望响应时间，w(k)是设定值. P(k-1)x(k X(k P(k-1 Y+K(k)P(k-1)Xk)」 本文采用下面的二次型性能指标计算控制量 8 u(k): 其中，Y为遗忘因子. J= [ym(k+i)+e(k+i)-y(k+i)]2 2基于Kaut忆模型的预测函数控制 预测函数控制的特点在于将输入结构化，认为 u(k+i-12 (14) 每一时刻的控制输入“是事先选定的基函数u的 式中，【H1,H2]是优化时域入是控制量的加权 线性组合，即： 系数

结合图 1 和式( 6)可以得到系统模型的状态空 间方程: X( k +1) =A1 X( k ) +A2X( k -1) +BU( k ) y ( k +1) =CX( k +1) ( 7) 式中, X( k ) 、X( k -1) 、U( k )和 C 的表达式如下 : X( k) =[ x 1( k ) x 2( k ) … x N( k )] T , X( k -1) =[ x1( k -1) x 2( k -1) … xN ( k -1)] T , U( k) =[ u( k -1) u( k )] T , C =[ g1 g2 … gj … gN] . 其中 A1 和 A2 是 N ×N 下三角矩阵, B 是N ×2 矩 阵, 具体形式如下所示: A1 = α11 0 … 0 α21 α22 … 0    αN 1 αN 2 … αNN , A2 = β11 0 … 0 β21 β22 … 0    βN 1 βN2 … βNN , B = 1 -c 2 σ11 σ12 σ21 σ22   σN1 σN 2 =[ B1 B2] . 由式( 7)可知, 当极点 ξ和截断阶次 N 确定以 后, 所表征对象的变化可以通过 Kautz 模型的系数 向量 C 的变化来反映, 由于 X( k +1)可以由式( 7) 通过 U( k ) 计算得到, 则系数 C 可以方便地应用式 ( 8)的最小二乘辨识算法在线获得 . C( k ) =C( k -1) + P ( k -1) X( k )[ y( k ) -C( k) X( k)] γ+X T ( k ) P( k -1) X( k ) T P ( k ) = 1 γ P( k -1) - P ( k -1) X( k ) X T ( k ) P ( k -1) γ+K T ( k ) P( k -1) X( k ) ( 8) 其中, γ为遗忘因子. 2 基于 Kautz 模型的预测函数控制 预测函数控制的特点在于将输入结构化, 认为 每一时刻的控制输入 u 是事先选定的基函数 ubj 的 线性组合, 即: u( k +i) = ∑ n b j =1 μj ( k) ubj( i) ( 9) 式中, u bj( i)是基函数在第 k +i 采样周期的取值, nb 是基函数个数, μj ( k )是对应基函数的线性加权 系数.PFC 中基函数的选择依赖于设定值和对象本 身的性质, 通常可取为阶跃、斜坡、指数函数等 .对 于一般对象取两个基函数, 阶跃及斜坡函数来构造 控制量均能满足要求.本文中控制量取为如下 形式: u( k +i) =μ1( k ) +iμ2( k ) ( 10) 利用线性状态反馈预测理论, 可以从式( 7) 和 ( 10)得出未来 k +i 时刻的系统模型预测输出 : y m( k +i) = CQiX( k ) +C QiX( k -1) +CQ0u iu( k -1) + C ∑ i j =1 Qj uiμ1( k ) +C ∑ i j =2 ( j -1) Qj uiμ2( k ) ( 11) 其中 :Q1 =A1, Q2 =A1 Q1 +A2, Q3 =A1 Q2 + A2 Q1, …, Qi =A1 Qi-1 +A2 Qi-2 ;Q1 =A2, Q2 = A1 Q1, Q3 = A1 Q2 +A2 Q1, …, Qi = A1 Qi -1 + A2 Qi-2 ;如果 j =i, 则 Qj ui =B2 ;如果 j =i -1, 则 Qju i =A1 Qju( i -1) +B1 ;如 果 j <i -1, Qju i = A1 Qju( i -1) +A2 Qj u( i -2) . PFC 是一种闭环控制算法, 在实际情况下由于 二次噪声 、系统时变等原因而引起模型预测输出与 对象输出之间存在一定的预测误差 .将预测误差通 过一个预估器, 对未来优化时域中的误差加以补偿, 可以提高控制精度, 取未来预测误差为: e( k +i) =y ( k) -y m( k ) ( 12) 式中, y ( k ) 和 y m( k )为 k 时刻的系统输出与模型 输出. 控制系统的参考轨迹取值如下: y r( k +i) =α i y ( k) +( 1 -α i ) w ( k) ( 13) 式中, α=ex p( -Ts/ T r), Ts 是采样周期, T r 是闭 环系统期望响应时间, w ( k) 是设定值 . 本文采用下面的二次型性能指标计算控制量 u ( k ) : J = ∑ H2 i =H1 [ y m( k +i) +e( k +i) -y r( k +i)] 2 + ∑ H2 i =H1 λi[ u( k +i -1)] 2 ( 14) 式中, [ H1, H2] 是优化时域, λi 是控制量的加权 系数. 第 11 期 许鸣珠等:基于 KAUTZ 模型的预测函数控制及其稳定条件 · 1173 ·

