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设函数F(x,y)在点(x0,y)的某一邻域内具有连续偏导数, F,(x,yo)≠0,则由方程F(x,y)=0确定的隐函数y=(x)的导数为

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如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,则函数在该点的偏导数、必定存在,且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为

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如果函数u=u(x)及v=v(x)在点x具有导数,那么它们的积在点x也具有导数,并且

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如果函数u=u(x)及v=v(x)在点x具有导数,那么它们的和在点x也具有导数,并且

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12.6可降阶的高阶微分方程一、yn=f(x)型的微分方程二、y\f(x,y)型的微分方程三、y=fv,y)型的微分方程

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在极限lim[1+a(x)]a(x)中,只要a(x)是无穷小,就有 lim[+a(x) ](x)=e. 这是因为,令u=,则u→∞,于是

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证明du(x,y)=(x,y)dx+(x,y)dy,其中

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定理2(函数极限的局部有界性) 如果f(x)→A(x→x),那么f(x)在x的某一去心邻域内有界. 证明因为f(x)→A(x→x),所以对于=1,3δ>0, 当0

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定理1(无穷小与函数极限的关系) 在自变量的同一变化过程x→x(或x→∞)中,函数f(x) 具有极限A的充分必要条件是(x)=A+a,其中a是无穷小简要证明令a=f(x)-A,则fx)-a

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定理3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛, 且极限也是a 证明设数列{xn}是数列{xn}的任一子数列. 因为数列{xn}收敛于a,所以ve>0,3nen+,当n>时, 有xn-ak. 取K=N,则当kK时,nK=N.于是xn-ak

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