具有5点接触直线的铰链四杆机构的解析综合

D0I:10.13374/j.issm1001-053x.1999.0M.018 第21卷第4期 北京科技大学学报 Vol.21 No.4 1999年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.1999 具有5点接触直线的铰链 四杆机构的解析综合 张苏华 韩建友 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要给出了在一种特殊位形情况下综合连杆曲线具有5点接触直线(Burmester点)的较链 四杆机构的解析方法.用该方法综合铰链四杆机构可预先给定欲逼近直线上的点、直线方向 以及一个固定铰链的位置.推导出了综合公式并给出了综合示例，证明了综合公式的正确性. 关键词铰链四杆机构：连杆曲线：直线：综合 分类号TH113.22 在文献[]中，提出了给直线上的点、方向 率半径变化率为零，即p=0,这里p表示曲率 来综合机构的方法.在文献[2]中，对于给定机 半径对沿定瞬心线切线距离σ的导数.由欧拉- 架以及直线上的点、直线方向来综合连杆曲线 萨瓦利方程可得下列描述该点各量之间关系的 上一点与其切线具有4点接触(Ball点)直线的 方程2.1 四杆机构的问题进行了研究.文献[3]对于在一 2 P=Dsima-r (1) 般情况下对具有5点接触(Burmester点，以下称 式中r是该点在极坐标系(P,”,a)中的极射线， 布氏点)直线的机构综合问题进行了讨论，给出 它的起始点为瞬心P=(P,P,).D是拐点圆直径 了新的综合方法及公式.本文对四杆机构在特 (P,1,n)组成一正向直角坐标系.把p对o求导， 殊位形情况下，即一个连架杆与机架共线时，综 并令其等于零，就得到运动平面（如连杆平面） 合具有5点接触直线的机构问题进行了分析研 在一般情况下其上的曲率驻点曲线为， 究.这里所提供的方法与公式在该领域是全新 11 的工作.文献[46)]用解析法较系统地研究了具 rMsimaNcosa (2) 有5点接触直线机构的综合问题，但对这种特 这里M和N分别定义为如下的辅助变量： 殊情况下如何综合此类机构的问题没有提及. a合+★号品 (3) 文献[9]用几何法较系统地阐述了各种情况下可 式(3)中R为运动平面上动瞬心线在瞬心点P 能获得的直线，但仍属几何分析方法，且几何公 的曲率半径.式(2)曲线如图1所示.图中P为 式繁复.此后未见有关这方面的研究成果.由于 瞬心，t轴为瞬心线的切线，n轴为瞬心线的法 在此特殊情况下一般都能得到很好的直线机 线.该曲线为一条三阶曲线.在特殊情况下，曲 构，故详细讨论此类机构的综合问题就特别有 线退化为：与1轴重合的一直线和在P点与n轴 意义 1具有4点接触直线的机构综合 动平面上的点在参考坐标系中的轨迹曲线 的曲率半径P是变化的，在轨迹曲线的驻点曲 1998-09-21收稿张苏华女，40岁，讲师 *国家教委留学回国人员科研基金资助项目 图1一般情况下曲率驻点曲线

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 心】 一 具有 点接触直线 的铰链 四 杆机构 的解析综合 张苏华 韩建友 北京科技大学机械工程学院 ， 北京 摘 要 给 出 了在一 种特殊位形情况 下综合连杆 曲线具有 点接触直线 点 的铰链 四杆机构 的解 析方法 用 该方法综合铰链 四杆机构可 预先给定 欲逼近直线上 的点 、 直线方 向 以及 一个固定铰链 的位置 推 导 出 了综合 公式并给 出了综合 示例 ， 证 明 了综合 公 式的正 确性 关键词 铰链 四杆机构 连杆 曲线 直线 综合 分 类号 在文献〔 中 ， 提 出 了给 定直线 上 的 点 、 方 向 来综合 机构 的方 法 在文 献 」中 ， 对 于 给定机 架 以及 直 线上 的 点 、 直 线方 向来综合 连杆 曲线 上 一 点与其切 线 具有 点接触 点 直线 的 四杆机构 的 问题进 行 了研 究 文 献 【 对 于 在 一 般情 况 下 对 具 有 点接触 刀 点 ， 以下 称 布 氏点 直线 的机构综合 问题进行 了讨论 ， 给 出 