第5期 汪培庄，等：因素表示的信息空间与广义概率逻辑 ·851· 关时，它们之间的并、交运算必须取最大、最小 概率： HAUB(x)=max(HA(x).ug(x)) HAns (x)=min(A (x).ug(x)) 当两个概念的表现因素相互独立时，它们之 间的并、交运算必须取概率和与概率积： HAUB (x)=HA(x)+g(x)-HA(x)Xug(x) 20 HAnB (x)=HA(x)Xug(x) 图3模糊集是随机云的落影 当两个概念的表现因素是完全负相关时，它 Fig.3 A fuzzy set is the falling shadow of a random cloud 们之间的并、交运算必须取有界和与有界积： μAus(x)=min(a()+μs(),1) 模糊集A和B分别是截集A和B,的落影，其 HAnB (x)=max(HA(x)+us(x)-1.0) 中(1，s)是U=0,1]×[0,1]上的2维随机变量，具有 定理2是因素空间对泛逻辑前3个连续逻辑 均匀的边缘分布。图4左下方是D×D,其对角线 算子对的证明，所叙述的条件完全符合泛逻辑的 还是D,表示年龄域。对于D中的任意一点x,向 要求。定理2的证明见文献[20]，这一结果曾在 右交A的隶属曲线a于其高度5，向上交B的隶 1991横滨国际模糊系统协会议上宣读。定理2的 属曲线g于其高度1，这样在方块U中就确定了 证明是最早也是最严格的数学证明。定理1也给 一点(s,)。由这一点作十字架将U分成四块，左 出了在一般情况下隶属度的计算方法。其运算可 下方的矩形叫做交区，挖掉右上方的矩形后剩下 由因素背景分布唯一确定。明确指明了解决隶属 的三块矩形之并叫做并区。假设读者已经知道如 度运算的选择性困难的关键在于模糊概念背后的 何把因素空间背景集的概念随机化为背景分布 因素背景分布。 R,为节省篇幅，不在此赘述。 a,的 6结束语 (5.t) 因素空间是泛逻辑表现的空间和舞台，因素 空间为泛逻辑连续算子对的选择提供数学依据。 泛逻辑是因素空间表现的内核与指引。泛逻辑与 因素空间是逻辑与数学之间互相依靠的伙伴。 机制主义人工智能-泛逻辑-因素空间三者的 结合，可以为人工智能的统一机制从逻辑与数学 方面提供比较全面的研究。本文着重阐述了泛逻 图4模糊集的并、交运算 辑与因素空间之间存在着天然的联系，这样就保 Fig.4 Union and intersection of fuzzy sets 证了三结合理论的内在和谐与统一。 定理1隶属度运算的确定法则。给定U上 参考文献： 的背景分布密度r(s,0),则有 Lus(x)=4a(x)Aμs(x)=R(交区) [1]钟义信.高等人工智能原理：观念·方法·模型理论M, Ans()=4a(x)VμB(x)=R(并区) 北京：科学出版社，2014. 这里，R(C)表示背景分布R在区域C中的概 [2]何华灿.泛逻辑学原理M.北京：科学出版社，2001. 率：R(C)=Cr(s,)dsdt。 [3]LUKASIEWIEZ L.On three-valued logic[J].Ruch filozi- 证明μa(x)是随机集Ea对x的覆盖概率，它 faczny,.1920,5:170-171. 等于矩形(0，×0,1)所占有的概率。μs()是随 [4]ZADEH L A.Fuzzy sets[J].Information and control,1965, 8(3):338-353. 机集s对x的覆盖概率，等于矩形[O,1]×0,s所 [5]王国俊.计量逻辑学（①.工程数学学报，2006,23(2： 占有的概率。4a(x)As(x)=Hans(x)应当等于两矩形 191-215 之并(0，×[0,1]U([0,1]×[0,)所占有的概率。4a(x) WANG Guojun.Quantitative logic(I)[J].Chinese journal Vμs()=4Aus(x)应当等于在([0，×[0,1)U(0,1]× of engineering mathematics,2006,23(2):191-215. [0,)=并区中的联合背景概率。证毕。 [6]SCHWEIZER B,SKLAR A.Probabilistic metric 定理1的直观意思见图4。 spaces[M].New York:North Holland,1983. 定理2当两个概念的表现因素是完全正相 [7]周红军概率计量逻辑及其应用M.北京：科学出版社，图 3 模糊集是随机云的落影 Fig. 3 A fuzzy set is the falling shadow of a random cloud U = [0,1]×[0,1] D× D D D x A µA s B µB t U (s,t) R 模糊集 A 和 B 分别是截集 At 和 Bs 的落影，其 中（t，s）是 上的 2 维随机变量，具有 均匀的边缘分布。