微扰法:零势场(空晶格)的解与微扰 零级解 Hy(x)= 方2d2 )l(x)=Ev(x) ·能量 2m dx 将H分成两部分 2m H=H 空晶格 微扰 H L=NO V(x)=( 种p∥45.2413che國体学 体理学 微扰部分 H=Ho+H v(x=v(x+na) 空晶格 微扰的 Fourier展开 ·周期性势场,可作 Fourier展开 Ho--hd A' =v(0)+>vn)expdi 2T nux (0)+∑?m)e ·v常敷,可通过能量零点平移来消除, Fourier (0)=0或常数,等于能量零点作平移E=E-(0) 系数 零解能量 考:复杂结构?(-n)=(m) 零级波函数 L-Na 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 非简并情况 Iv(nI 能量修正 EP=H[嘴(xH=0 波画数修正(x)=+∑、∥ He 1(n)exp(-i--x) v(n) if k-ke2m/a 被周期势场散射 种45.2413yche是学 =0)+∑n)=a 趣452413 binche物理学4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 微扰法：零势场(空晶格)的解与微扰 • 将H分成两部分 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ˆ 2 2 2 V x x E x dx d m Hψ x ⎥ψ = ψ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − + h ' ˆ ˆ ˆ H = H0 + H 2 2 2 0 2 ˆ dx d m H h = − ' ( ) ˆH =V x V (x) =V (x + na) 空晶格 微扰 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 零级解 • 能量 m k Ek 2 2 2 0 h = • 波函数 exp( ) 0 1 ikx L ψ k = L=Na http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 微扰部分 • 周期性势场，可作Fourier展开 V (x) =V (x + na) ∑≠ = + 0 2 0 n nx a V(x) ( ) (n)exp(i ) π V V • V0常数，可通过能量零点平移来消除。Fourier 系数 ∫ − = L nx a i V x e dx L n 0 2 1 π V ( ) ( ) ( n) (n) * 思考：复杂结构？ V − = V http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 ' ˆ ˆ ˆ H = H0 + H 2 2 2 0 2 ˆ dx d m H h = − ) 2 ' (0) ( ) exp( ˆ 0 nx a H n i n π ∑≠ = V + V V (0) = 0 空晶格 微扰的Fourier展开 m k Ek 2 2 2 0 h = exp( ) 0 1 ikx L ψ k = 零级解能量 零级波函数 L=Na 或常数，等于能量零点作平移 E = E − V (0) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 Ek = Ek 0 + Ek (1) + Ek (2) +L ( ) ' 0 0 0 (1) ' 0* = = = ∫ E H x H dx k L k kk ψ k ψ ∑≠ − = '( ) 0 ' 0 2 ' ' (2) k k k k kk k E E H E H x H dx k L kk k 0 ' 0 ' 0* ' ' ˆ ψ ( ) ψ ∫ = 非简并情况 ⎩ ⎨ ⎧ − = = 0 others ( ) if ' 2 / V n k k πn a ) 2 ' (0) ( ) exp( ˆ 0 nx a H n i n π ∑≠ = V + V ∑ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = n L n a i k k e dx L n 0 2 1 ' ( ) π V http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 ( ) ∑≠ − − = + 0 2 2 2 2 2 2 2 2 / 2 2 | ( ) | 2 n k k n a m m k n m k E π h h h V 平面波 0 ' '( ) 0 ' 0 ' 0 ' ( ) k k k k k kk k k E E H ψ x ψ ∑ ψ ≠ − = + 能量修正 波函数修正 被周期势场散射 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = +∑≠0 2 2 2 2 * 0 ) 2 ( 2 2 ) 2 ( ) exp( 1 n k a n k m m k x a n n i π π ψ h h V