第22讲矩阵运算方法与技巧(1) 131· 于是由归纳法原理,命题得证 注意对于转换的坐标变换公式 sinb cos0- sine 几何意义表示坐标轴向逆时针方向旋转0角 sing COS COS 转n次,每次坐标轴向通时针方向旋转角,而 表示坐标轴向逆时针方 cone 向旋转n0角,这两者是一致的.因此 cosne- sinna 例6若A为方阵,且A2=A,试证 (A+E)=E+(2-1)A(k=1,2,3,…) 证用归纳法,k=1时,显然成立;设k=n-1时,结论成立,即 (A+E)”=E+(21-1)A 于是(A+E)"=(A+E)"(A+E)=[E+(2"1-1)A](A+E) =A+(21-1)A2+E+(2-1)A =A+(2”1-1)A+E+(21-1)A=E+(2”-1)A 由数学归纳法知:(A+E)=E+(2*-1)A对一切自然数k成立 3.二项式展开法 若矩阵A的主对角线上元素相同,这样A可表为一个对角矩阵AE与另一个矩阵B之 和,即A=AE+B,则 A”=(AE+B)=k"E+m1B+n(n-1k2B2+…+B 这里假设B的高次幂容易计算 例7证明: 入00 00 01 n(n-1)2 证由于 00 100 000 00 010 L000 A0010001”「A00 则1A0=0X0+100 00 00 10 00A