基于遗传算法轴对称梯度功能材料优化设计

D0I:10.13374/i.issm1001053x.2002.06.013 第24卷第6期 北京科技大学学报 Vol.24 No.6 2002年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.2002 基于遗传算法轴对称梯度功能材料优化设计 张晓丹王三强刘冬青 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要基于计算数学理论与热弹性原理，针对环状截面梯度功能材料(FG0提出了热应力 分布公式.以沿坐标轴的最大热应力达到最小为目标，建立了轴对称FGM多目标优化模型.应 用遗传算法实现了优化设计，获得了稳态温度场下环状截面FGM的最佳材料分布参数. 关键词梯度功能材料；热应力；遗传算法；染色体 分类号.0224：0343.6 梯度功能材料(FGM)是一种新型复合材 料，它在民用、国防、航天等领域有着很好的应 用前景.由于轴对称FGM的优化设计过程复杂， 中间环节很多，而且材料参数是随空间位置变 化的，其本身是不连续的、离散的数据点，因而 所有描述FGM的控制方程都是非线性的，用常 规方法进行优化设计非常困难.本文采用遗传 算法进行了轴对称FGM优化计算. 图1FGM分析模型 1FGM分析模型与热应力分布 Fig.1 Analytical model of FGM 考虑一个多层圆筒，其内壁半径为α，外壁 8=e-% (2) 半径为b.圆筒壁由N层组成，每一层为环状截 此处无表示FGM内第i层的金属体积数.在稳 面且是由金属和陶瓷两相组成的各项同性的复 合材料.假设各层金属相与陶瓷相所占体积数 态温度场中，热传导方程为 dr盟 dr =0(a≤r 是确定的.取圆柱坐标，对称轴为z轴，建立坐 ≤b),这里Ta)=Ti,Tb)=T2,(r)表示r点的热传 标系.假设圆筒处于稳态温度场中，外壁表面温 导系数.温度分布函数可以表示为： 度为T,内壁表面温度为T,圆筒壁两端保持 T(r)=T+C(T:-T)((r)(rir) k. (3) 绝热.如图1所示. 采用Hirano T提出的公式，FGM中金属相 其中c-[管，n-0m-l 体积为： =ha,s=0,1,,n令2d-0,k表示 6 0≤≤5 第层的热传导系数.第i层的热应力分布函数 (1) 为： 5-1≤5s1 EA EB 其中，-素，，h片6=0，h=6a=16=4 a小5adt02 表示FGM圆柱中纯材料（陶瓷或金属）的厚度. aa5anirta-0-2 E,A (4) 由式(1)可得(i=2,…,n-2)的值为： E,BaE,△Tr） (1+v)r1-y, 收稿日期2001-11-05张晓丹女，42岁，教授 odr)=-aEAnr) 2E,A: *国家自然科学基金N0.60074034)与高等学校骨干教师基金资助 1-y: (1+v)1-2v)

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 匕】 一 基于遗传算法轴对称梯度功能材料优化设计 张晓丹 王三 强 刘 冬青 北京科技大学应用科学学院 ， 北京 摘 要 基于计算数学理论与热 弹性原理 ， 针对环状截面梯度功能材料任 提 出了热应力 分布公式 以 沿 坐标轴的最大热应力达到最小 为 目标 ，建立 了轴对称 多 目标优化模型 应 用遗传算法实现 了优化设计 ， 获得 了稳态温度场下 环状截面 的最佳材料分布参数 关键词 梯度功能材料 热应力 遗传算法 染色体 分类号 梯度功 能材料 是一种新 型 复合材 料 ， 它在 民用 、 国 防 、 航天等领域有 着很好 的应 用 前景 由于轴对称 的优化设计过程复杂 ， 中间环节很 多 ， 而且材料参数是 随空 间位置变 化 的 ， 其本身是不 连续 的 、 离散 的数据 点 ， 因而 所有描述 的控 制方程都是非 线性 的 ， 用 常 规方法进行优化设计非常 困难 本文采用 遗传 算法进 行 了 轴对称 优化计算 回卜葬‘ 分析模型与热应力分布 考虑 一个多层 圆筒 ， 其 内壁半径为 ， 外 壁 半径 为 圆筒壁 由 层组成 ， 每一层为环状截 面且是 由金属和 陶瓷两相组成 的各项 同性 的复 合材料 假设各层 金属 相 与 陶瓷相所 占体积数 是 确定 的 取 圆柱坐标 ， 对称轴 为 轴 ， 建立 坐 标系 假设圆筒处于稳态温度场 中 ， 外壁表面温 度为 兀 ， 内壁表面温度为 不 ， 圆筒壁 两端保持 绝 热 如 图 所示 采 用 提 出的公式 ， 中金属 相 体积为 图 分析模型 · 。 