例941级数∑m(厅+1)收敛 证易知 sm(G7+)=(1y3m(N厅+1-小7=(-ysm n-+1+n 显然sin死是单调减少数列,且 n+1+n lim sin 0 n→) √n2+1+n 所以∑sm(V厅+1是Lebn级数。由定理942可知它是收敛的。 n=1例 9.4.1 级数 ( ) 2 1 sin 1 π n n ∞=∑ + 收敛。 证 易知 ( ) 2 sin 1 n + π = (- 1)n ( ) 2 sin 1 n n + − π = (- 1)n 2 π sin n n +1+ 。 显然 2 π sin n n 1 ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⎪ + + ⎪ 是单调减少数列，且 lim n→∞ 2 π sin n n +1+ = 0， 所以 ( ) 2 1 sin 1 π n n ∞=∑ + 是 Leibniz 级数。由定理 9.4.2 可知它是收敛的