定义9设V,V是线性空间V的子空间，则定义Y的Y,和为 +'2-{a+a2lae,a2e'} 定理6若，为V的子空间，则+乃2也是V的子空间. 证明 显然+非空对+月，a2+B,∈+，keP,有 a,+B+%+B=(a+a)+(B+B)e+2 k(C+B)=ka+kA∈r+ 故+是V的子空间。 容易看出，子空间的和适合交换律与结合律，由此可定义多个子空间的和 ∑y=r+2+.+y={a+a++a,a,e'i=l,2,.,s} 关于子空间的交与和，以下结论成立 1.设，W都是V的子空间，则Wc,Wc→Wc∩3： 而cW,cW→+cW 2.c台∩%=台+2=乃2 例1.在R中，用厂表示一条通过原点的直线乃表示过原点且与垂直的平面则 y∩={0).（卿0,0,0）}，y+3=R. 例2.P在中用？与？分别表示齐次线性方程组 AX=0与BX=0 的解空间这里A=(a)mB=(伯，)加X=(,x,.,x 则Y∩Y就是齐次线性方程组CX=0的解空间 这里 例3.在任一线性空间V中我们有 L(a,.,4)+L(月，.，)=L(a,.,a,月，.，)定义 9 设 1 2 V V, 是线性空间 V 的子空间,则定义 V1 的 V2 和为 V V V V 1 2 1 2 1 1 2 2 + = +      ,  定理 6 若 1 2 V V, 为 V 的子空间,则 V V 1 2 + 也是 V 的子空间. 证明 显然 V V 1 2 + 非空.对 1 1 2 2 1 2     + +  +   , , V V k P ,有 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2         + + + = + + +  + ( ) ( ) . V V 1 1 1 1 1 2 k k k V V ( )     + = +  + 故 V V 1 2 + 是 V 的子空间. 容易看出,子空间的和适合交换律与结合律,由此可定义多个子空间的和: 1 2 1 2   1 . 1,2, , s i s s i i i V V V V V i s     =  = + + + = + + +  = 关于子空间的交与和,以下结论成立. 1. 设 1 2 V V W , , 都是 V 的子空间,则 1 2 1 2 W V W V W V V     , ; ; 而 1 2 1 2 V W V W V V W    +  , . 2. 1 2 1 2 1 1 2 2 V V V V V V V V   =  + = . 例 1.在 3 R 中,用 V1 表示一条通过原点的直线.V2 表示过原点且与 V1 垂直的平面.则     3 1 2 1 2 V V V V R = + = 0 .( , . 即 (0,0,0) 例 2. n P 在中用 V1 与 V2 分别表示齐次线性方程组 AX = 0 与 BX = 0 的解空间.这里 1 2 ( ) ( ) ( , , , ) . A a B b X x x x ij sn ij tn n = = =  . 则 V V 1 2 就是齐次线性方程组 CX = 0 的解空间 这里 A C B   =     例 3.在任一线性空间 V 中.我们有 1 ( , , ) L  s + 1 ( , , ) L  t = 1 ( , , , L  s 1 , , ).  t