一 渗落 呱 一 ，一动弋 一 少 此处厂 表示 内第 层 的金属 体积数 在稳 态温度场 中 ， 热传导 方程为 · 、 · 剖 三 ‘ ， 这里 联口 二 不 ， 双 界 ， 权 表示 点 的热传 导 系数 温度分布 函数可 以表示 为 。 一 一 其 电 一 力 ，，一 一 ， ， 乙 兰 嘿 三几 罕」， 鹦， ， … ， 一 ， 组睿丛 二 于参 丫 土 ， 二 一 二 ， 二 豪耳乙 刁 马，乏 ‘ “ 、 一 、 ， 几 爆八 ， ， ， ‘ ” ， 第 层 的热传导 系数 为 ‘ ， 令 全皿孕鱼 一 。 ， 、 表示 盈 几 第 层 的 热应力 分布 函 数 其 中 ， 。 一 粤 ， 么 一 ， ‘ 一几 吞 一 ，三 咨感 ， 氛 ， “ 一 ， 么“ ， 二 九 式双 对 、尹、 一石 娜仪协 口一 表示 圆柱 中纯材料 陶瓷 或金 属 的厚度 由式 可 得 吞 ， … ， 一 的值为 扮卜澎豁价、 气平彩 屯 动 动卜尹豁知 不表兴动 三 ， 云△叮 卜动对 一 收稿 日期 加 一 一 张晓丹 女 ， 岁 ， 教授 巾 国家 自然 科学基金 与高等学校骨 干教师基金资助 以 一 云△洲 一 ， 一 ‘ DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2002．06．013

Vol.24 张晓丹等：基于遗传算法轴对称梯度功能材料优化设计 631· A,B,是待定的积分常数，可由圆筒的边界条件 开始) o(a)=(b)=0和连续条件确定如下： A-B=0 1-2w,d (5) 初始群体 A-At(B,-B）=C: (6) 评估 GB-GBm=F+ri(GHA-GHAm) 遗传算子选择、交配变异 i=1,2,,n-1 (7) A.B=F. 1-2v b2 (8) 评估 其中， 收敛准则 0 c-aa片广aw yes (结束 F=- a地1,2n-1 (9) 图2GA优化设计流程图 G=品，以= 1 Fig.2 Flow chart of optimum design using GA R=导∫aw =a2b2-会二号确定，其中m由式2'b-。) E,V。a,分别表示第i的层弹性模量、泊松比和热 ×10≤2"-1决定，8表示精度.这样十进制个体 传导系数 {n,p,h,t(此处假设。t=)按照预先给定的参数 取值区间，与相应的二进制串表述如下： 2FGM圆筒GA优化设计过程 n:y,=bob11…bu,2-lw,03>0,∑0，=1 2.3适应函数与选择策略 以使FGM圆筒沿三个坐标轴方向的最大热应 采用轮盘赌法作为选择策略.它是一种正 力达到最小为目标.FGM圆筒的优化问题可表 比选择策略，能够根据与适应值成正比的概率 述如下： 选出新的种群.适应函数起了测定染色体对目 min o(n,p,h,ta= 标适应性的作用.具体选择与评估过程如下： min max max[o(r)+ol(r)lr)](11) (1)将染色体的基因型转换为表现型，即将 其中，1≤n≤N,p≤p≤p2,0h≤h,04.≤i,0<4≤i. 二进制串转换为十进制数： 应用GA优化目标函数的流程图见图2. ={n,p,h,计，i-l,2,…,pop_size. 2.2编码 (2)计算目标函数值()将目标函数值转化 采用二进制编码对上述优化问题的参数 n,p,h,t,(此处假设t。=t)进行编码，码长依据 适应值，取适应函数为：va(价，对第代的 每个染色体计算适应值 解的精度要求来确定.假设二进制串为：x。= eval(t,V)=1/o(ns pe,h,n),k=1,2,,pop_size. bbm-1…bb,则相应的十进制数x∈[a,b]可由 (3)计算种群中所有染色体的适应值的和

