也未必是可解的。本文试就此问题探讨方程(1)的近似求解方法。 1负指标的Noether算子方程 设H是Hilbert?空间，K是H→H上的中（或Nocther)算子，即指K为稠定的闭第子，它 满足：(1)是正规可解的，即ImK=(ImK),ImK表示K的值域。 (2)a(K)=dim(KerK)<+o (3)B(K)=dim(CokerK)=dim(ImK)<+∞此时，IndexK=a(k)-B(K)=k, 在k<0时，只考虑a(K)=O,即B(K)=-K的梢形，这时有CokerK=KerK·,dim(Kcr K)=-R 设KcrK·的一组标准正交基为{，}，i=1,2,…-k,注意到(ImK)1=(ImK)正 CokerK=KcrK·,从而方程(1)可解的允要条作为：(f中)=0i=1,2,·-k。 对于中-第子，K,做K,使1K,-K<e,则由于中-算子集合为开集，从而对允 分小的ε，五，也是少-第子，且由于算子中-受到范数充分小的算子干扰时，其指标是稳定 的，故有：IndexK=IndexK 对于tf∈ImK,记f为f在ImK,上的正投影，出设{)}为ImK.的完备标谁正交函数 系（其中i=1,2,…+∞）则 7=Σ(U5)5 此时，方程 K.p=f (3) 是有唯一解的，以下证明p-p（n·+∞) 为此先定义空间集上的度量和收敛。设2为1 Hilbert空间H的所有附线性子空间的集 合。 定义1VH1,H2∈2做 p(H1,H2)=Max{p12(H1,Hz),p21(H2,H:)} 其中，p12(H1,H2）=sup inf p(x1,xz) r1∈S1x:EⅡ： p12(H2,I1)=sup inf p(x2,x1) 这里的s!是H中的附单位球，s2是H中的闭单位球，山p(·)是H上的距离，称p(H1, H,)为H1和112的距离。 以下验证其满足距离公理： (1)p(H1,H2).0p(H1,H2）=0<→H1=I2 证：前者显然，对于后若，指p(H1,H2)=0则计x1Es1行，in〔p(x1,x2)=0,以 z:t M2 及对tx2(s2行1nfp(x:,x,)=0,从i有s1二I2is2二fH1,即有I1=1x。 IEH 390也 未必是可 解的 。 本 文 试就 此 问题探 讨方程 的近似求解方法 。 负指标 的 算子 方程 设 是 空间 ， 入 是 、 上的必 或 算子 ， 即指 为 稠 定的 闭算 一 子 ， 它 满 足 是 正规 可 解的 ， 即 二 了 ， 表示 的值域 。 刀 二 此 时 ， 。 一 刀 ‘ ， 在、 时 ， 只 考虑 。 ， 目 刀 一 、 的情形 ， 这 时有 ， 一 化 设 的一 组标准 正 交 墓为 势 ‘ ， ， ， · · · “ 一 ， 注 意 到 左 ‘ ‘ ’ ， 从而 方程 可 解的 充要 条 件为 价 二 ， ， ” · ” 一 气 对 于中 一 算子 ， ， 做 ， ， 使 ， 一 。 。 ， 则 由于中 一 算 子集 合为 开 集 ， 从 而 对 充 分 小 的。 ， ， ， 也是必 一 算 子 ， 且 由于 算 并巾 一 受到 范 数充分小 的 算子 干 扰 时 ， 其 指标是 稳定 的 ’ 了 ， 故有 ， 对 于 任 入 ， 记 为 在 ， 。 上 的 正 投 影 ， 且 设 以” 为 ， 的完 备标 准正 交 函数 系 其中‘ ， ， “ 一 则 万 二 ‘ ’ 互” 此 时 ， 方程 。 甲 是 有唯一 解 的 ， 以下 证 明甲 甲 为 此 先定义空 在集上 的度 量 和收敛 。 设 口 为 空 间 的 所 有闭线性 子空 问的集 合 。 定 义 丫 ， 任 口 做 ， ， 万 ， ， ， 其中 ， 万 ， ， ，“ 二 一 之 万一 之 ， ， 户 ，义 一 仁 这 里 的 ，是 川 ，的 闭 单位球 ， 是 川 ，的 闭单位球 ， 且爪 · 足 上 的距 离 ， 称 川 ，， 为 和 的距 离 。 以下 验 证其满足距离 公理 户 万 ， 一 ， 万 二 二势 证 前 者显 然 沐 ’ 于后 ， 六 ， 若 户 ， 汀 则 丫 ， 吐 ， 有 ， ， 户 ， ， 以 及对 丫 七 有 ， 尸 ， ， ， 从 一一有 二 和 泣 ， ︺ 有 ， 。 了