了新 的综合 方法 及 公式 本 文 对 四杆机构在特 殊位 形情况 下 ， 即一 个连架杆与机架共线时 ， 综 合具 有 点接触 直 线 的机构 问题 进行 了分 析研 究 这里 所 提 供 的 方法 与 公 式 在 该 领域是 全 新 的工 作 文 献 一 用 解 析法 较 系统 地研 究 了具 有 点接触 直 线机构 的综 合 问题 ， 但对 这 种特 殊情况 下 如 何 综合 此类机构 的 问题 没 有提及 文献 」用几何法较系统地 阐述 了各种情况 下 可 能获得 的直线 ， 但 仍 属 几何 分析方 法 ， 且 几何 公 式繁复 此后未见有关这 方面 的研 究成果 由于 在 此 特 殊 情 况 下 一 般 都 能 得 到 很 好 的 直 线 机 构 ， 故详 细 讨 论 此类机构 的综 合 问题 就特 别 有 意 义 率半径 变化 率 为零 ， 即 洲二 ， 这 里 厂表示 曲率 半径对 沿 定瞬心 线切 线距 离 。 的导数 由欧拉一 萨 瓦利方程可 得下 列 描述 该 点各量之 间关系的 方程 ，刀 尸 二 万亏而而二下 式 中 是 该 点在极坐 标 系 只 ， 中的极射线 ， 它 的起始点为瞬心 尸 ， 只 是拐点圆直径 ， ， 组成 一 正 向直 角坐 标系 把 对 求 导 ， 并 令其 等于 零 ， 就得到运动平 面 如连 杆平 面 在 一 般情况下 其 上 的 曲率驻 点 曲线 为 ‘ ，川 土 一军 一 共 ， ’ 竹 这 里 和 分 别 定义 为如 下 的辅 助变量 「 〕 书二 二 注 会 十’ 一去斗 若 份 二井‘ 笼汾 〔 、 」 ’ 而 式 中 为运动 平面 上 动 瞬心 线在 瞬心 点 的 曲率半 径 式 曲线如 图 所 示 图 中 尸 为 瞬心 ， 轴为瞬心 线 的切线 ， 轴 为瞬心 线 的法 线 该 曲线 为一 条三 阶 曲线 在特 殊情况 下 ， 曲 线退 化 为 与 轴重 合 的一 直 线和 在 尸 点 与 轴 具有 点接触直线的机构综合 动平 面上 的 点在 参考坐 标系 中 的轨 迹 曲线 的曲率半径 是变化 的 ， 在轨迹 曲线 的驻 点 曲 一 一 收稿 张苏华 女 ， 岁 ， 讲师 国家教委留学回国人员科研基金 资助项 目 圈 一般情况下 曲率驻点曲线 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1999．04．018

·380· 北京科技大学学报 1999年第4期 相切的圆：与n轴重合的一直线和在P点与t轴 拉-萨瓦利方程，故有： 相切的圆：或3条直线， PB=N·cosa (10) 当连杆上瞬心点P与机架点A,重合时，另 Pa,=-器8品 (11) 一连架杆必与机架共线.此时连架杆AA上A 式(11)为欧拉-萨瓦利方程的另一种形式. 点的位置可由欧拉-萨瓦利方程的另一种形式 式中a,a分别为PB和PP,在P一n坐标 AA-JA=PA (4) 系与t轴的夹角.选0一xy坐标系，其中ox轴与 分析确定，见图2.式中J,为轨迹法线PA与拐 t轴重合.当a,给定后，a可任意选定，B点及B。 点圆的交点，当P点与A点重合时，上式成为： 点的坐标计算公式为 PA-JA=PA (5) B,=Aor+PB.cos as,B,=Aoy+PB.sin a (12) 式(5)成立必有J也与P点重合，即A点必在t Bae=Aar+PBo·cosa,Bo=Ao+PB。'sina(13) 轴上，此时上式变为恒等式： PA-PA-PA (6) 2具有5点接触直线的机构综合 给定的拐点圆上的点P,除满足曲率驻点曲 线方程外还满足下面方程期 ga+ea+[-小ea+ N(dMida]-3NMga+N(MR-0 M RM (14) 则该点可成为具有5点接触直线的点，即布氏 点.方程(14)有4个根（对应着4个布氏点），假 设为a,a。,a。和a。.根据根与系数的关系有： ga+gx+ga+ga= (15) 图2平面运动中各关系示意图 (gaXtga.Ytga.X(wa.)-N(M-2R RM (16) 它说明运动平面上满足A。与P重合的点必 a1给定，已知a=0,显然式(16)成立.下面要 在t轴上.由此可知在所研究的特殊位形情况 根据式(15)确定其他两个未知量a和α.