·742· 工程科学学报，第38卷，第5期 2.5 a 2.5 2.0 2.0 20 15 1.0 0.5 4 时间/104s 时间/10~等 时间/10s 25 2.5 d te) 25 2.0 2.0 2.0 15 1.0 05 1015 5 10 0 0.51.01.52.0 时间10一s 时间/104s 时间/104s 图16加入补偿环节后不同周期的实际曲线放大图.(a)50μs:(b)80μs:(c)100μs:(d)140μs:(e)200μs:(0240μ5 Fig.16 Enlarge actual waveforms in different periods with compensation:(a）50μs；(b)80μs:(c）100μs:(d)140μs:(e）200μs:(f)240μs 对式(27)求导后得 g(x)在(x2x。)范围内单调递减 (t)=-Koe4-Ks,e4-K2s,e4.(28) 当在(x2,x。)范围内恒有g(x)≥0时，g(x)在 代入式(26)后得 (x2,x)范围内单调递增，有g(x)≥g(x2)=0: Ke Ke- 当在(x2,x。)范围内恒有g(x)≤0时，g(x)在 0=0=6-,-6-6-8可 (x2,x。)范围内单调递减，有g(x)≥g(x)=0: Ke (29) 当g(x)在(x2,x。)范围内有正有负时，g(x)在 (s-s2)(s1-s2） (x2,x。)范围内单调递减，g(x)先正后负，可得 式(22)中K>0, 「g(x)≥g(x2）=0,g(x)≥0， e-v e h0=,-)---s5- lg(x)≥g(xo)=0,g(x)≤0. 综上所述，g(x)≥0，h(t)≥0，()>0,2(t)单调 e (30) 递增，如下结论成立：当0≤t<+时，响应曲线单调 ($0-52)(s1-s2) 递增，无超调. 对式(30)的正负进行判断，整理后得 h0=es-)-e“-)+e“(。-5) 当式(3)的极点为一个单根和一个二重根时有 K K K (5。-5）(50-52)(s,-s2) 4a)=6+6+ (31) 5(-s)尸(s+) K(so-2s) K 因为式(30)中s。>0,51>0,s2>0,且三个参数任意替 (。-5)产(G+5),。-5)6+5) (34) 换后函数形式不变：所以假设5。>51>s2,有式(31)中 式(34)进行拉氏反变换后得 分母为正，假设 Ko Kew K(so-2s e [f(x)=e-", i2()= 5(。-5)子(-5)23(-5) lg(x)=f(x)(x-x2)-fx)(x。-x)+f(x2)(x-x). (35) (32) 对式(35)求导后得 式(32)中，x<x<x。,对g(x)分别求一次导数和二次 K()Kw-e+e“(。-s] 导数后得 50=。- (。-s,)2 「g(x）=fx)-f(x(x。-x)-fx), (33) (36) g"(x)=-"(x)(x-x). 式(36)中， 因为"(x)=xe“>0且x。>x2,所以g”(x)<0, h(t)=e--e-+e-"(so-s1). (37)工程科学学报，第 38 卷，第 5 期 图 16 加入补偿环节后不同周期的实际曲线放大图． ( a) 50 μs; ( b) 80 μs; ( c) 100 μs; ( d) 140 μs; ( e) 200 μs; ( f) 240 μs Fig． 16 Enlarge actual waveforms in different periods with compensation: ( a) 50 μs; ( b) 80 μs; ( c) 100 μs; ( d) 140 μs; ( e) 200 μs; ( f) 240 μs 对式( 27) 求导后得 i'2 ( t) = － K0 s0 e － s0t － K1 s1 e － s1t － K2 s2 e － s2t ． ( 28) 代入式( 26) 后得 i'2 ( t) = Kh( t) = Ke － s0t ( s0 － s1 ) ( s0 － s2 ) － Ke － s1t ( s0 － s1 ) ( s1 － s2 ) － Ke － s2t ( s0 － s2 ) ( s1 － s2 ) ． ( 29) 式( 22) 中 K ＞ 0， h( t) = e － s0t ( s0 － s1 ) ( s0 － s2 ) － e － s1t ( s0 － s1 ) ( s1 － s2 ) － e － s2t ( s0 － s2 ) ( s1 － s2 ) ． ( 30) 对式( 30) 的正负进行判断，整理后得 h( t) = e － s0t ( s1 － s2 ) － e － s1t ( s0 － s2 ) + e － s2t ( s0 － s1 ) ( s0 － s1 ) ( s0 － s2 ) ( s1 － s2 ) ． ( 31) 因为式( 30) 中 s0 ＞ 0，s1 ＞ 0，s2 ＞ 0，且三个参数任意替 换后函数形式不变; 所以假设 s0 ＞ s1 ＞ s2，有式( 31) 中 分母为正，假设 f( x) = e － xt， g( x) = f( x0 ) ( x － x2 ) － f( x) ( x0 － x2 ) + f( x2 ) ( x { 0 － x) ． ( 32) 式( 32) 中，x2 ＜ x ＜ x0，对 g( x) 分别求一次导数和二次 导数后得 g'( x) = f( x0 ) － f'( x) ( x0 － x2 ) － f( x2 ) ， g″( x) = － f″( x) ( x0 － x2 { ) ． ( 33) 因为 f″( x) = x 2 e － xt ＞ 0 且 x0 ＞ x2，所以 g″( x) ＜ 0， g'( x) 在( x2，x0 ) 范围内单调递减． 当在( x2，x0 ) 范围内恒有 g' ( x) ≥0 时，g ( x) 在 ( x2，x0 ) 范围内单调递增，有 g( x) ≥g( x2 ) = 0; 当在( x2，x0 ) 范围内恒有 g' ( x) ≤0 时，g ( x) 在 ( x2，x0 ) 范围内单调递减，有 g( x) ≥g( x0 ) = 0; 当 g'( x) 在( x2，x0 ) 范围内有正有负时，g'( x) 在 ( x2，x0 ) 范围内单调递减，g'( x) 先正后负，可得 g( x) ≥g( x2 ) = 0，g'( x) ≥0， g( x) ≥g( x0 { ) = 0，g'( x) ≤0． 综上所述，g( x) ≥0，h( t) ≥0，i'2 ( t) ＞ 0，i2 ( t) 单调 递增，如下结论成立: 当 0≤t ＜ + ∞ 时，响应曲线单调 递增，无超调． 当式( 3) 的极点为一个单根和一个二重根时有 I2 ( s) = K s( s + s0 ) ( s + s1 ) 2 = K0 s0 s 2 1 s － K s0 ( s0 － s1 ) 2 ( s + s0 ) － K( s0 － 2s1 ) s 2 1 ( s0 － s1 ) 2 ( s + s1 ) － K s1 ( s0 － s1 ) ( s + s1 ) 2 ． ( 34) 式( 34) 进行拉氏反变换后得 i2 ( t) = K0 s0 s 2 1 － Ke － s0t s0 ( s0 － s1 ) 2 － K( s0 － 2s1 ) e － s1t s 2 1 ( s0 － s1 ) 2 － Kte － s1t s1 ( s0 － s1 ) ． ( 35) 对式( 35) 求导后得 i'2 ( t) = Kh( t) ( s0 － s1 ) 2 = K［e － s0t － e － s1t + e － s1t t( s0 － s1) ］ ( s0 － s1 ) 2 ． ( 36) 式( 36) 中， h( t) = e － s0t － e － s1t + e － s1t t( s0 － s1 ) ． ( 37) · 247 ·