定理7（维数公式）设，乃是线性空间V的两个子空间，则 dim+dim =dim()+dim() () 证明设dim=h,dim%3=n,dim(化∩)=m.取r∩2的一组基4，a,an由定理4， 它可以分别扩充成与，的一组基 a,.,Cm,月，.，fn-m与a,.,am1,.,y0-m 我们来证明，向量组 a,.,an月，.，Bn-wh,.,e-m (2) 是+的一组基，从而(1)成立因为 =L(a,.,am,B,.,fn-mb5=L(a,.,am,.,y-m） 所以 +2=L(a,.,an,A,.,Bn-m,.,-m 令 ka+.+kCn+P,B+.+Pn-nfn-m+g出++9n-m-m=0 则有 a=ka+.+k0m+月+.+P-mB-n=-g-g-m-m 由第一等式知a∈Y;而由第二等式知a∈3.于是ge∩2即a可被a,.,a,线性表出，令 a=la++l,则la+.+1am+g+.+g-my-m=0 因为a,.,a,.,y-m线性无关所以 1=.=1m=41=.=9-m=0 因此a=0.从而又有 ka+.+knan+pB+.+pn-nBn-m=0 由C,.,a,月，.，B。-m线性无关，得 k=.=k=乃==P-m=0 故4，.，a月，.，B-m,.,-m线性无关，所以是+的一组基 由维数公式)易知，dim(化+')≤dimK+dim': 定理 7(维数公式).设 1 2 V V, 是线性空间 V 的两个子空间,则 1 2 1 2 1 2 dim dim dim( ) dim( ) V V V V V V + = + + (1) 证明 设 1 1 2 2 1 2 dim ,dim ,dim( ) . V n V n V V m = = = 取 V V 1 2 的一组基 1 2 , , , .    m 由定理 4, 它可以分别扩充成 V1 与 V2 的一组基 1 , , ,   m 1 1 , ,  n m− 与 1 , , .   m 2 1 , , . n m   − 我们来证明,向量组 1 , , ,   m 1 1 , ,  n m− , 2 1 , , . n m   − (2) 是 V V 1 2 + 的一组基,从而(1)成立.因为 1 1 ( , , , V L =   m 1 1 , , ),  n m− 2 1 ( , , , V L =   m 2 1 , , ). n m   − 所以 V V 1 2 + 1 ( , , , = L   m 1 1 , , ,   n m− 2 1 , , ). n m   − 令 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 0 m m n m n m n m n m k k p p q q       + + + + + + + + = − − − − 则有 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 m m n m n m n m n m        k k p p q q = + + + + + = − − − − − − − 由第一等式知  V1 ;而由第二等式知  V2 .于是  V V 1 2 即  可被 1 , , ,   m 线性表出,令 1 1 m m    = + + l l ,则 2 2 1 1 1 1 0 m m n m n m l l q q     + + + + + = − − 因为 1 , , ,   m 2 1 , , . n m   − 线性无关.所以 2 1 1 0 m n m l l q q = = = = = = − 因此  = 0 .从而又有 1 1 1 1 1 1 0 m m n m n m k k p p     + + + + + = − − 由 1 , , ,   m 1 1 , ,  n m− 线性无关,得 1 1 1 0 m n m k k p p = = = = = = − 故 1 , , ,   m 1 1 , ,  n m− , 2 1 , , . n m   − 线性无关,所以是 V V 1 2 + 的一组基. 由维数公式(1)易知, 1 2 1 2 dim( ) dim dim . V V V V +  +