《线性代数》第6讲 可逆矩阵的逆矩阵

线性代数第6讲 可逆矩阵的逆矩阵 2021/2/20

2021/2/20 1 线性代数第6讲 可逆矩阵的逆矩阵

矩阵运算中定义了加法和负矩阵,就可以定义 矩阵的减法.那么定义了矩阵的乘法,是否可 以定义矩阵的除法呢?由于矩阵乘法不满足 交换律,因此我们不能一般地定义矩阵的除法 在数的运算中,当数≠0时,a1=aa=1,这里 a1=1/称为a的倒数,(或称a的逆);在矩阵乘 法运算中,单位矩阵/相当于数的乘法中的1, 则对于一个矩阵A,是否存在一个矩阵A,使 得A41=414=呢?如果存在这样的矩阵A1 就称A是可逆矩阵,并称A1是A的逆矩阵 2021/2/20

2021/2/20 2 矩阵运算中定义了加法和负矩阵, 就可以定义 矩阵的减法. 那么定义了矩阵的乘法, 是否可 以定义矩阵的除法呢? 由于矩阵乘法不满足 交换律, 因此我们不能一般地定义矩阵的除法. 在数的运算中, 当数a0时, aa-1=a -1a=1, 这里 a -1=1/a称为a的倒数, (或称a的逆); 在矩阵乘 法运算中, 单位矩阵I相当于数的乘法中的1, 则对于一个矩阵A, 是否存在一个矩阵A-1 , 使 得AA-1=A-1A=I呢? 如果存在这样的矩阵A-1 , 就称A是可逆矩阵, 并称A-1是A的逆矩阵

定义1对于矩阵A,如果存在一个矩阵B,使得 AB-BA=1 2.22) 就称A为可逆矩阵,(简称4可逆),并称B是4的 逆矩阵,记作A1,即A1=B 由定义可知,可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵 由于(2.2)式中,A与B的地位是平等的,所以 也可称A是B的逆矩阵. 3 2021/2/20

2021/2/20 3 定义1 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵B, 使得 AB=BA=I, (2.22) 就称A为可逆矩阵, (简称A可逆), 并称B是A的 逆矩阵, 记作A-1 , 即A-1=B. 由定义可知, 可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵. 由于(2.22)式中, A与B的地位是平等的, 所以 也可称A是B的逆矩阵

定理1若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯 的 证设B和C都是A的逆矩阵,则由 AB-BA=I AC-CA-. 可得 B-1B=(CAB=C(AB)=CIC 故A的逆矩阵是唯一的 2021/2/20

2021/2/20 4 定理1 若A是可逆矩阵, 则A的逆矩阵是唯一 的. 证 设B和C都是A的逆矩阵, 则由 AB=BA=I, AC=CA=I, 可得 B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C, 故A的逆矩阵是唯一的

下面讨论矩阵A可逆的充分必要条件 如果A可逆,其逆为B,则4B4B=1,必有 A4≠0,因此,|A≠0是A可逆的必要条件 下面要证明4≠0也是A可逆的充分条件.为此 要引入伴随矩阵( adjoint matrix)的概念 5 2021/2/20

2021/2/20 5 下面讨论矩阵A可逆的充分必要条件. 如果A可逆, 其逆为B, 则|A||B|=|AB|=|I|=1, 必有 |A|0, 因此, |A|0是A可逆的必要条件. 下面要证明|A|0也是A可逆的充分条件. 为此 要引入伴随矩阵(adjoint matrix)的概念

定义2设A是一个n阶矩阵, A n×n n2 A是行列式中元素a的代数余子式称 12 cof a [A4 n×n 是A的代数余子式矩阵. 6 2021/2/20

2021/2/20 6 定义2 设A是一个n阶矩阵, 11 12 1 21 22 2 1 2 [ ] n n ij n n n n nn a a a a a a A a a a a      = =         Aij是行列式|A|中元素aij的代数余子式. 称 11 12 1 21 22 2 1 2 cof [ ] n n ij n n n n nn A A A A A A A A A A A      = =         是A的代数余子式矩阵

称cofA的转置矩阵是4的伴随矩阵,记作adjA 或A AA nI A=(cof A 在22节的例6中已经证明了 A A AA A LA 7 2021/2/20

2021/2/20 7 称cof A的转置矩阵是A的伴随矩阵, 记作adj A 或A* 11 21 1 * 12 22 2 1 2 (cof ) n T n n n nn A A A A A A A A A A A     =         * | | | | | | | | A A AA A I A     = =         在2.2节的例6中已经证明了

同理可证,A=4,于是 AAAA=A1, (2.23) 当14≠0时,可得 AA=I,(24) A A 故当4≠=0时,A可逆,且 (225) 8 2021/2/20

2021/2/20 8 同理可证, A*A=|A|I, 于是 AA* =A*A=|A|I, (2.23) 当|A|0时, 可得 1 1 * * , (2.24) | | | | A A A A I A A     = =         1 * 1 . (2.25) | | A A A - = 故当|A|0时, A可逆, 且

定理2矩阵A可逆的充分必要条件是 ≠0,且 A A 9 2021/2/20

2021/2/20 9 定理2 矩阵A可逆的充分必要条件是: |A|0, 且 1 * 1 | | A A A - =

推论若A,B都是m阶矩阵,且AB=l,则BA=l,即 A,B皆可逆,且A,B互为逆矩阵 证由AB=,得团|B=1,|4≠0,B≠0,A,B皆可逆, 于是, BA=BA=A-ABA=A-IIA=A-14=I 因此,判断B是否为A的逆,只需验证AB=或 BA=/的一个等式成立即可 2021/2/20

2021/2/20 10 推论 若A,B都是n阶矩阵, 且AB=I, 则BA=I, 即 A,B皆可逆, 且A,B互为逆矩阵. 证 由AB=I, 得|A||B|=1, |A|0, B0, A,B皆可逆, 于是, BA=IBA=A-1ABA=A-1 IA=A-1A=I 因此, 判断B是否为A的逆, 只需验证AB=I或 BA=I的一个等式成立即可