·682 智能系统学报 第12卷 表23个算法在4个测试函数上的IGD性能统计 1.2 *P-GA —Pareto Table 2 Comparison of IGD performance of three algorithms 1.01 ×SPEA2 on four test functions PESA2 0.8 测试函数 P-GA PESA2 SPEA2 0.6 Mean 2.42×10-4 2.31×104 7.31×10-3 0.4 KUR Std. 1.58×10-6 1.50×10-6 1.01×103 0.2 Mean 1.45×10- 5.03×103 8.91×103 0 ZDT1 02 0.4 0.6 0.8 0 Std. 5.92×10- 7.10x10 1.12×10 f(x) Mean 3.20×10-4 4.34×10-3 8.72×10- 图5基于ZDT2测试函数分布 ZDT2 Std. 2.88×10-6 6.84×104 1.01×10-3 Fig.5 ZDT2 test function distribution Mean 2.58×10 2.55×105 3.02×10- ZDT3 Sud. 2 1.83×10-8 1.82×10-8 2.12×10-8 ·P-GA —Pareto 从表2中可以看出，在KU测试函数上， 0.8 ×SPEA2 0.6 PESA2算法取得了最好的效果，但P-GA算法获得 0.4 统计结果与其相差无几，SPEA2算法表现最差： 02 P-GA在ZDT1和ZDT2测试函数上获得的统计数据 -0.2 明显好于其他两个算法：3种算法在ZDT3测试函数 -0.4 -0.6 上IGD均值和标准差结果相近。最后需要强调的 -0. 是，仿真实验表明在算法流程迭代次数超过2000 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9 fx) 次以后，3种算法在测试函数上取得的IGD指标基 本一致，在此就不去列举了。 图6基于ZDT3测试函数分布 Fig.6 ZDT3 test function distribution 4结束语 从图3可以看出，PESA2算法与P-GA算法都 本文提出了一种基于膜系统下的一种多目标 取得了较好的结果，但P-GA算法较其他两种算法 优化算法—PGA算法，该算法将膜计算相关理 分散程度较低，而SPEA2效果显得比较差：通过图4 论引入，并采用了遗传算法中的交叉与变异机制来 和图5可以很直观地看出P-GA算法能够较好地逼 增加算法适应能力。仿真实验表明，该算法有精度 近真实的Pareto前沿，逼近程度相较于另外两种算 高、收敛速度快、分布较为均匀等优点。此外，膜优 法更高，说明G-PA算法能够较快地收敛，且分布程 化算法的本质具有分布式和并行计算的执行逻辑， 但目前的研究仍局限于串行的工作方式，这也是不 度也与另外两种算法相当，整体上取得的非支配解 足之处。因此，如何实现算法的并行优化计算，也 好于PESA2算法和SPEA2算法；在图6中可以看 是下一步研究的重点内容和方向。 出，整体3种算法都取得了较好的效果，都能够逼近 真实的Pareto前沿，且分布离散程度也比较接近。 参考文献： 本文采用反转时代距离(inverted generational [1]FONSECA C M,FLEMING P J.Genetic algorithms for distant,IGD)作为评价指标u8-i。IGD是度量算 multi-objective optimization:formulation,discussion and 法得到的Pareto前沿到真实的Pareto前沿的距 generalization[C]//The 5th International Conference on Genetic Algorithms.San Mateo,CA,USA,1993: 离指标，该指标值的大小与算法Pareto前沿收敛 416-423. 性及多样性呈负相关[20)。通过仿真，得到这3 [2]SRINIVAS N,DEB K.Multi-objective optimization using non- 个多目标优化算法在4个测试函数上的数据，其 dominated sorting in genetic algorithms[].Evolutionary 中Mean表示均值，Std.表示标准差，每个算法均 computation,1994,2(3):221-248. [3]HORN J,NAFPLIOTIS N.GOLDBERG D E.A niched 在所有测试函数上独立测试100并进行了统计， pareto genetic algorithm for multi-objective optimization 表2列出了详细的统计数据。 [C ]//Proceedings of the first IEEE Conference on图 ５ 基于 ＺＤＴ２ 测试函数分布 Ｆｉｇ．５ ＺＤＴ２ ｔｅｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ 图 ６ 基于 ＺＤＴ３ 测试函数分布 Ｆｉｇ．