在本 下的机构的连架杆AA必为1轴.另外A点还必 文所讨论的特殊情况下由式(8)和(9)得： 须满足曲率驻点曲线方程，而一般曲率驻点曲 N=D.tga (17) 线除P点外与t轴没有交点（见图1）.由此推出， 又由式(3)对7=0时有R=-D,所以有 机构在此种位形下，连杆上曲率驻点曲线必分 袋-8 =一tga (18) 解为一直线(：轴)和以该轴为对称轴的圆.当给 定一点P1为Ball点时，需要确定的是铰链点A 式(18)代入式(15)得： 和B的位置.由分析得知A点可以在t轴上任 tg as+tg a.=-2tga (19) 意选取，因此只要确定出t轴的位置就可以确 引理14个布氏点除P以外的其他3个布氏点 定出A点.下面就是先给定t轴的位置，然后确 必在同一直线上~ 定B点和B,点的位置.由前面的分析可知，此 引理2该直线与n轴交于-D/2处.假设：求得 时曲率驻点曲线方程退化为： 两布氏点B=(PB.cos a,PB·sina),C=(PC r=N.cosa cosa,PC.sina.,则BC直线的斜率为： (7) sina=0 PC.sin a -PB.sin a k-pC.cosa.-PB-cosa (20) 点P,为拐点圆与曲率驻点曲线的交点，故应同 该直线方程为： 时满足曲率驻点曲线方程与拐点圆方程，即： y-P。·sina=k(x-Pcosas) (21) PP;=N.cos a (8) 当x=0时，y=P(sina-kcos as) (22) PP=D.sin a (9) 把PC=N-cosa,PB=W.cosa,代入式(20) 因D给定，也给定时，t轴位置给定，N可 进一步化简得： 确定，B点也为曲率驻点曲线上的点，并满足欧

一 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 相 切 的圆 与 轴重 合 的一 直 线和 在 尸 点与 轴 相 切 的圆 或 条直 线 当连杆 上 瞬 心 点 尸 与机架 点 。 重 合 时 ， 另 一 连 架杆必 与机架共 线 此 时连架杆 碑 上 点 的位置可 由欧拉一萨 瓦 利方程 的另 一 种 形 式 讨 · 去 二 尸刁 分 析确定 ， 见 图 式 中 去 为 轨迹法 线 与拐 点圆 的交点 ， 当 尸 点 与 。 点重 合 时 ， 上 式成 为 拉一 萨 瓦 利方程 ， 故有 尸刀 · ， 。 一 黛兰只 二率巫 厂刀 一 仅 尸火 · 入 二 尸左 式 成 立 必 有 去 也 与 尸 点 重 合 ， 轴 上 ， 此 时上 式变 为恒 等式 即 点必 在 式 为 欧拉一萨 瓦 利 方 程 的另一 种形 式 式 中 ， ， ， 分 别 为 和 在 产一 坐 标 系与 轴 的夹角 选 沙一义厂坐标 系 ， 其 中 轴与 轴 重 合 当 给 定后 ， ， 可任意选定 点及 点 的坐 标计算公 式为 及 尸召 · 氏 ， 尽 、 尸召 · 氏 尸召。 · 。 ， 御 伽 尸分。 。 具有 点接触直线的机构综合 给 定 的拐 点 圆上 的点尸，除满足 曲率驻 点曲 线 方 程 外还 满 足 下 面方程 ‘ 工 。 型于攀峡 。 。 「擎 一 。 。 式八 护「 刃 飞一 矿 。 组竺狱笋二竺 十 竺策萨坦 一 则 该 点 可 成 为具有 点接触直 线的点 ， 即布 氏 点 方程 有 个根 对 应着 个布 氏点 ， 假 设 为 ， ， 。 和 。 根据 根与 系数的关 系有 图 平面运动中各关系示愈图 它说 明运动平 面 上满足 。 与尸重合 的点 必 在 轴上 由此可 知 在所研 究的特殊位 形情况 下 的机构 的连架杆 洲 必 为 轴 另外 点还 必 须满足 曲率驻 点 曲线方程 ， 而 一 般 曲率驻 点 曲 线 除尸点 外 与 轴没有 交点 见 图 由此推 出 ， 机构在此种位形 下 ， 连杆上 曲率驻 点 曲线必 分 解 为一 直 线 轴 和 以该轴为对称轴 的 圆 当给 定 一 点 尸， 为 点时 ， 需 要确 定的是铰链 点 和 的位 置 由分 析得 知 点可 以在 轴上任 意 选取 ， 因 此只 要确 定 出 轴 的位置 就 可 以确 定 出 点 下 面就是先 给定 轴 的位置 ， 然后 确 定 点 和 。 