初等代数研究 定理2两个多项式 fx)=anx"+an-x+.+ax+a(an≠0) g(x)=bx+bx++bx+bo(b0) 恒等的充要条件使它们的次数相等， 且对应系数相等 定理3如果两个次数不大于n的多项式/(x),g(x) 对于x的n+1个不同的值都有相等的值， 那么这两个多项式恒等 2、多项式的整除理论 定理1（带余除定理）设fx,g(x)是多项式，且g(x)≠0， 那么存在唯一一对多项式q(x),r(x),使 f(x)=g(x)q(x)+r(x) (1) 其中rx)=0或者degr(x)<degg(x) 定理2（余数定理）多项式(x)除以x-a所得的余数为(a) 推论1x-df(x)-fa) 推论2若f(x)∈Zx],a,b∈Z,且a≠b, 则a-f(a)-f(b) 定理3（因式定理）多项式/(x)有因式x-a的 充要条件是f(a)=0. 3、多项式的因式分解 多项式的因式分解结果与被指定的数域有关 (仙)一元多项式的因式分解 定理1有理数域上的二次三项式ax2+br+G 可分解为两个一次因式的充要条件是 b2-4ac是一个有理数的平方 定理2有理数域上的双二次三项式x+pr2+g 可分解为两个二次因式乘积的充要条件是 p2-4g是一个有理数的平方， 或者q与2、√g-p都是有理数的平方， 或者g与-2G-p都是有理数的平方 6 初等代数研究 6 2、多项式的整除理论 3、多项式的因式分解 多项式的因式分解结果与被指定的数域有关 (1) 一元多项式的因式分解 . ( ) ( 0) ( ) ( 0) 2 1 0 1 1 1 0 1 1 且对应系数相等 恒等的充要条件使它们的次数相等， 定理 两个多项式 = + + + +  = + + + +  − − − − m m m m m n n n n n g x b x b x b x b b f x a x a x a x a a   那么这两个多项式恒等 对于 的 个不同的值都有相等的值， 定理 如果两个次数不大于 的多项式 1 3 ( ), ( ), x n + n f x g x ( ) 0 deg ( ) deg ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ( ), ( ), 1 ( ), ( ) ( ) 0, r x r x g x f x g x q x r x q x r x f x g x g x =  = +  其中 或者 那么存在唯一一对多项式 使 定理 （带余除定理）设 是多项式，且 定理2（余数定理）多项式 f (x)除以x −a所得的余数为f (a). 推论1 x −a f (x) − f (a). ( ) ( ). 2 ( ) [ ], , , , a b f a f b f x Z x a b Z a b − −    则 推论 若 且 ( ) 0. 3 ( ) = − f a f x x a 充要条件是 定理 （因式定理）多项式 有因式 的 4 1 2 2 是一个有理数的平方 可分解为两个一次因式的充要条件是 定理 有理数域上的二次三项式 b ac ax bx c − + + 2 . 2 4 2 2 4 2 或者 与 都是有理数的平方 或者 与 都是有理数的平方， 是一个有理数的平方， 可分解为两个二次因式乘积的充要条件是 定理 有理数域上的双二次三项式 q q p q q p p q x px q − − − − + +