。1174 北京科技大学学报 第29卷 为了从式(14)得到未知参数内1(k)和2(k), 从式(17)知加权系数1(k)存在的条件是R 只需要两个优化点H1和H2,则式(14)改写为： 存在，因此在选择控制器参数H1、H2、4和H,时 J=[ym(k+H)+e(k+H)-y(k+H 应保证此条件满足.实际中使得R=1/(R1R3一 [ym(k+H2)+e(k+H2)-y(k+H2]2+ R2)存在，即R1R3一R2≠0的条件很容易满足，只 ,(k)+(H-1)2(k2+ 要在控制器调节时选择合适的参数即可. g,41(k)+(H2-)2(k]2 (15) 3稳定性分析 将式(11)、(12)和(13)分别带入式(15)可得： 假设Kautz模型能够准确逼近真实模型，利用 J=[L1(k)+M11()+M122(k月2+ 公式(18)和系统状态方程(7)可得控制系统的闭环 [L2(k)+M1凸(k)+M22(k)2+ 状态空间方程如下： 4[1(k)+(H-)2(k]2+ X(k+1)=AX(k)+A,X(k-1)+ H,IA(k)+(H2-1)2(k]2 (16) B2Sww(k)+Bou(k-1) (19) 式中， 式中，A=A1十B2Sx十CB2S,A=A2十B2Sx1, Li(y)=ymHi+e(k+H)-y(k+H), Bo=B1+B2So.由公式(7)、(18)和(19)得： ymH= u(k)=(Sx+SyC)X(k)+S1x(k-1)+ COn,X(k)+COn X(k-1)+CQou,u(k-1), Sww(k)+Sou(k-1) (20) Lk)=ymH2+e(k+H2)-y(k+H2), 定理1设矩阵 ym H2= Ai A Bo COn,X(k)+CO,X(k-1)+CQou,u(k-1), M- 00 Sx+SyC Sx-1 So M1=C g,M=c总 如果满足条件入(M川<1，则闭环控制系统稳定. H H 证明：由于设定值的引入不会影响所设计控制 a-cu,a-c 系统的稳定性，所以在分析闭环控制系统稳定之前 令w(k)=0,此时式(19)和(20)变为： 令 ,(k0-0, X(k+1)=AX(k)+A.X(k-1)+Bou(k-1) 可求得： (21) 1(k)=SxX(k)+Sx-1X(k-1)+ u(k)=(Sx十SC)X(k)+ Sy(k)+Sww(k)+Sou(k-1) (17) Sx-1X(k-1)+Sou(k-1) (22) 式中： 将式(21)和(22)写成增广矩阵形式： Sx=Vi(Q-C)+v2(Qn,-C), X(k+1)门 Sx-1=V1QH十2QH, X(k) So=ViOou,+V2Cou u(k) Bo S,=V11-a")+y21-a), A年 X(k)1 0 0 X(k-1) (23) S.-VidV-R(R:Mz-RM). Sx+SyC Sx1 So L u(k-1) V2=R(R2M22-R3M12), 简记为： R1=Min+Miz+A+A: Z(k+1)=MZ(k) (24) R2=MM+M2Mm+HH1-)+g,(H-1), 依据Lyapunov稳定性定理得到闭环系统稳定条件： I入(M)<1 (25) R3=Mi+Mi2十g,(H1-1)+g,(H2-1), 定理1证毕. R=1/(R1R3-R2). 则当前控制量： 4仿真 u(k)=1(k) (18) 为了验证算法的有效性进行了大量的仿真实

为了从式( 14) 得到未知参数 μ1 ( k ) 和 μ2( k ), 只需要两个优化点 H1 和 H2, 则式( 14)改写为 : J =[ y m( k +H1) +e ( k +H1) -y r( k +H1)] 2 + [ ym( k +H2) +e( k +H2) -y r( k +H2)] 2 + λH1 [ μ1( k ) +( H1 -1) μ2( k)] 2 + λH2 [ μ1( k ) +( H2 -1) μ2( k )] 2 ( 15) 将式( 11) 、( 12) 和( 13)分别带入式( 15) 可得: J =[ L1( k ) +M11 μ1() +M12 μ2( k )] 2 + [ L2( k ) +M21 μ1( k ) +M22 μ2( k )] 2 + λH1 [ μ1( k ) +( H1 -1) μ2( k)] 2 + λH 2 [ μ1( k ) +( H2 -1) μ2( k )] 2 ( 16) 式中, L 1( y) =y mH1 +e( k +H1) -y r( k +H1), ym H1 = CQH1 X( k ) +C QH1 X( k -1) +CQ0uH1 u ( k -1) , L 2( k) =y mH2 +e( k +H2) -y r( k +H2), ym H2 = CQH2 X( k ) +CQH2 X( k -1) +CQ0uH2 u( k -1) , M11 =C ∑ H1 j =1 Qj uH 1 , M12 =C ∑ H1 j =2 ( j -1) Qju H 1 , M21 =C ∑ H 2 j =1 Qj uH2 , M22 =C ∑ H 2 j =2 ( j -1) Qju H2 . 令 J μ1( k ) =0, J μ2( k ) =0, 可求得: μ1( k ) =SxX( k ) +Sx -1X( k -1) + S yy ( k ) +S w w( k ) +S 0 u( k -1) ( 17) 式中 : Sx =V 1( QH1 -C) +V 2( QH2 -C), Sx -1=V 1 QH 1 +V2 QH 2 , S 0 =V 1 Q0uH 1 +V2 Q0uH 2 , Sy =V 1( 1 -α H1 ) +V 2( 1 -α H2 ), S w =V 1α H1 +V 2α H2 , V1 =R ( R 2 M21 -R 3 M11), V2 =R ( R 2 M22 -R 3 M12), R 1 =M 2 11 +M 2 12 +λH 1 +λH 2 , R2=M11 M21+M12 M22 +λH1 ( H1-1) +λH2 ( H2-1), R 3 =M 2 21 +M 2 22 +λH 1 ( H1 -1) +λH 2 ( H2 -1), R =1/( R 1R3 -R 2) . 则当前控制量: u ( k) =μ1( k) ( 18) 从式( 17)知, 加权系数 μ1( k ) 存在的条件是 R 存在, 因此在选择控制器参数 H1 、H2 、λH 1和 λH 2时 应保证此条件满足 .实际中使得 R =1/ ( R 1R 3 - R 2)存在, 即 R 1R 3 -R 2 ≠0 的条件很容易满足, 只 要在控制器调节时选择合适的参数即可. 3 稳定性分析 假设 Kautz 模型能够准确逼近真实模型, 利用 公式( 18)和系统状态方程( 7)可得控制系统的闭环 状态空间方程如下 : X( k +1) =Af X( k ) +As X( k -1) + B2 S w w ( k ) +B0 u( k -1) ( 19) 式中, Af =A1 +B2 Sx +CB2 Sy , As =A2 +B2Sx-1, B0 =B1 +B2 S 0.由公式( 7) 、( 18) 和( 19)得: u( k ) =( Sx +S yC) X( k ) +Sx-1 X( k -1) + S w w( k ) +S0 u( k -1) ( 20) 定理 1 设矩阵 M = Af As B0 I 0 0 Sx +SyC Sx -1 S 0 , 如果满足条件 λi( M ) <1, 则闭环控制系统稳定. 证明:由于设定值的引入不会影响所设计控制 系统的稳定性, 所以在分析闭环控制系统稳定之前 令 w( k ) =0, 此时式( 19) 和( 20)变为: X( k +1) =Af X( k) +As X( k -1) +B0 u( k -1) ( 21) u( k ) =( Sx +S yC) X( k ) + Sx -1 X( k -1) +S 0 u ( k -1) ( 22) 将式( 21)和( 22)写成增广矩阵形式: X( k +1) X( k ) u( k ) = Af As B0 I 0 0 Sx +S yC Sx-1 S 0 X( k ) X( k -1) u ( k -1) ( 23) 简记为 : Z( k +1) =MZ ( k ) ( 24) 依据 Lyapunov 稳定性定理得到闭环系统稳定条件: λi( M ) <1 ( 25) 定理 1 证毕 . 4 仿真 为了验证算法的有效性进行了大量的仿真实 · 1174 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 29 卷

