和轨道方程 Ldr r 2m[E-v()]2-12 【思考】1.(5)(7)式中的±号怎样确定?(6)式中应该有±号吗? 2.分析以上积分过程中引入的积分常数的物理意义和它们之间的关系 另一种方法:利用比耐(Bine)公式直接求轨道方程,然后求运动方程。(见教材80页)具体 方法如下:利用m20=L可将运动微分方程(2)中的消去(并记=u)事实上, dt de m de l dr mr2 de m i l du 12d2u m de d-u 于是得到比耐公式(轨道微分方程):u +u F de- 方程(8)中的F应满足中心力的要求,但不限于有势力。 积分此微分方程即得到轨道方程u=u(0)或r=r(0)进一步可利用角动量守恒求得运动方 程。在中心力有势的条件下,能量积分可由(4)式经变量代换得到:(也可由比耐公式(8) 积分得到) L(du ++V=E 2ml 5.讨论:(不仅要会定量计算,分析结果的物理意义,也要会分析得到一些定性的结论) ①不变号:得到θ的单调性(增或减随坐标的不同选择而定。) r26=cons.面积速度守恒(本质就是角动量守恒) r:由于角动量守恒,很容易得到r满足的一维方程(利用(3)式消去(2)式中的O) 转变点和轨道的有限性和无限性 可以由r取值的范围判断轨道的有限与无限 道伸向无限。 轨道限制在某一环域内。 也可由势能和总能量的值之间的关系判断轨道的有限与无限 V(∞)>E质点不可能到无限远处(束缚态) (∞)≤E质点可以到无限远处(散射态)3 和轨道方程： ( ) ( ) 0 0 2 2 7 2 r r Ldr r m E V r r L   =  +   − −    【思考】1．（5）（7）式中的  号怎样确定？（6）式中应该有  号吗？ 2．分析以上积分过程中引入的积分常数的物理意义和它们之间的关系。 另一种方法：利用比耐(Binet)公式直接求轨道方程，然后求运动方程。（见教材 80 页）具体 方法如下： 利用 2 mr L  = 可将运动微分方程（2）中的 d dt 消去.(并记 1 u r = )事实上, 2 d d Lu d dt d m d    = = 2 L dr L du r mr d m d    = = − 2 2 2 2 2 2 ( ) L d L du L d u r u u m d m d   m d = − = − 于是得到比耐公式(轨道微分方程)： 2 2 2 2 d u m u u F d L      + = −   （8） 方程（8）中的 F 应满足中心力的要求，但不限于有势力。 积分此微分方程即得到轨道方程 u u = ( )  或 r r = ( )  进一步可利用角动量守恒求得运动方 程。在中心力有势的条件下，能量积分可由（4）式经变量代换得到：（也可由比耐公式（8） 积分得到） 2 2 2 2 L du u V E m d         + + =       （9） 5．讨论；（不仅要会定量计算，分析结果的物理意义，也要会分析得到一些定性的结论） ○1  不变号：得到  的单调性（增或减随坐标的不同选择而定。） 2 r const  = . 面积速度守恒（本质就是角动量守恒） r ：由于角动量守恒，很容易得到 r 满足的一维方程（利用(3)式消去（2）式中的  ） ○2 转变点和轨道的有限性和无限性； 可以由 r 取值的范围判断轨道的有限与无限； min r r  轨道伸向无限。 min max r r r   轨道限制在某一环域内。 也可由势能和总能量的值之间的关系判断轨道的有限与无限； V E ( ) 质点不可能到无限远处（束缚态） V(  )  E 质点可以到无限远处（散射态）