图5 注意，当应力函数取为坐标x,y的三次或三次以上的多项式时，应力分量不是常量而是 坐标的函数。这时，对同一弹性体，如果选取不同的坐标系，将得出不同的应力分布，因而 解决的是不同的问题。例如对于图5中的矩形板，如果x轴不取在板的中线上，则应力函数 U=y3所解决的将不是纯弯曲问题，而是偏心受拉或偏心受压的问题。 如果取应力函数为四次或四次以上的多项式，则其中系数必须满足一定条件，以使其满 足双调和方程。 7.3.2矩形梁的纯弯曲 矩形截面梁，长为1，高度为h,厚度远小于长度和高度，为简便起见，取宽度为1。 图6 上下边（面）表面自由，左右两端受到力矩为M的力偶的作用而弯曲，没有y方向的面力。 取应力函数U=ay3,则应力分量为：0，=6y,0,=0,t=0。 边界条件： (-3ah 0 上边：n=(0,-1),(0,-1) 0 =(0,0),所以上边的边界条件满足。 0 同样，下边的边界条件也满足。 99 图 5 注意，当应力函数取为坐标 x, y 的三次或三次以上的多项式时，应力分量不是常量而是 坐标的函数。这时，对同一弹性体，如果选取不同的坐标系，将得出不同的应力分布，因而 解决的是不同的问题。例如对于图 5 中的矩形板，如果 x 轴不取在板的中线上，则应力函数 3 U ay = 所解决的将不是纯弯曲问题，而是偏心受拉或偏心受压的问题。 如果取应力函数为四次或四次以上的多项式，则其中系数必须满足一定条件，以使其满 足双调和方程。 7.3.2 矩形梁的纯弯曲 矩形截面梁，长为l ，高度为 h ，厚度远小于长度和高度，为简便起见，取宽度为1。 图 6 上下边(面)表面自由，左右两端受到力矩为 M 的力偶的作用而弯曲，没有 y 方向的面力。 取应力函数 3 U ay = ，则应力分量为： 6 , 0, 0 x y xy σ = ay σ τ = = 。 边界条件： 上边： n = − (0, 1)， 3 0 (0, 1) (0,0) 0 0 ⎛ ⎞ − ah − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，所以上边的边界条件满足。 同样，下边的边界条件也满足。 x y O A M M h 1 l x y