第11期 许鸣珠等：基于KAUTZ摸型的预测函数控制及其稳定条件 。1175。 验.本文所提算法在被控对象模型结构和参数未知 仿真中Kautz模型截断级数N=4,滤波器极点 的情况下，能够准确逼近真实系统模型，实现自适应 =0.16十0.52i,控制器参数取H1=4,H2=8,遗 控制得到满意的控制效果.给出例子如下， 忘因子，Y=0.99,参考输入值取1，控制量加权系数 例控制对象为离散系统： 取16和160，利用控制对象G(z)产生的数据，用本 G(2)= z1-222 文算法在线辨识，实现自适应控制. 1+0.6z1+0.009z-2-015z-3+0.224 图2是使用正弦输入信号离线测试模型辨识误 (26) 差.在辩识初期由于数据不准确造成误差稍大，当 10 0.25 (a) (b) 6 0.15 0.05 -0.05 -0.15 500 10001500 20002500 3000 0256 50010001500200025003000 图2Kaut也模型逼近.(a)跟踪曲线：(b)误差曲线 Fig 2 Kautz model and real system (a)tracking curve:(b)error curve 系统稳定后辨识误差非常小，可以准确逼近真实系 文方法在输入为阶跃和方波信号时，系统都能够实 统.图3是参考输入为阶跃信号时的仿真图形.由 现稳定控制.本文算法能够进行在线辨识，通过参 于本文选择Kautz模型的截断级数N=4,.图3(b) 数的变化来跟随状态变化.由式(7)可知，当控制输 中的参数辨识曲线为四条.图4是参考输入为方波 入信号发生变化时，参数向量C随之发生变化，从 信号时的仿真图形.从图3和图4中可以看出，本 而降低了控制系统的输出超调量，提高了控制品质. 2.5 (a) 1.5 0.5 -0.5 130 100 200 300 400 500 100 200300400 500 k 图3控制系统阶跃响应曲线.()控制输出：(b)参数辨识曲线 Fig.3 Control output of step response:(a)control output (b)parameter identification curve 2.0 10r (a) (b) 1.5 0.5 200040006000800010000 200040006000800010000 图4控制系统方波响应曲线.()控制输出：(b)参数辨识曲线 Fig.4 Control output of square wave (a)control output;(b)parameter identification curve

验.本文所提算法在被控对象模型结构和参数未知 的情况下, 能够准确逼近真实系统模型, 实现自适应 控制得到满意的控制效果 .给出例子如下. 例 控制对象为离散系统 : G( z) = z -1 -2z -2 1 +0.6z -1 +0.009z -2-0.15z -3 +0.2z -4 ( 26) 仿真中 Kautz 模型截断级数 N =4, 滤波器极点 ξ=0.16 +0.52 i, 控制器参数取 H1 =4, H2 =8, 遗 忘因子, γ=0.99, 参考输入值取 1, 控制量加权系数 取 16 和 160, 利用控制对象 G( z)产生的数据, 用本 文算法在线辨识, 实现自适应控制. 图 2 是使用正弦输入信号离线测试模型辨识误 差 .在辩识初期由于数据不准确造成误差稍大, 当 图 2 Kautz 模型逼近.( a) 跟踪曲线;( b) 误差曲线 Fig.2 Kautz model and real system:( a) tracking curve;( b) error curve 系统稳定后辨识误差非常小, 可以准确逼近真实系 统.图 3 是参考输入为阶跃信号时的仿真图形 .由 于本文选择 Kautz 模型的截断级数 N =4, 图 3( b) 中的参数辨识曲线为四条 .图 4 是参考输入为方波 信号时的仿真图形.从图 3 和图 4 中可以看出, 本 文方法在输入为阶跃和方波信号时, 系统都能够实 现稳定控制.本文算法能够进行在线辨识, 通过参 数的变化来跟随状态变化.由式( 7)可知, 当控制输 入信号发生变化时, 参数向量 C 随之发生变化, 从 而降低了控制系统的输出超调量, 提高了控制品质. 图 3 控制系统阶跃响应曲线.( a) 控制输出;(b) 参数辨识曲线 Fig.3 Control output of step response :( a) control output;( b) parameter identification curve 图 4 控制系统方波响应曲线.( a) 控制输出;(b) 参数辨识曲线 Fig.4 Control output of square wave:( a) control output ;( b) parameter identifi cation curve 第 11 期 许鸣珠等:基于 KAUTZ 模型的预测函数控制及其稳定条件 · 1175 ·

