∫。1f()dt 3.设f(x)是+∞)上的连续函数且恒有r(x)>0,证明s(x)=Jf()d 是定义在[0,+∞)上的单调增加函数 证因为 (x(x0d00x-00y ≥0, (odt 所以g(x)= f(1) 11b是定义在[0,+∞)上的单调增加函数。 4.求函数f(x)=(-)(-2y3d的极值。 解f(x)=(x-1(x-2)2,令f(x)=0,得到x=1,2。因为当x<1时, f(x)<0,当1<x<2或x>2时,f(x)>0,所以x=1是极小值点,x=2 不是极值点。由 f()-(-2)+(-2y)Mh=-1, 可知f(x)在x=1处有极小值f(1) 5利用中值定理求下列极限: (1) lir dt (2) d(p∈N) n→ 解(1)由积分第一中值定理, lim/" +r d= boxer=lim =0(0≤5≤1) 1+5n+1 (2)由积分第一中值定理,3∈mm+n,使得『x=厘mpP 所以 +p sinx lim dt=0。 217⒊ 设 f (x)是[ , 0 + ∞)上的连续函数且恒有 f x( ) > 0，证明 g x t f t dt f t dt x x ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ 0 0 是定义在 [ , 0 + ∞)上的单调增加函数。 证 因为 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 0 0 0 ≥ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ′ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x x x x x f t dt f x x t f t dt f t dt f x x f t dt tf t dt g x ， 所以 g x t f t dt f t dt x x ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ 0 0 是定义在 [ , 0 + ∞)上的单调增加函数。 4. 求函数 的极值。 ∫ = − − x f x t t dt 0 2 ( ) ( 1)( 2) 解 f ′(x) = (x −1)(x − 2) 2 ，令 f ′(x) = 0，得到 x = 1, 2。因为当 x < 1时， f ′(x) < 0，当1 < x < 2或 x > 2时， f ′(x) > 0，所以 x = 1是极小值点，x = 2 不是极值点。由 12 17 (1) [( 2) ( 2) ] 1 0 3 2 = − + − = − ∫ f t t dt , 可知 f (x)在 x = 1处有极小值 12 17 f (1) = − 。 5 利用中值定理求下列极限： ⑴ lim n n x x dt →∞ + ∫ 1 0 1 ; ⑵ lim sin n n n p x x dt →∞ + ∫ ( p ∈ N ) 。 解（1）由积分第一中值定理， lim n n x x dt →∞ + ∫ 1 0 1 = 1 0 1 1 1 lim lim 0 (0 1) 1 1 1 n n n x dx n ξ →∞ ξ ξ →∞ = ⋅ = ≤ ≤ + + + ∫ 。 （2）由积分第一中值定理，∃ξ ∈[n, n + p]，使得 n p dx p x n p x n = ≤ ∫ + ξ sin sinξ ， 所以 0 sin lim = ∫ + →∞ n p n n dt x x 。 217