一 张 晓丹等 基 于遗传算法轴对称梯度功能材料优化 设计 法 ， ， 是待定 的积分常数 ， 可 由圆筒 的边界条件 己 衅 和 连续条件确定如下 ︸ 、 产、尹尸 了口、 、 、 一 ， ， 。 一二厂 蔑一法 价 了一 什 ，一 毖 一 ， ， ‘ 井只 对 廿鱿注 ‘一 凡 ， ， 、了、了 、少、声 。 ， … ， 一 一 巧 ， 一 一 一万下产 户 二 其 中 ， 一镖 片户 号聋分上 △玲 青价玲 初始群体 遗传算子选择 、 交配变异 ， ， … ， 一 一 图 优化设计流 程 图 十丫月 以。 ‘ 时 丫 」 丁一 气井犷 艺 气 ‘ － 夕 九户 二 一 艺 卜 ‘ ， 黑 确定 ， 其 中 由式 ， 一 。 一 。 乙 － 云 ， ， ，分别表示第 的层弹性模量 、 泊松 比和热 传导 系数 ‘ “ ’ 一 决定 ，咨表示 精度 这样 十进制个体 ， ， ， 此处假设‘ 按照 预先给定 的参数 取值 区 间 ，与相应 的二进制 串表述如下 川 一艺间 口，‘、了 圆筒 优化设计过程 卿 问题描述 圆筒 的热应力优化是一个 多 目标优 化 ， 其最大热应力 可 设为 肥替 黔 腼 以 。 以 。 以 」当梯度层 层数 ， 体积分布 因 子 ， 梯度层厚度 ， 纯 陶瓷厚度 及纯金属厚度 九给定时 ， 圆筒的最大热应力亦被确定 因 此它 为 。 ， ， ， ‘ ， 几 的 函数 ， 记作 试， ， ， ， 。 民 。 民 。 端 这里 助 ， 处 ， 口。 为权系数 由于 圆筒沿三个 方 向的热应 力 以 为 主项 ， 故权系数 ， 二 二 、 ， ‘ 一 ’ 一 ‘ 兰 ‘ 一 ， ， ‘一 万一 ‘ 一 ’ 姚 二 … 、 ， ‘ 一 ， 勿 一 “ ‘ 一 ， ，二 咚 。 了· 一 · 一 … ， 卜，旱一 “ “ 一 ， 一‘ 一 ’ 一 ’ ，一 占‘ ‘ 一 ， 出 、产 ” 一 瞩 叭 ，‘ … ， 田 。 ， 。 ， 艺田苦 以使 圆筒沿三个坐标轴方 向的最大热应 力达到最小为 目标 圆筒 的优化 问题可表 述如下 ，尸 ， ， ， 九 。 。 优 。 端 其 中 ， ‘ ‘ ， 印印， 三 ， 夕 ， 几‘ 应用 优化 目标 函数 的流程 图见 图 编码 采 用 二 进 制 编 码 对 上 述 优 化 问题 的参 数 ， ， ， ， 九 此处假设 二 进行编码 ， 码 长依据 解 的精度 要 求来确定 假设二进 制 串为 。 练戈 一 ，… 瓦 ， 则 相 应 的 十进 制 数 ，曰， 可 由 ‘ 一 ·嗜 ” · ，一 · 裂 其 中 ， 涯 ， ， ， ，… ， ， ’ ， ，… ，人 ， 任 ， ， ， 这样群体 中每一个体采取形 式 尸二 ，， ， ， ， 巧 ，。 ，… 一 ， 邓 … 、 一 ，， ， … 、 一 ， … 卜 卜 ， ， … ， 几 ， 串长 为 艺乙 ， 任 沪 ， ， 适应 函数与选择策略 采用 轮盘赌法作为选择策略 它是一 种正 比选择 策略 ， 能够根据与适 应值成正 比的概率 选 出新 的种群 适应 函数起 了测 定染色体对 目 标适应性 的作用 具体选择与评估 过程如下 将染色体 的基 因型 转换为表现 型 ， 即将 二进制 串转换 为十进制数 卜 ，，尸 ‘， ，， ， ， ， … ， 计算 目标 函数值试码 将 目标 函数值转化 适应值 取适应 函数为 的 每个染色体 尸计算适应值 谕 ， 对第俄的 ，哟 试 ，夕 ， 、 ， ， 卜 ， ，… ， 计算种 群 中所有染色体的适应值 的和

·632. 北京科技大学学报 2002年第6期 F=eval6,内. 最后，随机产生初始群体，经过遗传算子（选 (4)对每个染色体，计算选择概率P 择、交配和变异)的反复作用，最终得到热应力 peval12.pop size. 缓和型轴对称FGM内部材料的最佳组成分布. F (⑤)对每个染色体，计算累计概率q 3结果及讨论 =pk=1,2,",pop_size 在实验中，选取内壁表面温度T,=300K,外 经过以上操作选出新的种群 壁表面温度T2=1500K,梯度层层数n∈[2,18]， 2.4交配和变异 体积分布因子p∈[0.2,1.81，梯度层厚度h∈[3,32]， 采用简单交配法.该法随机的选择一个断 表面层厚度（纯陶瓷厚度记为。及纯金属Cu厚 点，交换双亲上断点的右端，生成新的后代.如 度t),此处假设t。=t=t[0.5,2.5].遗传算法优化 图3所示 中的重要参数选取如下，初始群体规模pop_ 交配位 交配位 size-10,交配率p.=0.25,变异率pm0.01. 父代=[1000011110101] 子代-[1000010101010] 数值实验显示，用遗传算法优化出热应力 父代2-0101010101010] 子代-[0101011110101] 缓和型轴对称FGM制备的参数分布组合为： 图3简单交配示意图 =15,p-0.d,h=8.0mm,t。