《线性代数》第7讲 分块矩阵

线性代数第7讲 分块矩阵 2021/2/20

2021/2/20 1 线性代数第7讲 分块矩阵

把一个5阶矩阵 21:10-1 12:2-30/水平和垂直的 虚线分成4块 A=00:10 00:01 00 00:001 1 100 10-1 A, 2-20 A00=O010|=1 00 00 2021/2/20

2021/2/20 2 把一个5阶矩阵 2 1 1 0 1 1 2 2 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 A   −   −   =         用水平和垂直的 虚线分成4块. 1 2 0 0 1 0 0 2 1 1 0 1 , , 0 0 , 0 1 0 1 2 2 2 0 0 0 0 0 1 A A O I         −     = = = =     −                 1 2 1 A A O I   =    

把一个m×n矩阵A,在行的方向上分成s块,在 列的方向分成块,称为A的s×t分块矩阵,记作 A=[Aln其中A(k=-1,2,…,s=1,2,,称为A的 子块,它们是各种类型的小矩阵 常用的分块矩阵,除了上面的4块矩阵,还有以 下几种形式 3 2021/2/20

2021/2/20 3 把一个mn矩阵A, 在行的方向上分成s块, 在 列的方向分成t块, 称为A的st分块矩阵, 记作 A=[Akl]st , 其中Akt(k=1,2,...,s,l=1,2,...,t)称为A的 子块, 它们是各种类型的小矩阵. 常用的分块矩阵, 除了上面的4块矩阵, 还有以 下几种形式:

按行分块 2 21 mI a A1=[an1a12 ]i=1,2,, 2021/2/20

2021/2/20 4 按行分块 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 , [ ] 1,2, , . n n m m mn m i i i in a a a A a a a A A a a a A A a a a i m         = =                 = =

按列分块 12 b b b B 2|=[B1,B2,…,B, 「b b B ,j=1,2,…,S. bn 5 2021/2/20

2021/2/20 5 按列分块 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 [ , , , ] , 1,2, , . s s s n n ns j j j nj b b b b b b B B B B b b b b b B j s b     = =               = =      

当n阶矩阵C中非零元素都集中在主对角 线附近,有时可以分块成对角块矩阵(准 对角矩阵) O OC:0 O 其中C1是r阶方阵(=1,2,,m;r1+r2+…+rm=n) 6 2021/2/20

2021/2/20 6 当n阶矩阵C中非零元素都集中在主对角 线附近, 有时可以分块成对角块矩阵(准 对角矩阵) 1 2 , n C O O O C O C O O C     =         其中Ci是ri阶方阵(i=1,2,...,m; r1+r2+...+rm =n)

例 0-1 00 B 2-000-0 00-02 00-000-3 B 11 B 000-0.0 1 B 0.0 2-0 2-0 0 B B,=-112,B 3] 0 2 7 2021/2/20

2021/2/20 7 例如   1 2 3 1 2 3 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 3 1 1 0 0 1 , 1 1 2 , 3 . 1 2 0 2 2 B B B B B B B   −         −   = =   −           −       −   −   = = − =           −

下面讨论分块矩阵的运算 1.分块矩阵的加法 设分块矩阵A[Al,B=[Bl,如果A与B对 应的子块A和B都是同型矩阵,则 A+B=LAk+ Bklsxt 例如 A1A2,B1B2_A1+B1A2+B2 BB A,+B +B 其中A1与B1,A12与B12,A21与B21,A2与 B2分别都是同型小矩阵(子块) 8 2021/2/20

2021/2/20 8 下面讨论分块矩阵的运算 1. 分块矩阵的加法 设分块矩阵A=[Akl]st , B=[Bkl]st , 如果A与B对 应的子块Akl和Bkl都是同型矩阵, 则 A+B=[Akl+Bkl]st 例如 11 12 11 12 11 11 12 12 21 22 21 22 21 21 22 22 A A B B A B A B A A B B A B A B       + + + =             + + 其中A11与B11, A12与B12, A21与B21, A22与 B22分别都是同型小矩阵(子块)

2.分块矩阵的数量乘法 设分块矩阵A[A,h是一个数,则 ha=hauls 9 2021/2/20

2021/2/20 9 2. 分块矩阵的数量乘法 设分块矩阵A=[Akl]st , h是一个数, 则 hA=[hAkl]st

3.分块矩阵的乘法 设A是m×n矩阵,B是nx矩阵,如A分块为rxs分 块矩阵[4B分块为×分块矩阵[Blx,且 A的列的分块法和B的行的分块法完全相同, 贝 2021/2/20

2021/2/20 10 3. 分块矩阵的乘法 设A是mn矩阵, B是np矩阵, 如A分块为rs分 块矩阵[Akl]rs , B分块为st分块矩阵[Bkl]st , 且 A的列的分块法和B的行的分块法完全相同, 则