点 的位 置 由前 面 的分析 可 知 ， 此 时 曲率驻 点 曲线 方 程退 化 为 。 ， 。 ， 几 氏 一 护 一 尺人护 给定 ， 已知 ， 显然式 成立 下面要 根据 式 确定其他两 个未知量 ， 和 在本 文所讨论 的特殊情况 下 由式 和 得 · 又 由式 对 告 一 。 时有 一 ， 所 以有 山 、 “ “ ’ ’ ” 曰 “ 一 ’ ‘ ， ’ 曰 带只毕岁一 。 式 代入 式 得 尹一 ’ 望 “ 仅 。 。 一 ， 引理 个 布 氏 点 除尸 以外 的其他 个 布 氏 点 必 在 同一 直 线上“ 一 ， 引 理 该直 线 与 轴 交 于 一 处 假 设 求 得 两 布 氏 点 朋 · ， ，尸刀 ， · 。 尹 · 。 ， 则 直 线 的斜率为 点 尸 ， 为拐 点 圆与 曲率驻 点 曲线 的交点 ， 故 应 同 时满足 曲率驻 点 曲线方 程 与拐 点 圆方程 ， 即 尸尸， · ， 尸尸 · ， 因 给定 ， ， 也 给定 时 ， 轴位 置 给 定 ， 可 确 定 点 也 为 曲率驻 点 曲线 上 的点 ， 并满足 欧 · 。 一 尸召 · ， · 。 一 尸召 · 。 该直 线方 程 为 一 几 · ， 一 八 · ， 当 时 ， 夕 。 一 ， 把 二 · 。 ， 尸召 · ，， 代入 式 进 一 步化 简得

Vol.21 No.4 张苏华等：具有5点接触直线的铰链四杆的解析综合 381· k-sina cosa-sina cosa (23) 式点A仍由式(27)求得. c0s2a。-c0s2a4 (3)a=a,此时A点为双布式点.a仍不能 式(23)代入式(22)得： y=N(sinacosa-sinacosa-sinacosacosa)= 任意给定，需由式(19)确定为a=arctg(-2ga), cos'ac-cos'a 第3个布式点A仍由式(27)求得为x=N N(sina,cosa-sinacosa)cosa cosa: (4)a=a1,此时P,点为双布式点.a仍不能 sin'a-sin'ae Nsin(a-a)cosa cosaNcosacosa 任意给定，需由式(19)确定为a=arctg(-3tga), sin(a+a)sin(a-ac) sin(a+a.) 第3个布式点A仍由式(27)求得. Ncosas cosa sina cosa.+cosa sina. 以上对各种情况分别进行讨论只是从理论 D.tga=D.tga= D (24) 上阐述可能出现的各种情况，实际综合时，当给 tg as+tg ae -2tg a 定a,后，a,在选定的范围内取不同值时仍可求 引理2证毕. 得这些点或近似这些点的机构， 所以根据引理2只知道一点（例如B点）时 该直线的斜率可表示为： k-D/2+PB-sin as 3综合举例 PB·cosas (25) 计算举例中取固定铰链点A。=(0,0), 直线的方程可表示为： D=65,a1=50°，分别对上面4种情况给出综合 y红-号 (26) 如下结果. 下面讨论解的几种情况. (1)取a=-70°，计算得到2个解，结果见图 (1)a≠a卡0，当任意给定a6,则a=arctg 3和图4. (-2tga1-tga),第3个布式点A(在t轴上)可由 (2)a=-50°，算得B。=(16.00,-19.07),A= 式(26)求得： (-184.32,0.7),B=(32.01,-38.14).因机构较差， x=D/2k (27) 机构图未给出 (2)a=a,此时B点为双布式点.a不能任 (3)计算得a=-67.24°，结果见图5. 意给定，需由式(19)确定为，=一%，第3个布 (4)计算得a=-74.37°，结果见图6. x(t) xt) 图3机构及其连杆曲线 图4机构及其连杆曲线 B,=(6.320,-1736)4=(38.73,0.00),B=(9.06,-24.90) C。=(-30.08,-10.95)4=(38.73,0.00),C-(68.40,24.90) yn) A x(1) x() B Bo 8/B 图5机构及其连杆曲线 图6机构及其连杆曲线 B=(7.73,-18.42),A-(77.46,0.00),B=11.59,-27.64) B4.22,-15.07)4-14.73,0.00),B=(5.62,-20.10)

