高等数学教案 第十章重积分 对y轴的力矩元素分别为 du=yu(x,y)do,dl=xu(x,y)do. 平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为 M=yu(x,ydo,M=da 设平面薄片的质心坐标为（亿，），平面薄片的质量为M则有 x·M=M,M=Mx. ∬r(x,ado Syux.y)da M 于是x= M M u(x,y)do M [u(x.y)da 提示：将P(x)点处的面积元素o看成是包含点P的直径得小的闭区域.D上任取一 点P(x,),及包含的一直径很小的闭区域do(其面积也记为do),则平面薄片对x轴和对y 轴的力矩（仅考虑大小）元素分别为 讨论：如果平面薄片是均匀的，即面密度是常数，则平面薄片的质心（称为形心）如何 求？ Sxdo 求平面图形的形心公式为x=D y=D do D D 例3求位于两圆p-2sin0和p-4sin0之间的均匀薄片的质心. 解因为闭区域D对称于y轴，所以质心C(,)必位于y轴上，于是元=0 因为 da-sinal Sfyda [1o=π22-π12=3m,所以= 7元_1. 所求形心是C0,? n 四、转动惯量 设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域D在点P(x)处的面密度为(x,),假定 p(x,)在D上连续.现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量 在闭区域D上任取一点P八x),及包含点P(x)的一直径很小的闭区域do(其面积 也记为do),则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为dI=y4(x y)do,dl=xu(x,y)do. 整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为 4