=t=1.0mm,最小热应力 Fig.3 Simple crossover example 468.32MPa.其中梯度层层数n,体积分布因子p 变异以等于变异率的概率改变一个或几个 以及表面层厚度t。和。对热应力的影响见图3. 基因，从而使进化有更大的遍历性 根据以上数值实验及计算结果，FGM圆筒 2.5终止准则 各梯度层的组成配比、梯度层层数、体积分布因 每一个体的适应值eval(t,被确定后，通 子、梯度层厚度、梯度层分割粗细及表面层厚度 过遗传算子的作用就可以产生新的种群.当下 等均对FGM圆简内热应力的分布及大小产生 面的条件满足的时候，就可以终止整个的遗传 不同程度的影响.因此，只有各个材料参数获得 进化过程.令 最佳匹配才能保证FGM在制备及使用过程中 V(r)=max eval(t,V)k=1,2,,pop_size 产生的热应力达到最大程度的缓和状态.上述 而-t+1)<e FGM圆筒的GA优化数值试验获得的参数组合 (12) ε是问题求解所要求的精度 无疑对FGM的制备具有积极的指导意义. (a) b 0.46 (c) 0.42 6 0.38 0.32 4 8 12 16 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 0.40.8 1.21.6 2.0 nl层 p t/mm 图3梯度层层数n(a,体积分布因子p(b)和表面层厚度t(©对热应力分布的影响 Fig.3 Number of gradient lays n(a),volume factor p(b)and surface thickness t(c)effect on the distribution of themal 4结论 参考文献 1 Hirano T,Teraki J,Yamada T.On the design of function- 应用遗传算法对轴对称FGM的优化模型 ally gradient materials [A].The First International Sym- 进行了数值求解，数值实验及计算结果显示，梯 posium,FGM [C].Tokyo,1990 度层数、体积因子、梯度层厚度对FGM的热应 2 Zhang X D,Liu T Q,Ge CC.Mathematical model for axial symmetrical FGM [A].4th Int Symp on FGM [C]. 力均有一定的影响.因此通过优化设计获得热 Tokyo,1996 应力缓和的最佳参数配比，对于指导FGM的制 3邢文训，谢金星.现代优化计算方法M北京：清华 备具有重要意义， 大学出版社，1999 (下转第650页)

一 北 京 科 技 一 ’逻飞 ， 哟 对每个染色体 砰 ，计算选 择概率尸 ，哟 ， ， … ， 大 学 学 报 年 第 期 最后 ， 随机产生初始群体 ， 经过遗传算子 选 择 、 交配和 变异 的反复作用 ， 最终得到热应力 缓和 型 轴对称 内部材料 的最佳组成分布 对每个染色体 叭计算 累计概率价 叮 ， 二 ， ， … ， 一 厂 经过 以 上操作选 出新 的种 群 交配和 变异 采用 简单交配法 该法 随机 的选择一个断 点 ， 交换双亲上断点 的右端 ， 生成新 的后代 如 图 所示 交配位 父代 父代 尸 交配位 子代 尸 子代 尸 图 简单交 配示 意 图 变异 以等于变异率的概率改变一个或几个 基 因 ， 从而使进化有更大的遍历性 终止准则 每一个体 的适应值 ，码被 确定后 ， 通 过遗传算子 的作用 就可 以产生新 的种群 当下 面 的条件满足 的时候 ， 就可 以终止整 个 的遗传 进化过程 令 ，哟 卜 ， ， … ， 几 硕万一 是 问题求解所要求 的精度 结果及讨论 在实验 中 ，选取 内壁表 面 温度 不 ， 外 壁表面 温度 兀 二 ， 梯度层 层数 以 ， ， 体积分布因子 以 ， ， 梯度层厚度 〔 ， ， 表面层厚度 纯 陶瓷厚度记为 及 纯金属 厚 度 九 ， 此处假设 掩 【 ， 〕 遗传算法优化 中的重 要参数选取如下 ， 初 始群体规模 几 ， 交配牵沪厂 ， 变异率沪 用 数值实验显 示 ， 用 遗传算法优化 出热应力 缓 和 型 轴对称 制备 