张 苏华 等 具 有 点 接触 直线 的铰链 四杆 的解 析综 合 “ 里竖墨爱任健黑 旦丛 式 代 入式 得 ， 一 。 ， 一 。 。 一一一一一丽石不花亩蔺一 一 ， 一 。 。 ， 。 。 ， 一 一丽不砰蔽了 刀七 ， 。 ， 氏 ， · 侣 ， · 二 ， 。 一 ， 旦 引理 证 毕 所 以根据 引理 只 知道一 点 例如 点 时 该直线 的斜率可表 示 为 式 点 仍 由式 求得 口 ， 此 时 点 为双 布式 点 氏仍不 能 任意给定 ， 需 由式 确 定 为 ， 卜 ， 第 个布式 点 仍 由式 求得 为 。 ， 此 时尸 点为双布式点 ， 仍不 能 任意给定 ， 需 由式 确定为 ， 一 ， 第 个布式点 仍 由式 求得 以上 对 各种情况分 别进行讨论 只 是从理 论 上 阐述 可 能 出现 的各种情况 ， 实际综合 时 ， 当给 定 。 后 ， 。 在选定 的范 围 内取 不 同值 时仍可 求 得这 些 点或近似这 些 点 的机 构 尸召 · ， 尸召 · 直线 的方 程可 表示 为 灯 一 万 下 面 讨论解 的几 种情况 氏羊 续 ， 当 任 意 给 定 氏 ， 则 久 二 卜 ， 一 ， 第 个布式 点 在 轴上 可 由 式 求 得 。 ， ， 此 时 点 为双布式 点 氏 不 能任 意给定 ， 需 由式 确 定 为 ， ， 一 ， ， 第 个布 综合举例 计 算 举 例 中 取 固 定 铰 链 点 。 ， ， ， 分 别 对 上 面 种情况给 出综合 如下 结果 取 ， 一 ， 计算得到 个解 ， 结果见 图 和 图 ， 一 ， 算得 厂 ， 卜 ， ， ，一 因机 构较差 ， 机构 图未给 出 计 算得 ， 一 ， 结果 见 图 计 算得 ， 一 ， 结果 见 图 图 机构及其连杆曲线 。 ，一 月气 一 · 声 ，一 · 只 厂一一 、 、 图 机构及其连杆曲线 气一 ，一 · 月 ， ， 气 详 。 图 机构及其连杆 曲线 减 ，一 月气 ， 刀城 ，一 图 机构及其连杆曲线 刀。叫 · ，一 月气 · ， 刀吕 ，一 ·

·382· 北京科技大学学报 1999年第4期 4结论 4 Vidosic J P,Tesar D.Selections of Four-bar Mechanisms Having Requied Approximate Strait-line Outputs,part I, 本文首次系统地阐述了综合此种机构的解 the General Case of the Ball-Burmester Point.Journal of 析方法，该方法概念清楚，思路清晰，公式简捷. Mechanisms,1967.2:23 综合公式的给出从理论上完善了该领域的研 5 Tesar D,Vidosic J P,Wolford JC.Selections of Four-bar 究工作.由于在此特殊位形情况下，能获得很 Mechanisms Having Requied Approximate Strait-line Outputs,part II,the Ball-Burmester Point at the Inflection 多好的直线机构，因此这一方法也有很大的实 Pole.Joural of Mechanisms,1967,2:45 用价值.综合结果证明本文所推导的公式是正 6 Vidosic J P,Tesar D.Selections of Four-bar Mechanisms 确的. Having Requied Approximate Strait-line Outputs,part III, the Ball-Double Burmester Point Linkage.Journal of 参考文献 Mechanisms.1967,2:61 1 Han J Y.Ein Beitrag zur rechnerunterstuetzten Masssyn- 7 Hunt K H.Kinematic Geometry of