Vol.20 No.6 卜祥民等：基于Bayes分析的小批量生产质量控制与诊断 ·601· 可利用历史信息来改善b,从而得到小样本的稳定回归方程，为建立小批量选控图作准备，回 归系数b因不同批次可能略有不同，然而Y与X的关系本质上取决于两工序的物理关系及加 工要求，因此不同批的b不会相差很大，而且具有统计规律，我们希望利用历史信息给出 b(i=l,…,p)的先验分布，再根据Bayes原理，给出改进估计即b,的Bayes估计.假定b~ N心，w),其中vω，待估.根据过去的生产记录，有若干组（设有k组）历史数据： (化y(=1,…,kj=1,…,) (5) 可以求得k个回归方程6，=(X)XX(下标1代表第1组样本，t=1,…,k),对b,有k个估 值，简记为b,…,b4于是有对，ω的估计，=(1/)∑b©，=1/(k-1)∑（仍，-，）.为讨 论方便，仍记i,à，为v,心.于是根据历史资料可确定了b,的先验分布(u,w,)(i=1,…,P). 现在来求b,的Bayes估计.根据前面的讨论，b为由当前样本得到的b,的最小二乘估计， 为避免混淆，记6为z.可以求得已知z条件下b,的后验分布为NM(z@,+c0v)/(@,+c,0), (cω，)/（ω，+c,p]故b,的Bayes估计为： b,=(20,+c0v)1(@,+c0) (i=1,…,p) (6) 它是b,的小样本优良估计. 2.2选控指标Ysa分布参数的确定 记，=6x它是在回归系数方(i=1,…,p)下对上工序影响所作的估计.由于是b。 =0 是b,的有偏估计，ysBy一的均值不再是0.下面来讨论选控统计量ycs的均值4cs与方 差之o估计问题. 对于来自当前生产过程的1组样本(：，y)(=1,…,),y=一(i=1,…,n)是ycsB 的一组样本.据此可得rc和c6的常规估计：少c=（I/川c,S=11《n-)∑cs ys)?.由于样本较少，该估计同样缺乏稳定性.这里仍借助历史信息用Bayes估计来改进它 们.根据前面对4，o2的讨论，可以设4B~Nr,d),1/oT~(0p),其中，d,6,p为超参数. 利用前面得到的历史数据（式I),根据公式（式2）对每批生产都能得到基于Bayes估计的 回归方程，其中上标t代表第t批生产.从而可得第t批生产的本工序分质量指标： y9=y9-增(=1，…，周 (7) 将各组样本代人公式(T),得各批生产的本工序分质量样本：y80=1,…,n,1=1,“,内. 记8=(m例，288=1-)20唱-8M=(11内三8M=(1内2S0 K=(1/内限K=11k-)8。-K. 同前述方法能由历史样本Oy8)得到元=K,6=K,日=1+M(M-M)p=MM/ (M-M约，这样，我们得到了随机变量y的均值方差的先验分布，根据当前生产过程的样 本(x,y)(i=l,…,q)和历史样本（式5），能得到当前过程基于Byes分析的回归方程，进而 得到选控指标的样本'cs(=1,…,q).根据1.1和1.2的结论，可得4cs和os的Bays估计： (9-1)S号+2p 话B=Eo&BlS)= qoy+iocs 29+-3引，。-Bu月=95+nV o l . 2 0 N o . 6 卜祥 民等 : 基于 B ay es 分析 的小批量生产质量控制 与诊 断 可利 用历 史 信 息来改善石 , , 从而 得到小 样本 的稳 定 回归方程 , 为建 立小 批量 选控 图作 准备 . 回 归系 数 b 因不 同批 次可能 略有不 同 , 然而 Y 与 X 的关系 本质 上取决 于 两工序 的物 理 关系及 加 工 要 求 , 因此 不 同批 的 b 不 会 相 差 很 大 , 而 且 具有 统计 规 律 . 我 们希望 利 用 历 史 信 息 给 出 叮i = l, 一 )P 的 先 验分布 , 再 根 据 B ay es 原 理 , 给 出改 进估 计 即 b , 的 B ay es 估 计 . 假定 b ,一 vN( ` , 。 尸 , , 其中 。 ` , 。 : 待 估 . 根 据过 去的生产记 录 , 有若干组 (设有 k 组 ) 历 史数 据 : (乓 , 夕。 ) ( t = l , ” ’ , k ; j = l , ’ 一 n ) ( 5) 可 以 求得 k 个 回归方程 石 , 一 (了幻 一 ’ 丫戈(下标 t 代表第 t 组 样本 , t 一 1 , … , k) , 对 b , 有 k 个估 值 , 简 记为 ” ` 1 , ` ’ ` , ” `左 · 于是 有 对 v 护, 田 `的值计云 了 一 ( “ k) ,各 l b 孟了, 山 ` 一 “ ( k 一 ’ ) ,菩 l (b ! , 一 公 矛 ) ’ · 为讨 论方 便 , 仍 记认 , 叭为 。 , , 。 : . 于是根据 历史资料 可确定 了 b , 的先 验分 布 从 。 ` , 。 ,)( i = ,l 一川 · 现在 来求 b ` 的 B ay es 估 计 . 根据 前面 的讨 论 , 石 , 为 由当前 样本 得到 的 b ` 的最小 二乘估计 , 为 避免混 淆 , 记 石 ` 为 2 . 可 以求 得 已知 : `条 件下 b ” 后 验分布 为 M (z 尸 : + ic 尸 。 , )/ 佃 , + ic声), ( e ; 对。 ` ) / ( 。 , + e ,声) ]故 b ` 的 B盯 e s 估计为 : 石 , 一 (聊 , + e , 声 v 川 。 , + e , 对) ( i 一 l , … , 尹) ( 6 ) 它是 b , 的小样 本优 良估 计 . .2 2 选控指标 Y csB 分布参数的确定 记 几 一 i 豁砂 ` , 它是在 回 归系数 称 ` 一 ` , 一 )P 下 对上 工序 影 响所 作 的估计 · 由于是 “ iB 是 b ` 的有偏 估计 , , cs B一 夕 一 亏的均值不 再是 0 . 下面来 讨论 选 控统 计量 , 。 s B的均廊 cs 。 与方 差 之 a人 B估计 问题 . 对于来 自当前生产 过程 的 1 组样本 认 , 川 i( 一 1 , … , n) , cy sB ` 一 , , 一 几i( 一 1 , … , n) 是 * 。 sB ” 一组 样本 · 据此 可御 。 B和吃 。的常规估计 : , csj B 一 (“ 唯ycs B , , cs B 一 , ` , (n 一 `) , 客 】 蝙 ; - 歹。 a,) , . 由于 样 本较 少 , 该 估计 同样 缺 乏稳 定性 . 这 里仍借助历 史信 息用 B ay e s 估 计 来 改 进 它 们 . 根 据前面咖 , a ’ 的讨 论 , 可 以 设 从 s B一 N(r , 句 , 1/ :ac B厂一 ( 0 , )P , 其 中: , 占 , e , p 为超参数 . 利 用前面 得到 的历 史数据 (式 l) , 根据公 式 ( 式 2) 对每批 生产都能得 到基 于 B ay es 估 计的 回 归方程 , 其 中上标 t 代表第 t 批生 产 . 从而 可得第 t 批 生产 的本工 序分 质量 指标 : 夕跳 = 少`。 一 夕留 ( ` = l , … , k) (7 ) 将各 组样本 代人 公式 (7 ) , 得 各批生 产的本工序分质量 样本 : y思 BI C 一 1 , 一 。 , , 一 h … , k) . 记瓜 B 一 ( , n)/ 郭氛 , 毛 , 一 l (n/ n 一 `) 、菩 : 。思 、 一 难 B ) 2 , M l 一 ( 1 / k) 全毛 , , 从一 ( 1k)/ 全cst l, 凡 一 ( , ` 。 , 邹 一 凡 一 , ` k( 一 1) , 吝良 B 一 琳 同前述 方 法 能 由历史 样 本 。袅动得 到云一 凡 , 占一 凡 , e 一 1 + 机(城 一 衅), 户二 鱿 城 / (从 一 衅 ) · 这样 , 我 们得 到 了随机 变 量 cy s 。 的 均值方 差 的先验 分布 , 根据 当前生产 过 程 的样 本 x( , , 助 i( = 1 , … , 的和历 史样 本 ( 式 5) , 能得 到 当前过 程基 于 B ay es 分 析 的 回归方 程 , 进而 得到 选控 指标 的样 本 cy s BI i( 二 l , … , 的 . 根据 1 . 1 和 1 . 2 的结 论 , 可得群cs 。和雌 s B 的 B ay es 估计 : 认 。 = (E u 永 B .可) 二 ( 、 一 ] )可 + 幼 . 2 乡+ ( 、 一 3 ) ’ 拜一 B = 即 cs B }助 二 。 3 , 、 + 云悦 s B q占+ 悦 s。 ’