线性代数第9讲 向量组的秩 2021/2/20
2021/2/20 1 线性代数第9讲 向量组的秩
在R3中,给定四个共面向量a,a2,a2,a,它们显 然是线性相关的,但它们中存在两个线性无关 的向量,而任一个向量都可由这两个线性无关 的向量线性表示(例如:a1,a2线性无关,a3,c4可 由a,线性表示).此外它们中任意三个向量 是线性相关的,即它们中任一个线性无关的部 分组最多只含2个向量,数2就叫作这个向量组 的秩 2021/2/20
2021/2/20 2 在R3中, 给定四个共面向量a1 ,a2 ,a3 ,a4 , 它们显 然是线性相关的, 但它们中存在两个线性无关 的向量, 而任一个向量都可由这两个线性无关 的向量线性表示(例如:a1 ,a2线性无关, a3 ,a4可 由a1 ,a2线性表示). 此外它们中任意三个向量 是线性相关的, 即它们中任一个线性无关的部 分组最多只含2个向量, 数2就叫作这个向量组 的秩
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2021/2/20 3 a1 a2 a3 a4
定义6如果向量组a1,cx2,.中存在个线性无 关的向量,且其中任一个向量可由这r个线性 无关的向量线性表示,则数r称为向量组的秩, 记作秩{ax,a2,,a}=F 显然,如果a1,a2,线性无关,则 秩{a1,a1,…,ax} 只含零向量的向量组的秩为零. 2021/2/20
2021/2/20 4 定义6 如果向量组a1 ,a2 ,...,as中存在r个线性无 关的向量, 且其中任一个向量可由这r个线性 无关的向量线性表示, 则数r称为向量组的秩, 记作 秩{a1 ,a2 ,...,as}=r. 显然, 如果a1 ,a2 ,...,as线性无关, 则 秩{a1 ,a2 ,...,as}=s; 只含零向量的向量组的秩为零
定义7如果向量组月,B2,中每个向量可由 向量组ax2a2,,c线性表示,就称前一个向量 组可由后一个向量组线性表示.如果两个向量 组可以互相线性表示,则称这两个向量组是等 佡的 5 2021/2/20
2021/2/20 5 定义7 如果向量组b1 ,b2 ,...,bt中每个向量可由 向量组a1 ,a2 ,...,as线性表示, 就称前一个向量 组可由后一个向量组线性表示. 如果两个向量 组可以互相线性表示, 则称这两个向量组是等 价的
定理4如果向量组B1,2…,B可由向量组 a,a2,,线性表示,且ts,则月1,B2线性相 关 证设B=∑ka1(=1,2 验证β1B2,…B线性相关,考察 x1B1+x2B2+.+xB=0,(3.11) ∑xB C 0 6 2021/2/20
2021/2/20 6 定理4 如果向量组b1 ,b2 ,...,bt可由向量组 a1 ,a2 ,...,as线性表示, 且t>s, 则b1 ,b2 ,...,bt线性相 关. 证 设 1 ( 1, 2, , ), s j ij i i b ak j t = = = 1 1 1 1 1 0. t t s s t j j j ij i ij j i j j i i j x x k k x b a a = = = = = === 验证b1 ,b2 ,...,bt线性相关, 考察 x1b1+x2b2+...+xtbt =0, (3.11) 即
∑kx=0,2=1, (3.12) 时,(3.11)式显然成立.而(3.12)式是个 未知量x1x2…x的齐次线性方程组,由 于s(方程个数),故方程组(3.12)式有 非零解,即有不全为零的x1x2…使 (3.11)式成立,所以1B2…线性相关 7 2021/2/20
2021/2/20 7 当 1 0, 1,2, , , (3.12) t ij j j k x i s = = = 时, (3.11)式显然成立. 而(3.12)式是t个 未知量x1 ,x2 ,...,xt的齐次线性方程组, 由 于t>s(方程个数), 故方程组(3.12)式有 非零解, 即有不全为零的x1 ,x2 ,...,xt使 (3.11)式成立, 所以b1 ,b2 ,...,bt线性相关
推论1如果向量组B1,B2,2可由向量组 c线性表示,且B1,B2…B线性无关,则 推论2若秩{ax,a2,ax}=,则a1,a2,,a3中任 何r-+1个向量都是线性相关的 证不妨设a,a2,ax是向量组a1,a2,,中的 个线性无关的向量,由于该向量组中任一个向 量可由a1,a,…,线性表示,由定理4立即可得 其中任何r-+1个向量都线性相关 8 2021/2/20
2021/2/20 8 推论1 如果向量组b1 ,b2 ,...,bt可由向量组 a1 ,a2 ,...,as线性表示, 且b1 ,b2 ,...,bt线性无关, 则 ts. 推论2 若秩{a1 ,a2 ,...,as}=r, 则a1 ,a2 ,...,as中任 何r+1个向量都是线性相关的. 证 不妨设a1 ,a2 ,...,ar是向量组a1 ,a2 ,...,as中的r 个线性无关的向量, 由于该向量组中任一个向 量可由a1 ,a2 ,...,ar线性表示, 由定理4立即可得 其中任何r+1个向量都线性相关
如此,向量组的秩可等价地定义为:若向量组 中存在r个线性无关的向量,且任何r+1个向量 都线性相关,就称数r为向量组的秩 由此可知,秩为r的向量组中,任一个线性无关 的部分组最多只含r个向量.因此,秩为的向 量组中含有〃个向量的线性无关组,称为该向 量组的极大线性无关组.一般情况下,极大线 性无关组不唯一,但不同的极大线性无关组所 含向量个数是相同的. 9 2021/2/20
2021/2/20 9 如此, 向量组的秩可等价地定义为: 若向量组 中存在r个线性无关的向量, 且任何r+1个向量 都线性相关, 就称数r为向量组的秩. 由此可知, 秩为r的向量组中, 任一个线性无关 的部分组最多只含r个向量. 因此, 秩为r的向 量组中含有r个向量的线性无关组, 称为该向 量组的极大线性无关组. 一般情况下, 极大线 性无关组不唯一, 但不同的极大线性无关组所 含向量个数是相同的
推论3设秩{a1灬…,a},秩{B1,B}=,如果向 量组B12B可由向量组a1,c线性表示,则 证不妨设a1…,和B,月分别是两个向量组 的极大无关组,因此有 又已知 =∑b1(k=1……1) 所以B=∑bc=∑∑bk, J= 2021/2/20
2021/2/20 10 推论3 设秩{a1 ,...,as}=p, 秩{b1 ,...bt}=r, 如果向 量组b1 ,...bt可由向量组a1 ,...,as线性表示, 则 rp. 证 不妨设a1 ,...,ap和b1 ,...br分别是两个向量组 的极大无关组, 因此有 , ( 1, , , , ). 1 1 1 1 1 = = = = = = = = = p j j s i ki i j s i p j k ki i j j s i k ki i b c b c b k r t b a a b a 所以 1 ( 1, , ). p i ij j j a ac i s = = = 又已知