六、不定积分 定理设f()在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶 1.不定积分概念 和二阶导数，那么 若F'(x)=f(x),则称F(x)是f(x)的一个原函 (1)若在(a,b)内f"(x)>0,则f(x)在[a,上 数，∫f(x)x=F(x)+C为函数f()的不定积分 的图形是凹的： 例112-1-3已知[f(x)dr=e+C, (2)若在(a,b)内f"(x)<0,则f()在[a,b上 则(x=一 的图形是凸的： 2.第一类换元法（凑微分法） 例11设在区间[a,b上f(x)>0,∫'(x)<0, dx=d(ax+) 1 a sin? -dx=csc*xdx =-d(cot x) f"(x)<0,令S=f(a)(b-a), 1 s-生- r=2aar9） cossecx-d(tan) 1 1 dx=2d(Vx) 1 s,-HIf@a+f@-a), cs-(+cos2x) 1ax=d(mlxD 则【】A.S<S<S B.S:<S1<S3 -) 1 C.S3<S:<S1 D.S3<S<S2 例12设函数y=∫()具有二阶导数，且f(x)>0, 0 ∫“(x)<0,为自变量x在点七处的增量，4y与 例3 设f)=e,求∫f0ar d分别为f(x)在点x处的增量与微分，若r>0, 例407-4设函数f(四在(-0，+∞)内可导，且 则【】 f0=0,又f'm)= 1,0<x≤1，求f四 A.dy<4<0 B.0<4<d ,x>1, 在(-o,+o)内的表达式. C.4<dy<0 D.0<d<4y 练习161-1设f(sinx)=cos°x,求f(x). 3.第二类换元法 例1312-22设f(x)有二阶连续的导数，且 被积函数中含有Va-x时，令x=asint,则 0-,1.则 √a-x=acost,dx=acostdt,被积函数转化为 (A)f(O)不是f(x)的极值，(O,f(O)不是曲线 三角函数.需要注意不定积分完成后要利用x=asint y=(x)的拐点 的反函数将t换回x,可设1为直角三角形的一个 锐角，如图： (B)f(O)是f(x)的极小值 由smt=设角t的对边为x, (C)(0,f(O)是曲线y=f(x)的拐点 a 斜边为a,则邻边为√a2-x, (D)f(O)是f()的极大值 角t的三角函数表达式都可得出