被积函数|xyz|关于xO、y0x坐标面对称 有∫=4成立,(为第一卦限部分曲面) dxdy=1+(2x)2+(2y) dxdy 原式=jx|4=4」∫xyds=4x(x2+y)h+(2x)+()dh 其中Dn={(x,y)|x2+y2≤1,x≥0,y≥0} 利用极坐标x= rcos t,y=rsit a dt 5 cost in (-P2V1+4r2rdr =2sm2t√+4Fb=1+4 25 420 例3计算什xdS,其中∑是圆柱面x2+y2=1,平面z=x+2及z=0所围 成的空间立体的表面 解∫=』++』∫ 其中∑1:二=0,∑2:z=x+2, Σ3:x2+y=1投影域D:x2+y2≤1 显然‖xdS=xdxd=0 xds=[xVi+ lardy=0 讨论Σ3时,将投影域选在xOE上4 被积函数 | xyz| 关于 xoz、 yoz 坐标面对称 有     = 1 4 成立，( 1 为第一卦限部分曲面) dS z z dxdy x y 2 2 = 1+  +  x y dxdy 2 2 = 1+ (2 ) + (2 ) 原式 xyz dS   = | | xyzdS   = 1 4 x y x y x y dxdy Dxy 2 2 2 2 = 4 ( + ) 1+ (2 ) + (2 )   其中 {( , )| 1 2 2 Dxy  = x y x + y  , x  0, y  0} 利用极坐标 x = r cost , y = rsin t , dt r t t r r rdr   =  + 1 0 2 2 2 2 0 4 cos sin 1 4  tdt r r dr 2 1 0 5 0 2 sin 2 1 4 2 = +    令 2 u =1+ 4r du u u 2 5 1 ) 4 1 ( 4 1 − =  . 420 125 5 −1 = 例 3 计算   xdS , 其中  是圆柱面 1 2 2 x + y = , 平面 z = x + 2 及 z = 0 所围 成的空间立体的表面. 解         = + + 1 2 3 其中 1： z = 0, 2 ： z = x + 2, 3： 1 2 2 x + y = .投影域 D1： 1 2 2 x + y  显然 0 1 1 = =    D xdS xdxdy , 1 1 0, 2 1 = + =    D xdS x dxdy 讨论 3 时, 将投影域选在 xoz 上