当取值为0时,表示完全不相关。当0<p要<1时,表示正相关;当-1<p<0时,表示负相关。如图 7-1所示: B的收益 B的收益 B的收益 A的收益 A的收益 A的收益 (a)完全正相关 (b)完全负相关 (c)不相关(此图要改) 图7-1相关系数的三种典型情况 从公式(7.6)至(7.9)可以看出,当p=1时,oP=X40x+X0B而当p<1时,op<X0A+M os。特别地,当p=1时,oP=|xo4-XBoB 根据上面的分析可知,双证券组合的风险不仅取决于每个证券自身的风险(用方差或者标准差 表示),还取决于每两个证券之间的互动性(用协方差或相关系数表示) 为了更好地理解分散化对于降低风险的作用,我们举个例子。假设市场上有A、B两种证券,其 预期收益率分别为8%和13%,标准差分别为12%和20%。A、B两种证券的相关系数为0.3。某投资者 决定用这两只证券组成投资组合 根据公式(7.5)和(7.6),组合的预期收益率和方差为 RPXA RA+XBRB p2=X3212%2+X20%2+2XX×0.3×12%×20% 0.0144X2+0.04X82+0.0144%XXB 表7.2显示了不同权重下组合的预期收益率和标准差。从表中的第3和第6列可以看出,当证 券A的权重从0逐步提高到1(相应地,证券B的权重从1逐步降低到0)时,组合的预期收益率从 13%逐步降到8%,而组合的标准差也逐步从20%逐步降低后又回升到1踢%。其中,当 X4=0.82,X=1-0.82=0.18时,组合的标准差最低,为11.45%。权重的改变对组合预期收益率和标准 差的影响如图8-2和8-3所示。具体计算方法也可参阅本书所附光盘的 Excel模板(标题为第9章 证券模型)。 表7-2不同相关系数下投资组合的预期收益率和标准差 给定相关系数下投资组合的标准差(% XA XB 预期收益率(%)p=1 0.3 0 20 20 0.10.9 12.5 16.818.04 18. 19 0.20.8 13.616.18 6.88 0.40.6 7.2 12.92 14.2 16.8 0.50.5 10.5 0.60.4 10.76 2.26 15.2 0.70.3 9.5 2.4 10.32 0.80.2 9 5.6 10.4 11.45 13.6 ②求最低标准差的步骤是:将XB=1-XA代入公式(7.6),然后对XA求偏微分,并令偏微分等于0,由此可以解得128 当取值为 0 时，表示完全不相关。当 0<ρAB<1 时，表示正相关;当-1<ρAB<0 时，表示负相关。如图 7-1 所示： B 的收益 B 的收益 B 的收益 . … . A 的收益 A 的收益 . ... . . . A 的收益 . … .. （a）完全正相关 （b）完全负相关 （c）不相关（此图要改） 图 7-1 相关系数的三种典型情况 从公式（7.6）至（7.9）可以看出，当ρ=1 时，σP=XAσA+ XB σB。而当ρ<1 时，σP<XAσA+ XB σB。特别地，当ρ=-1 时，σP=XAσA-XB σB。 根据上面的分析可知，双证券组合的风险不仅取决于每个证券自身的风险（用方差或者标准差 表示）,还取决于每两个证券之间的互动性（用协方差或相关系数表示）。 为了更好地理解分散化对于降低风险的作用，我们举个例子。假设市场上有 A、B 两种证券，其 预期收益率分别为 8%和 13%，标准差分别为 12%和 20%。A、B 两种证券的相关系数为 0.3。某投资者 决定用这两只证券组成投资组合。 根据公式（7.5）和（7.6），组合的预期收益率和方差为： R P=XA R A+XB R B σP 2 =XA 2 12%2 + XB 2 20%2 +2XAXB0.312%20% =0.0144 XA 2 +0.04 XB 2 +0.0144% XAXB 表 7.2 显示了不同权重下组合的预期收益率和标准差。从表中的第 3 和第 6 列可以看出，当证 券 A 的权重从 0 逐步提高到 1（相应地，证券 B 的权重从 1 逐步降低到 0）时，组合的预期收益率从 13% 逐 步 降到 8%， 而 组合 的 标准 差 也逐 步从 20% 逐步 降 低后 又 回升 到 12% 。 其中 ， 当 XA=0.82,XB=1-0.82=0.18 时，组合的标准差最低，为 11.45%②。权重的改变对组合预期收益率和标准 差的影响如图 8-2 和 8-3 所示。具体计算方法也可参阅本书所附光盘的 Excel 模板（标题为第 9 章 两 证券模型）。 表 7－2 不同相关系数下投资组合的预期收益率和标准差 给定相关系数下投资组合的标准差(%) XA XB 预期收益率(%) =-1 =0 =0.3 =1 0 1 13 20 20 20 20 0.1 0.9 12.5 16.8 18.04 18.4 19.2 0.2 0.8 12 13.6 16.18 16.88 18.4 0.3 0.7 11.5 10.4 14.46 15.47 17.6 0.4 0.6 11 7.2 12.92 14.2 16.8 0.5 0.5 10.5 4 11.66 13.11 16 0.6 0.4 10 0.8 10.76 12.26 15.2 0.7 0.3 9.5 2.4 10.32 11.7 14.4 0.8 0.2 9 5.6 10.4 11.45 13.6 ② 求最低标准差的步骤是：将 XB=1-XA 代入公式（7.6）,然后对 XA 求偏微分，并令偏微分等于 0，由此可以解得： X 极小（A）=（σB 2 -σAB）/（σA 2 +σB 2 -2σAB）