《线性代数》第10讲 条件及解的结构

线性代数第10讲 线性方程组 2021/2/20

2021/2/20 1 线性代数第10讲 线性方程组

34齐次线性方程组有非零解的 条件及解的结构 2021/2/20

2021/2/20 2 3.4 齐次线性方程组有非零解的 条件及解的结构

对于以m×n矩阵A为系数矩阵的齐次线性方程 组 AX=O (3.15) 如果把4按列分块为A[a1,a,,an,它就可以 表示为向量等式 x1x1+x2a2+…+x2O2=0 (3.16 因此,(315)有非零解的充分必要条件是 Cx,C2,n线性相关 秩(4)=秩{a1,a2,an}<Mn 定理1设A是m×n矩阵,则齐次线性方程组 AX=0有非零解的充要条件为秩(A)<n 3 2021/2/20

2021/2/20 3 对于以mn矩阵A为系数矩阵的齐次线性方程 组 AX=0 (3.15) 如果把A按列分块为A=[a1 ,a2 ,...,an ], 它就可以 表示为向量等式 x1a1+x2a2+...+xnan =0 (3.16) 因此, (3.15)有非零解的充分必要条件是 a1 ,a2 ,...,an线性相关, 秩(A)=秩{a1 ,a2 ,...,an}<n. 定理1 设A是mn矩阵, 则齐次线性方程组 AX=0有非零解的充要条件为 秩(A)<n

设秩()=r,则矩阵A存在r个线性无关的行向 量,其余m-r个行向量可由这r个线性无关的行 向量线性表示.因此,对A作初等行变换可将 其化为有r个非零行的阶梯阵 0 2 2 2n U 0 0 0 0 2021/2/20

2021/2/20 4 设秩(A)=r, 则矩阵A存在r个线性无关的行向 量, 其余m-r个行向量可由这r个线性无关的行 向量线性表示. 因此, 对A作初等行变换可将 其化为有r个非零行的阶梯阵 2 2 11 2 1 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 r r r i i n iin ri rn c c c c c c c U c c       =        

由U/X=0与AX=0是同解方程组,以及U/X=0有非 零解的充要条件为r<n,就使本定理得证. 定理1的等价命题是:齐次线性方程组AX=0只 有零解的充要条件是秩(A)=A的列数 当A为n阶矩阵时,AX0有非零解的充要条件 还可以叙述为|4=0,AX=0只有零解的充要条 件可以叙述为|4≠0 5 2021/2/20

2021/2/20 5 由UX=0与AX=0是同解方程组, 以及UX=0有非 零解的充要条件为r<n, 就使本定理得证. 定理1的等价命题是:齐次线性方程组AX=0只 有零解的充要条件是 秩(A)=A的列数. 当A为n阶矩阵时, AX=0有非零解的充要条件 还可以叙述为|A|=0, AX=0只有零解的充要条 件可以叙述为|A|0

例1设A是m阶矩阵,证明:存在n×s矩阵B≠0,使 得AB=0的充要条件是4=0 证将B按列分块为[B,B2…,B、,则AB=0等价 于 AB= 0 5···9 即B的每一列都是齐次线性方程组AX0的解 若AB=0,B≠0,则AX=0有非零解,故|4=0;反之, 若4=0,取AX0的s个非零解作为B的s个列, 则B≠0,但它使得AB=0 6 2021/2/20

2021/2/20 6 例1 设A是n阶矩阵, 证明: 存在ns矩阵B0, 使 得AB=0的充要条件是|A|=0. 证 将B按列分块为[B1 ,B2 ,...,Bs ], 则AB=0等价 于 ABj =0, j=1,2,...,s, 即B的每一列都是齐次线性方程组AX=0的解. 若AB=0, B0, 则AX=0有非零解, 故|A|=0; 反之, 若|A|=0, 取AX=0的s个非零解作为B的s个列, 则B0, 但它使得AB=0

定理2若X12是齐次线性方程组AX=0的两个 解,则k1X1+k2(k1,2为任意常数)也是它的解 证因为4(k1X1+k2X2)=k1AX1+k24X k10+k20=0,故k1+k2X2是AX=0的解 定理2的结论显然对于有限多个解也成立,目 若X,X2,x是齐次线性方程组AX=0的个解 则k1+k22+…+k(k1…,k为任意常数)也是 AX=0的解 7 2021/2/20

2021/2/20 7 定理2 若X1 ,X2是齐次线性方程组AX=0的两个 解, 则k1X1+k2X2 (k1 ,k2为任意常数)也是它的解. 证 因为 A(k1X1+k2X2 )=k1AX1+k2AX2 = =k10+k20=0, 故k1X1+k2X2是AX=0的解. 定理2的结论显然对于有限多个解也成立, 即 若X1 ,X2 ,...,Xr是齐次线性方程组AX=0的r个解, 则k1X1+k2X2+...+krXr (k1 ,...,kr为任意常数)也是 AX=0的解

定义1设X1,X2,Xn是4x=0的解向量,如果: (1)X1x12,…线性无关;(2)AX0的任一个解 向量可由X1X2,…线性表示则称X1X2,… 是AX0的一个基础解系 如果找到了AX=0的基础解系X1X2…,X,那末 k1X1+k2X2+…+对任意常数k,42,4作成的 集合,就是AX=0的全部解的解集合 8 2021/2/20

2021/2/20 8 定义1 设X1 ,X2 ,...,Xp是AX=0的解向量, 如果: (1)X1 ,X2 ,...,Xp线性无关; (2) AX=0的任一个解 向量可由X1 ,X2 ,...,Xp线性表示. 则称X1 ,X2 ,...,Xp 是AX=0的一个基础解系. 如果找到了AX=0的基础解系X1 ,X2 ,...,Xp , 那末 k1X1+k2X2+...+kpXp对任意常数k1 ,k2 ,...,kp作成的 集合, 就是AX=0的全部解的解集合

例2求齐次线性方程组AX=0的一般解,其系 数矩阵为 24311 1-213-3 0025-2 解对矩阵A作初等行变换,将其化为行 简化阶梯矩阵 9 2021/2/20

2021/2/20 9 例2 求齐次线性方程组AX=0的一般解, 其系 数矩阵为 1 2 1 1 1 2 4 3 1 1 1 2 1 3 3 0 0 2 5 2 A     =   - - -     - 解 对矩阵A作初等行变换, 将其化为行 简化阶梯矩阵

A 131 1135 0 0 32 ① 11 ① 000 1-45 ③④ —X 000 0002000 00 11-67 00 2021/2/20

2021/2/20 10 2 1 3 1 3 2 4 2 1 2 1 1 1 2 4 3 1 1 1 2 1 3 3 0 0 2 5 2 1 2 1 1 1 ( 2) 0 0 1 1 1 0 0 2 4 2 0 0 2 5 2 1 2 1 1 1 ( 2) 0 0 1 1 1 ( 2) 0 0 0 6 0 0 0 0 7 0 A     = - - -   -   +  -   - - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + -   -   +  -   - - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ +  -  