的参数分布组合为 ， 己 ， 解 ， ， 最小热应 力 拓 犯 其 中梯度层层数 ， 体积分布 因子 以及表面层厚度 和 九对热应力 的影 响见 图 根据 以上 数值实验及计算结果 ， 圆筒 各梯度层 的组成配 比 、 梯度层层数 、 体积分布因 子 、 梯度层厚度 、 梯度层分割粗细及表面层厚度 等均对 圆筒 内热应力 的分布及大小产生 不 同程度 的影 响 因此 ， 只有各个材料参数获得 最佳 匹 配才能保证 在制备及使用 过程 中 产生 的热应力达到最大程度 的缓和状态 上述 圆筒 的 优化数值试验获得 的参数组合 无疑对 的制备具有积极 的指导意义 一 丫 一 、 图 梯度层层 数 ， 体积分布 因子尸 和 表面层 厚度 对热应 力 分布的影响 · ， 妞 结论 应用 遗传算法对轴对称 的优化模型 进行 了数值求解 ， 数值实验及计算结果显示 ， 梯 度层数 、 体积 因子 、 梯度层厚度对 的热应 力均有一 定 的影 响 因此通过优化设计获得热 应力缓和 的最佳参数配 比 ， 对于指导 的制 备具有重 要意义 参 考 文 献 ， ， 、 乞 ， ， ， ， ， 邢 文训 ， 谢金星 现代优化计算方法「 北 京 清华 大学 出版社 ， 下转第 页

·650 北京科技大学学报 2002年第6期 体系的成膜性能，使润滑剂的润滑机制发生改 4虞路清，李久青.复合人工滑液的流变性能及润滑机 变，摩擦系数降低 制分析[.北京科技大学学报，2001,23(4)：332 5 Murakami T,Sawae Y.The adaptive multimode lubrica- 参考文献 tion in knee prostheses with artificial cartilage during wal- king [A].Dowson D.Elastohydrodynamics[C].Else- 1 Murakami T,Higaki H,Sawae Y,et al.Adaptive multi- vier Science B V,1997.371 mode lubrication in natral synovial joints and artificial 6 Toshimitsu Yokobori A,Takashi Kawaharada.Mechanical joints [J].Proc Instn Mech Engrs,1998,212:23 test method on the estimation of the lubricant performance 2 Dowson D,Wright V.Introduction to the Biomechanics of by hyaluronic acid []Bio-Medical Materials and Engin- Joints and Joint Replacement [M].London:MEP,1981. eering,1995,5(2):117 139 7朱步瑶，赵振国.界面化学基础M)北京：化学工业 3王丽，高瑾，李久青，聚乙烯醇水凝胶人工软骨润滑 出版社，1996.74 体系研究J.云南大学学报（自然科学版），2002,241)： 309 Influence of Artificial Synovia by La-DPPC on Lubricate Capability WANG Li",GAO Jin "LI Jiuging",LOU Siquan 1)Material Science and Engineering School,UST Beijing,Beijing 100083 2)Health Science Center,Peking University,Beijing 100083,China ABSTRACT Both the Stribeck curve and friction coefficient were mensurated before and after the La-DPPC was added into the HA lubricate system by pendulum friction apparatus.It was found that the system friction coefficient decreased sharply after