６ ＺＤＴ３ ｔｅｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ 从图 ３ 可以看出，ＰＥＳＡ２ 算法与 Ｐ⁃ＧＡ 算法都 取得了较好的结果，但 Ｐ⁃ＧＡ 算法较其他两种算法 分散程度较低，而 ＳＰＥＡ２ 效果显得比较差；通过图 ４ 和图 ５ 可以很直观地看出 Ｐ⁃ＧＡ 算法能够较好地逼 近真实的 Ｐａｒｅｔｏ 前沿，逼近程度相较于另外两种算 法更高，说明 Ｇ⁃ＰＡ 算法能够较快地收敛，且分布程 度也与另外两种算法相当，整体上取得的非支配解 好于 ＰＥＳＡ２ 算法和 ＳＰＥＡ２ 算法；在图 ６ 中可以看 出，整体 ３ 种算法都取得了较好的效果，都能够逼近 真实的 Ｐａｒｅｔｏ 前沿，且分布离散程度也比较接近。 本文采用反转时代距离（ ｉｎｖｅｒｔｅｄ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎａｌ ｄｉｓｔａｎｔ，ＩＧＤ）作为评价指标［ １８－１９］ 。 ＩＧＤ 是度量算 法得到的 Ｐａｒｅｔｏ 前沿到真实的 Ｐａｒｅｔｏ 前沿的距 离指标，该指标值的大小与算法 Ｐａｒｅｔｏ 前沿收敛 性及多样性呈负相关［ ２０］ 。 通过 仿 真，得 到 这 ３ 个多目标优化算法在 ４ 个测试函数上的数据，其 中 Ｍｅａｎ 表示均值，Ｓｔｄ．表示标准差，每个算法均 在所有测试函数上独立测试 １００ 并进行了统计， 表 ２ 列出了详细的统计数据。 表 ２ ３ 个算法在 ４ 个测试函数上的 ＩＧＤ 性能统计 Ｔａｂｌｅ ２ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ＩＧＤ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｏｎ ｆｏｕｒ ｔｅｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ 测试函数 Ｐ⁃ＧＡ ＰＥＳＡ２ ＳＰＥＡ２ ＫＵＲ Ｍｅａｎ ２．４２×１０ －４ ２．３１×１０ －４ ７．３１×１０ －３ Ｓｔｄ． １．５８×１０ －６ １．５０×１０ －６ １．０１×１０ －３ ＺＤＴ１ Ｍｅａｎ １．４５×１０ －４ ５．０３×１０ －３ ８．９１×１０ －３ Ｓｔｄ． ５．９２×１０ －７ ７．１０×１０ －４ １．１２×１０ －３ ＺＤＴ２ Ｍｅａｎ ３．２０×１０ －４ ４．３４×１０ －３ ８．７２×１０ －３ Ｓｔｄ． ２．８８×１０ －６ ６．８４×１０ －４ １．０１×１０ －３ ＺＤＴ３ Ｍｅａｎ ２．５８×１０ －５ ２．５５×１０ －５ ３．０２×１０ －５ Ｓｔｄ． １．８３×１０ －８ １．８２×１０ －８ ２．１２×１０ －８ 从 表 ２ 中 可 以 看 出， 在 ＫＵＲ 测 试 函 数 上， ＰＥＳＡ２ 算法取得了最好的效果，但 Ｐ⁃ＧＡ 算法获得 统计结果与其相差无几， ＳＰＥＡ２ 算法表现最差； Ｐ⁃ＧＡ在 ＺＤＴ１ 和 ＺＤＴ２ 测试函数上获得的统计数据 明显好于其他两个算法；３ 种算法在 ＺＤＴ３ 测试函数 上 ＩＧＤ 均值和标准差结果相近。 最后需要强调的 是，仿真实验表明在算法流程迭代次数超过 ２ ０００ 次以后，３ 种算法在测试函数上取得的 ＩＧＤ 指标基 本一致，在此就不去列举了。 ４ 结束语 本文提出了一种基于膜系统下的一种多目标 优化算法———Ｐ⁃ＧＡ 算法，该算法将膜计算相关理 论引入，并采用了遗传算法中的交叉与变异机制来 增加算法适应能力。 仿真实验表明，该算法有精度 高、收敛速度快、分布较为均匀等优点。 此外，膜优 化算法的本质具有分布式和并行计算的执行逻辑， 但目前的研究仍局限于串行的工作方式，这也是不 足之处。 因此，如何实现算法的并行优化计算，也 是下一步研究的重点内容和方向。 参考文献： ［１］ ＦＯＮＳＥＣＡ Ｃ Ｍ， ＦＬＥＭＩＮＧ Ｐ Ｊ． Ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ： ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ， ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ［ Ｃ］ ／ ／ Ｔｈｅ ５ｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｇｅｎｅｔｉｃ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ． Ｓａｎ Ｍａｔｅｏ， ＣＡ， ＵＳＡ， １９９３： ４１６－４２３． ［２］ＳＲＩＮＩＶＡＳ Ｎ， ＤＥＢ Ｋ． Ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｎｏｎ⁃ ｄｏｍｉｎａｔｅｄ ｓｏｒｔｉｎｇ ｉｎ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ［ Ｊ ］． Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ， １９９４， ２（３）： ２２１－２４８． ［３］ ＨＯＲＮ Ｊ， ＮＡＦＰＬＩＯＴＩＳ Ｎ， ＧＯＬＤＢＥＲＧ Ｄ Ｅ． Ａ ｎｉｃｈｅｄ ｐａｒｅｔｏ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ［ Ｃ ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ＩＥＥＥ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ ·６８２· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