问题2如何用e-N方法给出Iman≠a的正面陈述?并验证|n2|和|(-1)"|是发散数列 答lman≠a的正面陈述:彐c0>0,N∈N,丑n≥N,使得 ≥E0 数列{an}发散分Va∈R, lim a≠a (1)an=n2Ya,3n=,WN∈N,只要取n=maxl+1N},便可使n2-a|=≥n2-|al l+-1a|≥,于是{n2}为发散数列 (2)an=(-1).若a=1,E0=1,取m为任何奇数时,有|an-1=2>5o.若a=-1,彐E0=1, 取n为任何偶数时,有an-(-1)=2>E0·若a≠±1,E0=min{a+1a-1},对任何n∈N 有|an-a|≥E0·故|(-1)|为发散数列 §2收敛数列的性质 问题1数列{an}的子列{an}的下标n,是n在变动还是k在变动? 答子列{an}的下标n4是随着k变动的例如{ax}是由{an}中偶数项组成的子列,其中 n=2k.子列的下标n满足①n<n4n1;②n≥k.这是子列下标的两个基本性质 问题2如何从man≠a,推得存在E>0和{an}的子列{an},使得 Eo 答这是因为lma≠a,于是彐E。>0,VN>0,彐n》,使得 取N=1,3n11,使得|an-a≥E 取N=1,丑n1》1,使得|an-a|≥E0, 彐n>n4,使得|an-a|≥问题 2 如何用ε-N 方法给出 an a n  → lim 的正面陈述？并验证| 2 n |和| n (−1) |是发散数列. 答 an a n  → lim 的正面陈述： 0  >0，N  N+ ，n  ≥N，使得 | an  − a |≥ 0  数列{ n a }发散  a  R ， an a n  → lim . （1） an = n .a 2 ， 0  = 4 1 ，N  N+ ，只要取             n  = a + , N 2 1 max ，便可使 | | 2 n  − a ≥ | | 2 n  − a ≥ | | 2 1 2 a  − a      + ≥ 4 1 ，于是{ 2 n }为发散数列. （2） n an = (−1) . 若 a=1， 0  =1，取 n  为任何奇数时，有 | an  −1|= 2 > 0  .若 a=-1， 0  =1， 取 n  为任何偶数时，有 | an  − (−1)|= 2 > 0  . 若 a≠  1， 0  = min{| 1|,| 1|} 2 1 a + a − ，对任何 n  N+ ， 有| an − a |≥ 0  . 故| n (−1) |为发散数列. §2 收敛数列的性质 问题 1 数列{ n a }的子列{ nk a }的下标 k n ，是 n 在变动还是 k 在变动？ 答 子列{ nk a }的下标 k n 是随着 k 变动的. 例如{ k a2 }是由{ n a }中偶数项组成的子列，其中 k n =2k. 子列的下标 k n 满足① k n < nk +1 ；② k n ≥k. 这是子列下标的两个基本性质. 问题 2 如何从 an a n  → lim ，推得存在 0  >0 和{ n a }的子列{ nk a }，使得 | nk a - a |≥ 0  ？ 答 这是因为 an a n  → lim ，于是 0  >0，N >0，n  >N，使得 | an  - a |≥ 0  . 取 N=1， n1 >1，使得| n1 a - a |≥ 0  ， 取 N=1， n1 >1，使得| n2 a - a |≥ 0  ， ………… 取 N= nk −1， nk > nk −1 ，使得| nk a - a |≥ 0 