。1176 北京科技大学学报 第29卷 信息与控制，2001,18(2)：497 5结论 【4刘贺平，张兰玲，孙一康.基于多层局部回归神经网络的多变 量非线性系统预测控制.控制理论与应用，2001,18(2)：298 本文提出的基于Kautz模型的自适应预测函数 [5 Christos C,Zerovos,Dumout G A.Deterministic adaptive control 控制算法，在实现控制方案时，不需要事先知道系统 based on Laguerre series representation.Int J Control.1988.48 的时延和阶次，需要辨识的参数少，比神经网络模型 (6):2333 容易实现，能够根据系统数据准确辨识模型、调整控 [6 Wahberg B.System identification using Kautz model.IEEE 制规律实现自适应控制，在线计算量小、跟踪速度 Trans Autom Control.1994.39(6):1276 较快. [7 Morvan R.Tanguy N.Vilbe P.Pertinent parameters for Kautz approximation.Electron Lett.2000,36(8):769 参考文献 [8 Targuy N.Morvan R.Vilbe P.Pertinent choice of parameters for discrete Kautz approximation.IEEE Trans Autom Control. [1]Richalet J.Abu El Ata-Doss S.Arber C.Predictive furetional 2002.47(5):783 controk application to fast and accurate mobots //Proceedings of 【身许鸣珠，刘贺平.基于Kauz模型的预测控制仿真研究.系统 10th IFAC World Congress.M urich,1987:251 仿真学报，2007.19(1)：3841 [2]Kuntze H B.Jacubasch A.Hirsch U.On the application of a new [10 Mbarek A.Messaoud H.Favir G.Roubust predictive control method for fast and robust //1988 IEEE International Conference using Kautz model//Proceedings of the 2003 10th IEEE Inter on Robotics and Automation.Scottsdale,1988:1574 national Conference on Ekctronics,Cimuits,and Systems. 【3引张泉灵，王树青.基于神经网络模型的非线性预测函数控制. Sharjah,2003:184 Stability condition of predictive functional control based on Kautz model XU Mingzhu,LIU Heping,LI Xicoli,WANG Yunjian Infomation Engineering Sebol.University of Science and Technology Beijing.Beijng 100083.China ABSTRACT The orthogonal Kautz function was used to obtain the approximate model of a system.An adap- tive predictive functional control algorithm using the Kautz model w as designed.The stability of the algorithm was analyzed,and the sufficient condition to make a closed-loop system stable was presented based on the Lya- punov stability theory.Simulation results show that the proposed algorithm is effective,which can describe the sy stem exactly and reach a high degree of control performance. KEY WORDS predictive functional control;Kautz model;RLS;Lyapunov stability

