这样就选出{an}的一个子列{an}满足 注这是由man≠a选出子列{an},使得|an-a|≥E0的方法.这种方法在以后类似的的问题 中将会多次遇到 §3数列极限存在的条件 问题1如何给出柯西收敛准则的否定形式的正面陈述 答柯西收敛准则的否定形式是 {an}发散3E6。>0,VN>0,3n0,mN,使|an1-an|≥E0·它的直观意义是:总存在正数 E0,不论N怎样大,总存在大于N的n,m,使得an与am之间的距离大于或等于 上述准则的一个重要应用是可以用它证明数列的发散性,例如a,=1++…+-为一发散数列. 这是因为:彐=1,vN,Bn,2m>N,使得 1≥n=1 这个结论在级数理论中将有重要的作用 问题2试对验证数列收敛和发散的一些充要条件或充分条件加以总结 答验证数列收敛的一些方法如下 (1)按定义验证: iman=a分VE>0,3N,hn洲N,有|a-a|<ε (2)用邻域形式验证: iman=a分VE>0,在U(a;ε)外最多只有数列{an}中有限项 (3)子列定理 iman=aevn}n},有lman= {a收敛∞v}{},有{an}收敛 (4)柯西准则 an|收敛分VE>0,彐,n,mN,有|an-a|<e (5)单调有界定理: 若{n}单调有界→{an}收敛………… 这样就选出{ n a }的一个子列{ nk a }满足 | nk a - a |≥ 0  注 这是由 an a n  → lim 选出子列{ nk a }，使得| nk a - a |≥ 0  的方法. 这种方法在以后类似的的问题 中将会多次遇到. §3 数列极限存在的条件 问题 1 如何给出柯西收敛准则的否定形式的正面陈述？ 答 柯西收敛准则的否定形式是： { n a }发散  0  >0，N >0，n0 ， m0 >N，使| n0 m0 a − a |≥ 0  .它的直观意义是：总存在正数 0  ，不论 N 怎样大，总存在大于 N 的 0 n ， m0 ，使得 n0 m0 a 与a 之间的距离大于或等于 0  . 上述准则的一个重要应用是可以用它证明数列的发散性,例如 n a =1+ 2 1 +…+ n 1 为一发散数列. 这是因为： 0  = 2 1 ，N ， n ，2n>N，使得 n n n ab a n 2 1 2 1 1 1 | | 2 + + + + + − =  ≥ 2 1 2 = n n . 这个结论在级数理论中将有重要的作用. 问题 2 试对验证数列收敛和发散的一些充要条件或充分条件加以总结. 答 验证数列收敛的一些方法如下—— （1）按定义验证： =  → an a n lim >0， N ，n >N，有| n a - a |<ε. （2）用邻域形式验证： =  → an a n lim >0，在 U（a；ε）外最多只有数列{ n a }中有限项. （3）子列定理： n  n   n  n a a a a k =   → lim ，有 a a nk n = → lim . an an  an  k { }收敛  ，有{ nk a }收敛. （4）柯西准则： | |收敛   an >0， N ，n ，m>N，有| an − a |<ε. （5）单调有界定理： 若 an  单调有界  an  收敛