La-DPPC was added.From the Stribeck curve,the lubricate mechanism of the lubricate system could change from the mix lubricate to the liquid film and mix lubricate.It is speculated that the interface characteristic must be changed because of La-DPPC.In order to prove this speculation,sur- face tension was tested when La-DPPC was added into the HA lubricate system,and an analysis of IR spectra was done on La-DPPC.The results show that La-DPPC has hydrophilic and hydropholic characteristics, and acts as a surface active agent in lubricant,which decreases surface tension greatly.This contributes to film formation in the system and increases lubricate effect. KEY WORDS La-DPPC:surface tension;artificial synovia;lubricate capability (上接第632页) Optimization of Axial Symmetrical FGM Using the Genetic Algorithm ZHANG Xiaodan,WANG Sangiang,LIU Dongqing Applied Science School,UST Beijing.Beijing 100083,China ABSTRACT The distribution of thermal stresses for an empty cylinder of Functionally Graded Materials (FGM)with axial symmetry is obtained,and the Genetic Algorithm(GA)is applied to the optimization prob- lem of material composition for an empty cylinder of FGM with axial symmetry.Based on the thermal elasti- city theory and computational method,the numerical calculations are made using a genetic algorithm.The minimum thermal stresses and optimum combination are obtained for an empty cylinder of FGM. KEY WORDS functionally graded material (FGM);thermal stress;genetic algorithm;chromos-ome

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 体 系的成膜性能 ， 使润 滑剂 的润 滑机制发生改 变 ， 摩擦系数 降低 参 考 文 献 ， ， ， ， ， ， ， 王 丽 ， 高瑾 ， 李久青 聚 乙 烯醇水凝胶人工软骨润 滑 体系研究 云南大学学报 自然科学版 ， ， 虞路清 ， 李久青 复合人工滑液的流变性能及润滑机 制分析 北京科技 大学学报 ， ， ， 丫 ’ ， ， 泊 场 一 飞 ， ， 朱步瑶 ， 赵振 国 界面化学基础 【 北京 化学工业 出版社 ， 一 恻刃 ， “ ， “ ， 口 ， ， ‘ ， ， 一 一 ， 一 ， 一 ， 一 一 师 师 ， 】 ， 一 上接第 页 子了理刀 ， 不了乙理刃 ， 刀 甘“ ， ， ， ， 】 加 ， 门 一