第一章初等数学 一、初等代数 1.乘法公式与因式分解 1(a±b)2=a2±2ab+b2 2.(a+b+c)2=a2++b2+c2+2ab+2ac+2bc 3.a2-b2=(a-b)(a+b) 4.(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

4.2.2子空间的交与和,生成元集 定义4.13设a1,a2,,a,∈V,则{ka1+k2a2++ka,k∈K,i=12}是V的 一个子空间,称为由a1,a2,,a,生成的子空间,记为(aa2,,a)易见,生成的子 空间的维数等于a1,a2,…,a的秩。 定义4.14子空间的交与和 设V1,V2为线性空间VK的子空间,定义 vnv2={ VEV2},称为子空间的交 V1+V2={v+v2v∈V1,v2∈V2},称为子空间的和。 命题4.9VNV2和V1+V2都是V的子空间

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在R3中,给定四个共面向量a1,a2,3,4,它们显然是线性相关的,但它们中存在两个线性无关的向量,而任一个向量都可由这两个线性无关的向量线性表示(例如:a1,a2线性无关,a3,a4可 ,3,4 由a1,a2线性表示).此外它们中任意三个向量是线性相关的,即它们中任一个线性无关的部 分组最多只含2个向量,数2就叫作这个向量组 的秩

1.设A是n阶矩阵,且经过 Gauss消去法一步消去后变为an (0A2 证明: (1)如果A是实对称矩阵,那么A2也是对称的; (2)如果ala(i=1,2,L,n),称A为(按行)严格对角占优矩阵,那么A2也是严格对角 占优

4.1.3线性空间的基与维数,向量的坐标 设V是数域K上的线性空间, 定义4.9基和维数 如果在V中存在n个向量a1,a2,…,an,满足 1)、a1,a2,…,an线性无关; 2)、V中任一向量在K上可表成a1,a2,…,an的线性组合

定义1n个有顺序的数a1,a2,an所组成的有序数 组 a= (a a2,,) 称为n维向量。数a,a2,…,an叫做向量a的分量,a 称为向量a的第i个分量。若一个向量的分量都为实 数,则称此向量为实向量;若向量的分量为复数, 则称此向量为复向量。本章只讨论实向量。一般我 们用小写黑体字母a,,或带箭头的小写字 母 a表示向量

例1证明:向量组a1(≠0),a2,…,a线性 相关的充分必要条件是其中至少有一个a,1