5 结论 本文提出的基于 Kautz 模型的自适应预测函数 控制算法, 在实现控制方案时, 不需要事先知道系统 的时延和阶次, 需要辨识的参数少, 比神经网络模型 容易实现, 能够根据系统数据准确辨识模型、调整控 制规律实现自适应控制, 在线计算量小、跟踪速度 较快 . 参 考 文 献 [ 1] Richalet J, Abu El Ata-Doss S, Arber C .Predicti ve functional control:application to fast and accurat e robots ∥Proceedings of 10th IFAC World Congress.M unich, 1987:251 [ 2] Kuntz e H B, Jacubasch A, Hirsch U, On the application of a new method f or f ast and robust ∥1988 IEEE International Conference on Roboti cs and Aut omation.S cottsdale, 1988:1574 [ 3] 张泉灵, 王树青.基于神经网络模型的非线性预测函数控制. 信息与控制, 2001, 18(2) :497 [ 4] 刘贺平, 张兰玲, 孙一康.基于多层局部回归神经网络的多变 量非线性系统预测控制.控制理论与应用, 2001, 18( 2) :298 [ 5] Christos C, Zerovos, Dumout G A.Det erministic adapti ve control based on Laguerre series represent ation.Int J Control, 1988, 48 ( 6) :2333 [ 6] Wahlberg B .System identification using Kautz models.IEEE Trans Autom Control, 1994, 39( 6) :1276 [ 7] Morvan R, Tanguy N, Vilbe P.Pertinent paramet ers for Kautz approximation.El ectron Lett, 2000, 36( 8) :769 [ 8] Tanguy N, Morvan R, Vilbe P.Pertinent choice of parameters for discrete Kautz approximation.IEEE Trans Autom Control, 2002, 47( 5) :783 [ 9] 许鸣珠, 刘贺平.基于 Kautz 模型的预测控制仿真研究.系统 仿真学报, 2007, 19( 15) :3841 [ 10] Mbarek A, Messaoud H, Favir G .Roubust p redictive control using Kautz model∥Proceedings of the 2003 10th IEEE Inter￾national Conference on Electronics, Circuits, and Systems. Sharjah, 2003:184 S tability condition of predictive functional control based on Kautz model X U Mingzhu, LIU Heping, LI X iaoli, WANG Y unjian Inf ormation Engineering School, Universit y of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China ABSTRACT The orthog onal Kautz function was used to obtain the approximate model of a system .An adap￾tive predictive functional control algorithm using the Kautz model w as designed .The stability of the algorithm w as analyzed, and the sufficient condition to make a closed-loop sy stem stable w as presented based on the Lya￾punov stability theory .Simulation results show that the proposed algorithm is effective, w hich can describe the sy stem exactly and reach a hig h deg ree of control performance. KEY WORDS predictive functional control ;Kautz model ;RLS ;Lyapunov stability · 1176 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 29 卷