图 4 左下方是 ，其对角线 还是 ，表示年龄域。对于 中的任意一点 ，向 右交 的隶属曲线 于其高度 ，向上交 的隶 属曲线 于其高度 ，这样在方块 中就确定了 一点 。由这一点作十字架将 U 分成四块，左 下方的矩形叫做交区，挖掉右上方的矩形后剩下 的三块矩形之并叫做并区。假设读者已经知道如 何把因素空间背景集的概念随机化为背景分布 ，为节省篇幅，不在此赘述。 U r(s,t) 定理 1 隶属度运算的确定法则。给定 上 的背景分布密度 ，则有 µA∪B (x) = µA (x)∧µB (x) = R(交区) µA∩B (x) = µA (x)∨µB (x) = R(并区) R(C) R C R(C) = ! C r(s,t)dsdt 这里， 表示背景分布 在区域 中的概 率： 。 µA (x) ξA x ([0,t]×[0,1]) µB (x) ξB x [0,1]×[0,s] µA (x)∧µB (x) = µA∩B (x) ([0,s]×[0,1])∪([0,1]×[0,t]) µA (x) ∨µB (x) = µA∪B (x) ([0,s]×[0,1])∪([0,1]× [0,t]) = 证明 是随机集 对 的覆盖概率，它 等于矩形 所占有的概率。 是随 机集 对 的覆盖概率，等于矩形 所 占有的概率。 应当等于两矩形 之并 所占有的概率。 应当等于在 并区中的联合背景概率。证毕。 定理 1 的直观意思见图 4。 定理 2 当两个概念的表现因素是完全正相 关时，它们之间的并、交运算必须取最大、最小 概率： µA∪B (x) = max(µA (x), µB (x)) µA∩B (x) = min(µA (x), µB (x)) 当两个概念的表现因素相互独立时，它们之 间的并、交运算必须取概率和与概率积： µA∪B (x) = µA (x)+µB (x)−µA (x)×µB (x) µA∩B (x) = µA (x)×µB (x) 当两个概念的表现因素是完全负相关时，它 们之间的并、交运算必须取有界和与有界积： µA∪B (x) = min(µA (x)+µB (x),1) µA∩B (x) = max(µA (x)+µB (x)−1,0) 定理 2 是因素空间对泛逻辑前 3 个连续逻辑 算子对的证明，所叙述的条件完全符合泛逻辑的 要求。定理 2 的证明见文献 [20]，这一结果曾在 1991 横滨国际模糊系统协会议上宣读。定理 2 的 证明是最早也是最严格的数学证明。定理 1 也给 出了在一般情况下隶属度的计算方法。其运算可 由因素背景分布唯一确定。明确指明了解决隶属 度运算的选择性困难的关键在于模糊概念背后的 因素背景分布。 6 结束语 因素空间是泛逻辑表现的空间和舞台，因素 空间为泛逻辑连续算子对的选择提供数学依据。 泛逻辑是因素空间表现的内核与指引。泛逻辑与 因素空间是逻辑与数学之间互相依靠的伙伴。 机制主义人工智能−泛逻辑−因素空间三者的 结合，可以为人工智能的统一机制从逻辑与数学 方面提供比较全面的研究。本文着重阐述了泛逻 辑与因素空间之间存在着天然的联系，这样就保 证了三结合理论的内在和谐与统一。 参考文献： 钟义信. 高等人工智能原理: 观念•方法•模型•理论 [M]. 北京: 科学出版社, 2014. [1] [2] 何华灿. 泛逻辑学原理 [M]. 北京: 科学出版社, 2001. LUKASIEWIEZ L. On three-valued logic[J]. Ruch filozi￾faczny, 1920, 5: 170–171. [3] ZADEH L A. Fuzzy sets[J]. Information and control, 1965, 8(3): 338–353. [4] 王国俊. 计量逻辑学 (I)[J]. 工程数学学报, 2006, 23(2): 191–215. WANG Guojun. Quantitative logic (I)[J]. Chinese journal of engineering mathematics, 2006, 23(2): 191–215. [5] SCHWEIZER B, SKLAR A. Probabilistic metric spaces[M]. New York: North Holland, 1983. [6] [7] 周红军. 概率计量逻辑及其应用 [M]. 北京: 科学出版社, 图 4 模糊集的并、交运算 Fig. 4 Union and intersection of fuzzy sets 第 5 期 汪培庄，等：因素表示的信息空间与广义概率逻辑 ·851·