《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用 海南大学数学系 在鱼A的成为2，不设等 aF *0。由方程组的隐函数存在定理(P器定理 3)知道，在点P,的某一个邻域内，由方程组可以确定唯一的一组连续可微函数 y=,:=)从几何上看，即曲面下Fx)=0和G,)=0在点P,的近分端定 了一条光滑的曲线！（两曲面的交线），其方程为：x=x,y=),:=), 此处x是参数，与该切线的切向量是，g,x》其中yx,.)的求法可以用上节 求法（方程组确定的隐函数求导法求出） 例2求两柱面的交线仁：：在点A方疗方的切线方程和法平面方 x2+2=1 程 三、曲面的法向量、法线和切平面 （一)、F,)-0的情形 若光滑曲线S的方程组Fx)-0,M场(0，0)为曲面上一点，过点M任做 条在曲面上的曲线1，设其方程为：x=x),y=0),:=0。则切平面方程： (M,X-0)+(,M,W-)+(EM,亿-0)=0：过点场并与切线平面垂直的直线，称 为曲线在点（的法线，方程为：高品品品 （二)、2-fx):Fxy)-Z-fx)-0，(000)=0,) 切平面方程：（会wK-0)=停w-0)=毫w2-0=0, (三)、曲面方程由方程组给出： x=u,),y=,),:=(,)《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 3 在点 0 p 的秩为 2，不妨设 y G y F     0 0      z P G z F 。由方程组的隐函数存在定理（P526定理 3）知道，在点 0 p 的某一个邻域内，由方程组可以确定唯一的一组连续可微函数 y = y(x)， z = z(x) 从几何上看，即曲面下 F(x, y,z) = 0 和 G(x, y,z) = 0 在点 0 p 的近分端定 了一条光滑的曲线 l （两曲面的交线），其方程为： x = x ， y = y(x)， z = z(x) ， 此处 x 是参数，与该切线 l 的切向量是 (1, g (x),z (x)) 其中 y (x),z (x) 的求法可以用上节 求法（方程组确定的隐函数求导法求出） ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) y z F G z x F G y x      = ； ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) y z F G x y F G z x      = . 例 2 求两柱面的交线     + = + = 1 1 2 2 2 2 x z x y 在点 0 p ) 2 1 , 2 1 , 2 1 ( 的切线方程和法平面方 程. 三、 曲面的法向量、法线和切平面 （一）、 F(x, y,z) = 0 的情形 若光滑曲线 S 的方程组 F(x, y,z) = 0 ， ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 为曲面上一点，过点 M0 任做 一条在曲面上的曲线 l ，设其方程为： x = x(t)， y = y(t)， z = z(t) 。则切平面方程： ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) 0 0 0 0 Fx M X − x + Fy M Y − y + Fz M Z − z = ；过点 M0 并与切线平面垂直的直线，称 为曲线在点 M0 的法线，方程为： 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x M y M Fz M Z z F Y y F X x − = − = − 。 （二）、 Z = f (x, y) ： F(x, y,z) = Z − f (x, y) = 0 ， ( , , ) 0 0 0 x y z ( ( , )) 0 0 0 z = f x y 切平面方程： ( ) ( , ) ( 0 ) ( ) ( , ) ( 0 ) ( ) ( , ) ( 0 ) 0 0 0 0 0 0 0 − =   − =   − =   Z z z z Y y y z X x x z x y x y x y , 法线方程： 1 ( ) ( ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 0 0 0 0 Z z y z Y y x z X x x y x y − =   − − =   − − . （三）、曲面方程由方程组给出： x = x(u,v)， y = y(u,v)， z = z(u,v)