第3期 磨福成等：连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制 389· 将(t)的表达式即式(30)代入式(31)得 式中， (t)=P(t)+P(t)A(t)-P(t)BR-BTP(t)z(t)- K(t)=R-1BTP(t)=(Kz(t)Ky(t)Ke(t)Kz(t)) P(t)BR-BTg(t)+P(t)G(t)r(t)+g(t). (33) P(t)和g(t)分别由式(12)和式(13)确定. 由式(31)~(33)得到 证明：由定理1已得到 -Q+AT(t)P(t)]z(t)-AT(t)g(t)= i(t)=-Kz(t)ez(t)-Ky(t)ey(t)-Ke(t)e(t)- P(t)+P(t)A(t)-P(t)BR-BTP(t)=(t)- Kz(t)x(t)-R-BTg(t), P(t)BR-BTg(t)+P(t)G(t)r(t)+g(t).(34) 对上式在to,上积分即得到式(39).定理2得证 此式为关于()的恒等式，所以应该有 由定理2的最优控制输入可以看出，最优控 -P(t)=AT(t)P(t)+P(t)A(t)- 制器由四部分组成：第一部分一 K(s)ez(s)ds- P(t)BR-BTP(t)+Q, (35) Ky(s)ev(s)ds是系统位置跟踪误差的积分；第 to g(t)=Ac(t)g(t)-P(t)G(t)r(t). (36) 二部分 Ke(s)e(s)ds是协调误差的积分：第 Jto 上两式即为P(t)和g(t)所满足的微分方程.要唯 三部分 一地解出P(t)和gt),还需要一个条件.由于已知 Rz(s)文(s)ds是状态反馈：第四部分 Jto g(t)=0,今再推导一个关于P(t)的条件. -R-IBT 从Φ(t)Φ-1(tr)=I即 g(s)ds是日标值预见补偿.事实上，由 Jto g(t)的表达式(29)可以看出，g(t)可以通过从当 更11(t）Φ12(tf) 乎11(t) 乎2(t) 前时刻t到终止时刻t:某个函数的积分得到，被 Φ21(t)Φ22(t) Ψ21(t）22(t) 积函数中包含了日标值信号的信息，因此第四部分 得到 -R-1BT g(s)ds也包含了目标值信号的信息. Φ11(t)Ψ11(tf)+Φ12(t)Ψ21(t)=I, 2.2 基于切换规则的轨迹跟踪控制 Φ11(tf)Ψ12(t）+Φ12(t)Ψ22(tf)=0, 上节的结果只在目标值信号满足T,()卡0时 (37) Φ21(te)Ψ11(t）+Φ22(t)Ψ21(t)=0, 成立.对于复杂的平面日标值信号，如果T()= Φ21(tr)Ψ12(tr）+Φ22(tr)Ψ22(tf)=I. 0,r.(d)≠0，可以取协调系数为m)=得，然后 所以有 与上节采用完全相同的方法导出扩大误差系统，给 P(tr）=(21(tr)Ψ12(t)+Φ22(t)Ψ22(tr)》-1× 出最优控制输入. 如果目标值信号的图像跨过X轴和Y轴， (Φ2i(tr)Ψ11(t）+Φ22(tr)Ψ21(tf)=0. (38) 就可以采用切换系统的做法，在目标值信号满足 至此，定理1证毕. ,因≠0的部分取n因=？=但为协调系数，而 rv(t) 由定理1立即得到定理2 定理2设t≤to时u(t)=0,则系统(1)的最 在目标值信号满足r,)≠0的部分取m心=”但 rx(t) 优控制输入为 为协调系数.