Mechanisms.Oxford: these ebener Gelenkgetriebe fuer angenaeherte Geradfu- Clarendon Press,1987 ehrungen durch vier bzw.fuenf unendlich benachbarte 8 Wolford J C.An Analytical Method for Locating the Bur- Punkte:[Dissertation].Hamburg:Universitaet der Bun- mester Points for Five Infinitesimally Separated Positions deswehr,1993 of the Coupler Plane ofa Four-bar Mechanism.Joumal of 2韩建友，Funk W.铰链四杆直线机构综合的新方法.机 Mechanics,1960,3:182 械工程学报，1996,32：19 9 Dijksman EA.Approximate Straight-line Mechanisms 3 韩建友，Funk W.四杆直线导向机构综合研究北京科 through Four-bar Linkages.Romanian Journal of Techni- 技大学学报，1998,20(4)：4 cal Science(Applied Mechanics),1972,17:319 Analytical Synthesis of Four-bar Linkage in the Special Configuration with Coupler Curve Having a 5-Point Contact with Its Tangent Zhang Suhua,Jianyou Han Mechanical Engineering School,UST Bejing,Beijing 100083,China ABSTRACT A analytical synthesis method of four-bar linkage in the special configuration,in which the coupler curve has a five-point contact with its tangent(Burmesters point),is presented.With this method,the point which is on the expecting straight-line,the direction of the line and one frame point,can be given be- forehand.Some synthesizing formulae are derived and three synthesizing examples are given.The results have proved that the formulae are correct. KEY WORDS four-bar linkage;coupler curve;straight line;synthesis

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 结论 本文首次系统地阐述 了综合此种机构的解 析方法 该方法概念清 楚 ， 思路清晰 ， 公式简捷 综 合 公 式 的给 出从理 论 上 完善 了该 领域 的研 究工 作 由于 在此特殊位 形 情况下 ， 能获得很 多好 的直线机构 ， 因此这 一 方法也 有很大 的实 用 价值 综合结 果 证 明本文所推 导 的公 式是正 确 的 参 考 文 献 七比 【 ， 韩建友 ， 铰链四杆直线机构综合 的新方法 机 械工程学报 ， ， 韩建友 ， 四杆直线导向机构综合研究 北京科 技大学学报 ， ， ， · ， ， 一 ” ， ， 介 ， ， 一 称 一 ， ， 一 ， ， ，介 叙 加 ， ， · ” ， ， 叩 七 ， ， 汕 山 ， ， 一 一 ， 五口 产 ， ， ， 一 ， 一 ， ， 一 ， ， 一