注上述定义3.2.1至定义3.2.4可统一地表示为如下形式 设函数f(x)定义在某区间X上(x可以是开区间,闭区间或半开半 闭区间)。如果vex与vE>0,38>0,x∈X(x-xo<8): J(x)-f(x)<E,则称函数(x)在区间x上连续。 例3.2.3f(x)=sinx在(0+∞)上连续。 证设 xo∈(-0+0 是任意一点,由于 x+ro: x-ro sin x-sin xo=2cos sin- ≤x-x0|, 2 2 对任意给定的g>0,取δ=E,当|x-xk6时,成立 Sinx-sin x x-x<8o 所以f(x)=sinx在(-+∞)上连续。 同样可以按定义证明∫(x)=cosx在(+∞)上连续。例3.2.3 f ( ) sin x x = 在 −∞ +∞),( 上连续。 证 设 x0 ∈ −∞ +∞),( 是任意一点，由于 | 0 sin sin x x − | = 0 0 2 cos sin 2 2 xx xx + − ≤ | | x x − 0 ， 对任意给定的ε > 0，取δ = ε ，当 0 | | x x − <δ 时，成立 | 0 sin sin x x − | 0 ≤| | x x − <ε 。 所以 f ( ) sin x x = 在 −∞ +∞),( 上连续。 同样可以按定义证明 f ( ) cos x x = 在 −∞ +∞),( 上连续。 注 上述定义 3.2.1 至定义 3.2.4 可统一地表示为如下形式： 设函数 xf )( 定义在某区间 X 上（ X 可以是开区间，闭区间或半开半 闭区间）。如果∀ ∈ Xx0 与∀ε > 0，∃δ > 0， ( ) xxXx 0 <−∈∀ δ ： )()( <− ε 0 xfxf ，则称函数 xf )( 在区间 X 上连续