在实际问题中，可以选取适当的切换 规则使得各种情况下分母绝对值都不要太小.若随 w)--K-()e.(od- Ky(s)ey(s)ds- 着时间t的增长，系统状态从A区进入B区，就把 系统在A区的终值(x(t),()作为B区的初值. Ke(s)e(s)ds-K=(s)X(s)ds- 3数值仿真 R-1BT g(s)ds 以结构互不相同的直线电机以及其驱动回路 (39) 组成的系统为例.设X轴方向的直线电机为文献第 期 廖福成等 连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制 · · 将 乏 的表达式即式 代入式 得 “‘一【‘ 亡‘‘一‘” 一‘” ‘ ‘ 尸 亡亏丑一’亏 尸 亡‘ 广 夕 由式 、 得到 一〔 通 ‚〕‘一涯 ‘。‘ ”‘ ‘‘一 ‘” 一’” ‘二‘ 启几一‘力 ‚ ‘ 价‚ 夕 此式为关于 袱 的恒等式‚所以应该有 一户 涯 尸 ‚ 通 一 尸 力丑一‘力 尸 。 ‚ 夕 艺 亡一 户 上两式即为 和 所满足的微分方程 要唯 一地解出 和 绒 ‚还需要一个条件 由于已知 斌 ‚今再推导一个关于 尸 的条件 从 毋 毋一‘ 即 式中‚ 瓦 一’力 。 凡 兀‚ 凡 凡 亡 和 分别由式 和式 确定 证明 由定理 己得到 公 一凡 二 一兀‚亡 ‚ 一凡 艺一 凡 戈 一几一’ 艺‚ 对上式在 。‚ 上积分即得到式 定理 得证 由定理 的最优控制输 入可 以看 出‚最优控 制”由四部分组成第一部分一丘、 · 丘、 ··是系统位置跟“误”的积” 第 二 部 分 三 部 分 一 一力 凡 。 是协调误差的积分 第 凡 ‚是状态反馈 第四部分 扮坛产扬︺ 斌、 是 日标值预见补偿 事实上 ‚由 厂‚ “ ‚‚。 、一 、中 少 叭 艺 典 亡 叭 巩 、、户 、了、 得到 绒 的表达式 可以看出‚绒 可以通过从当 前 时刻 亡到终止 时刻 衍 某个 函数的积分得到 ‚被 积函数 中包含了 目标值信号的信息 ‚因此第四部分 叭‚ 毋 巩 ‚ 一“一”·丘。 ··“包“了目标值信号的信息· 叭 亡 必 热 ‚ 叭 毋 叭 ‚ 巩 亡 必 巩 基于切换规则的轨迹跟踪控制 上节 的结果只在 目标值信号满足 成立 对 于复杂的平面 目标值信号 ‚ ‚二 并 ‚可以取协调系数为。 约 。 笋 时 如果 ‚ 必毋‚曰三‚二︸‚ ‘、了‘矛衍 、‚了、 所 以有 一粤工 ‘ ‚然后 尸 艺 毋 巩 毋 艺热 一‘ 必 艺叭 亡 毋 甄 至此 ‚定理 证毕 由定理 立 即得到定理 定理 设 蕊 。时 。 ‚则系统 的最 优控 制输入为 与上节采用完全相 同的方法导出扩大误差系统 ‚给 出最优控制输 入 如果 目标值信 号 的图像跨过 轴和 轴 ‚ 就可 以采用切换系统的做法 ‚在 目标值 信号满足 ‚‚二 ‚、 、 ‚价 二 、 ‘ 协 并 的部分取” 一湍 为协调系数‚而 在 目标值信号满足 二约兴。的部分取 。 ”一丘、 ·二·一丘。 ·二·一 为协调系数 在实际 问题 中‚可以选取适 当的切换 规则使得各种情况下分母绝对值都不要太小 若随 着时间 亡的增长 ‚系统状态从 区进入 区‚就把 尤、 ···一丘凡·‚ ‘ ·‚一 一”·丘。 ·二 系统在 区的终值 ‚叭约 作为 区的初值 数值仿真 以结构互不相 同的直线 电机 以及其驱动 回路 组成的系统为例 设 轴方 向的直线 电机为文献