这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者可以说，每个人也都 有白口所接触到的特定的“靴学迎实” 。大多数人的数学现实世界可能只限于 另一些人可能需要熟悉某些简单的函数 至于 个数学家的数学现实可能就要包含Hilbert空间的 算，子、拓扑学以及纤维丛等等。 数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，应 该确定名举学牛在不同阶段必须状到的“数学现实”， 并日相据学生所实际拥 有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富， 予以扩展，从而使学生逐步提 高所具有的 “数学现实”的程度 广充其范围 通过这样的过程 ,数学教育 随着不断地扩展的现实发展，同时数学教育本身又促使了现实的扩展，正象数 学与现实世界的辩证关系一样，数学教育也应该符合这样的规律。 一些具体的例子如下：通过公共汽车上下车人数的变化引入整数的加诚 法，并找出运算规律；借助学生上学乘汽车、骑自行车或步行等多种交通工具 以及途中出现的各 种情况， 介绍各种类型的图象 示 进一步可分 绍变化率以及斜率等概念及有关性质；还可以从商店出售各种不同牌子、不同 规格的商品所获得的利润计算，引进矩阵的乘法概念，以及它的运算法则；以 及根据血压的变化介绍一般周期函数的概念，再进到更有规律的正弦函数及其 性质；或者从物质的生长率引进指数函数概念，从而导出对数函数等。 由于人们对数学需求不尽相同，各人在不同阶段又有特定的数学现实， 弗赖登塔尔认为，在现实背景材料的使用上有下述三种不同的水平： 第一级是在实际问题中直接包含着有关的数学运算，只要通过简单的变 换或过渡，就可以从实际问题求得相应的数学问题。在这里，具体的现实问题 起着核心作用。 第一级是根出了其个即面顺。杀组学生能越出与之右关的数学加 以组织，建立结构，从而解决问题。 这里需要运用数学作为工具来组织现实问 题并予以解决，因而具体的实际问题是起着实质性的作用。 第三级则是指出某个数学概念或是描述了某个数学过程的特征，由此引 进新的数学概念或是构造新的数学模型，在这儿所提供的现实背景材料已经从 通常的具体客观世界中抽象出来， 综上所状 弗赖登塔尔提氏 )“数学现实”原则 和我们通常所说的理论 联系实际有原则的区别，有其独特的含义和理论深度，值得我们借鉴。 首先，弗氏所说的“数学现实”，是客观现实与人的数学认识的统一体， 并非先有了一个”理论”，然后去联系一下“实际” 也不是从具体例子引入， 然后做几个应用题就算完事。所谓“数学现实”乃是人们用数学概念、 数学方 法对客观事物的认识的总体， 其中既含有客观世界的现实情况 句些生 人用自已的数学水平观察这些事物所获得的认识，我们习惯于把课本上的知让 笼统称为“理论”，而把“实际”狭隘地理解为“生产实际”，其实是不妥当 的。 其次，弗氏认为“每个人都有自已的数学现实”，这十分重要，这也许 我们常说的“从学生实际出发”差不多，数学教育当然要根据学生的“数学 现 ”来进行。学生的“实际 知识有多少？学生的 数学水平 有多高？学 “日常生活常识”有多广？这些都是教师面对的“现实”，如果我们简单地将 “课本上定理”和“应用题”联系起来，那样的教学未免太狭隘。例如，在荷 兰教材中，讲函数概念并不从映射出发，用双射、单射把学生弄得晕头转向，这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者可以说，每个人也都 有自己所接触到的特定的“数学现实”。大多数人的数学现实世界可能只限于 数和简单的几何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉某些简单的函数 与比较复杂的几何，至于一个数学家的数学现实可能就要包含 Hilbert 空间的 算，子、拓扑学以及纤维丛等等。 数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，应 该确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生所实际拥 有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提 高所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围。通过这样的过程，数学教育将 随着不断地扩展的现实发展，同时数学教育本身又促使了现实的扩展，正象数 学与现实世界的辩证关系一样，数学教育也应该符合这样的规律。 一些具体的例子如下：通过公共汽车上下车人数的变化引入整数的加减 法，并找出运算规律；借助学生上学乘汽车、骑自行车或步行等多种交通工具 以及途中出现的各种情况，介绍各种类型的图象表示、解析表示，进一步可介 绍变化率以及斜率等概念及有关性质；还可以从商店出售各种不同牌子、不同 规格的商品所获得的利润计算，引进矩阵的乘法概念，以及它的运算法则；以 及根据血压的变化介绍一般周期函数的概念，再进到更有规律的正弦函数及其 性质；或者从物质的生长率引进指数函数概念，从而导出对数函数等。 由于人们对数学需求不尽相同，各人在不同阶段又有特定的数学现实， 弗赖登塔尔认为，在现实背景材料的使用上有下述三种不同的水平： 第一级是在实际问题中直接包含着有关的数学运算，只要通过简单的变 换或过渡，就可以从实际问题求得相应的数学问题。在这里，具体的现实问题 起着核心作用。 第二级是提出了某个现实问题，希望学生能够找出与之有关的数学，加 以组织，建立结构，从而解决问题。这里需要运用数学作为工具来组织现实问 题并予以解决，因而具体的实际问题是起着实质性的作用。 第三级则是指出某个数学概念或是描述了某个数学过程的特征，由此引 进新的数学概念或是构造新的数学模型，在这儿所提供的现实背景材料已经从 通常的具体客观世界中抽象出来。 综上所述，弗赖登塔尔提的“数学现实”原则，和我们通常所说的理论 联系实际有原则的区别，有其独特的含义和理论深度，值得我们借鉴。 首先，弗氏所说的“数学现实”，是客观现实与人的数学认识的统一体， 并非先有了一个”理论”，然后去联系一下“实际”，也不是从具体例子引入， 然后做几个应用题就算完事。所谓“数学现实”乃是人们用数学概念、数学方 法对客观事物的认识的总体，其中既含有客观世界的现实情况，也包括学生个 人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识。我们习惯于把课本上的知识 笼统称为“理论”，而把“实际”狭隘地理解为“生产实际”，其实是不妥当 的。 其次，弗氏认为“每个人都有自己的数学现实”，这十分重要，这也许 和我们常说的“从学生实际出发”差不多，数学教育当然要根据学生的“数学 现实”来进行。学生的“实际”知识有多少?学生的“数学水平”有多高?学生 的“日常生活常识”有多广?这些都是教师面对的“现实”，如果我们简单地将 “课本上定理”和“应用题”联系起来，那样的教学未免太狭隘。例如，在荷 兰教材中，讲函数概念并不从映射出发，用双射、单射把学生弄得晕头转向