例4计算 (1)「x2+1)e'dr, (2)「sec3xdr. 解（1)选u=x2+1,dv=edx,v=e, du=2xdr,于是 原式=(x2+l)e-2[xedr, 对于∫xedr再使用分部积分法， 选u=x,d=erdx,则du=dr,v=e,从而 ∫xe'dr=xe'-∫edr=xe'-e+C. 原式=e-2(xe*-e+C,)=(x2+2x+)e*+C(C-2C), 为了简便起见，所设u=x,v=e等过程不必写出来，其解题步 骤如下： ∫xe'dk=∫xde=xe*-∫e'dr=xe-e+C. (2)∫sec3xdr=∫sec xd(tanx)=secx tanx-∫tanxd(secx) =sec xtanx-tan2 xsec xdx =secxtanx-[(sec2x-1)sec xdx =sec xtanx-∫sec3xdr+∫secxdx -secxtanx-[secxdx+Insecx+tanx, 式中出现了“循环”，即再出现了[sec3xdr移至左端，整理得 fscc[seextan x+ecx+taC 小结此积分一般用于被积函数为不同类型的函数乘积式，但也 用于某些函数，如对数函数、反三角函数等，对于被积函数是指数函 数与三角函数乘积，还有∫sin(Inx)dr以及上面所讲的[sec'dr等，需多 次使用分部积分公式，在积分中出现原来的被积分函数再移项，合并7 例 4 计算 （1） x x x ( 1) e d 2   ， （2） 3 sec xdx  ． 解 （1） 选 1 2 u  x  ，dv  x e dx， v  x e ， du  2xdx , 于是 原式 ( 1) 2  x  x e   2 x x e dx , 对于  x x e dx再使用分部积分法, 选u  x， dv  x e dx , 则 du  dx，v  x e ,从而  x x e dx = x x e   x x e d = x x e C x  e  ． 原式= x e  2(xe  e  C1 )  x x ( 2 1) 2 x  x  C x e  （ 1 C  2C ）, 为了简便起见，所设 u  x ,v  x e 等过程不必写出来，其解题步 骤如下:  x x e dx =  x d x e = x x x C x x x x      e e d e e . （2） 3 sec xdx  = sec xd(tan x)  =sec x tan x   tan xd(sec x) =sec x tan x   tan x sec xdx 2 =sec x tan x  (sec x 1)sec xdx 2   =sec x tan x   sec xdx 3 +  sec xdx =sec x tan x   sec xdx 3 +ln sec x  tan x , 式中出现了“循环”，即再出现了 sec xdx 3 移至左端，整理得 3 sec xdx  = 2 1 [sec x tan x +ln sec x  tan x ]+C． 小结 此积分一般用于被积函数为不同类型的函数乘积式,但也 用于某些函数，如对数函数、反三角函数等，对于被积函数是指数函 数与三角函数乘积，还有 sin(ln x)dx  以及上面所讲的 sec xdx 3  等，需多 次使用分部积分公式，在积分中出现原来的被积分函数再移项，合并