线性方程组AX=B的一般数值解法: 1.直接法:通过有限步精确运算求得方程组的 精确解(存在舍入误差)。 ·消元法 适用于低阶稠密方程组 主元素法 2迭代法:通过构造迭代方程组进行迭代 简单迭代法适用于大型稀疏方程组 ·赛德尔迭代法
线性方程组AX=B的一般数值解法： 1.直接法：通过有限步精确运算求得方程组的 精确解（存在舍入误差）。 • 消元法 • 主元素法 2.迭代法：通过构造迭代方程组进行迭代。 • 简单迭代法 • 赛德尔迭代法 适用于低阶稠密方程组 适用于大型稀疏方程组
第四章解线性方程组的迭代解法 §1向量范数、矩阵范数、谱半径及性质 1、向量范数:解析几何中二、三维向量的长度概念的推广 定义1对R中的任一向量X,按照一定规则确定一个数 与它对应,该数记为划,若X满足: ()X|0;‖X|=0当且仅当X=0;非负性 (2)对任意实数a,‖lcX|a|1·‖XY|;齐次性 (3)对任意向量X,Y∈R",‖X+Y|‖X‖+Y‖ 则称该实数Ⅻ.向量X的范数。 三角不等式
§1 向量范数、矩阵范数、谱半径及性质 第四章 解线性方程组的迭代解法 定义1 对Rn中的任一向量X，按照一定规则确定一个数 与它对应，该数记为||X||，若||X||满足： ( )|| || ; || || ; 1 0 0 0 X X X = = 当且仅当 ( ) , || || | | || ||; 2 对任意实数 X X = ( ) , , || || || || || || 3 n 对任意向量 X Y R X Y X Y + + 则称该实数||X||为向量X的范数。 1、向量范数：解析几何中二、三维向量的长度概念的推广 非负性 齐次性 三角不等式
P R中常用的范数:X1=∑|x i=1 Xl=x1|+1x2|+…+1xn=∑|x11-范数 X|2 2 C +xa +...+x 2 2—范数 =1 X|l=max{x1x2l…xn} maxl x 1≤i<n 范数 用记号·泛指任意一种范数
Rn中常用的范数： 1 1 2 1 || || | | | | | | | | n n i i X x x x x = = + + + = 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 || || n n i i X x x x x = = + + + = 1 2 1 || || max | |,| |, ,| | max | | n i i n X x x x x = = 1—范数 2—范数 ∞—范数 1 1 || || | | n p p p i i X x = = 用记号 || || 泛指任意一种范数
例1计算向量X=(1,-2,3),Y=(34,0)的各种范数 解‖X‖1=1+|-2|+|3=6 7 Xl2=yP2+(-2)+3=41l=5 Xl=max{1l-2,|3丹}=3|Y|l=4 说明: ①向量范数是衡量向量的长度(“大小”)的概 念 ②范数还可以率不向量间的距离以及向量的误差 绝对误差‖X-al‖‖X-al‖ 相对误差‖a‖ ‖X‖l
例1 计算向量X=(1,-2,3),Y=(3,4,0)的各种范数。 解 1 || || X 2 || || X || || X 1 || || Y 2 || || Y || || Y 说明： ① 向量范数是衡量向量的长度（“大小”）的概 念 ② 范数还可以表示向量间的距离以及向量的误差 • 绝对误差 • 相对误差 || || X − || || || || || || || || X X X − − 或 = + − + = | 1 | | 2 | | 3 | 6 2 2 2 = + − + = 1 ( 2) 3 14 = − = max | 1|,| 2 |,| 3 | 3 = 7 = 5 = 4
向量范数的性质: 性质1(连续性)设非负函数fx)叫1是R上的任一向量 范数,则f(X)关于X的任一分量x1x2…xn都连续。 性质2(等价性)对于R上的任意两种向量范数×|p, ×a,总存在正数c1和c2,使对R中一切X,都有 c1‖XsXl≤c2‖Xl 结论向量范数具有等价性,因此只需对一种范数进行讨 论即可,其它范数必有与之相似的性质
向量范数的性质： 性质1（连续性）设非负函数f(X)=||X||是Rn上的任一向量 范数，则f(X)关于X的任一分量x1 ,x2 ,...,xn都连续。 性质2（等价性）对于Rn上的任意两种向量范数||X||p , ||X||q，总存在正数c1和c2，使对Rn中一切X，都有 1 2 || || || || || || . p q p c X X c X 结论 向量范数具有等价性，因此只需对一种范数进行讨 论即可，其它范数必有与之相似的性质
2、矩阵范数(矩阵的“大小”) 定义2设A为n阶方阵,若对应的非负实数A满足: (1)‖A|0;‖A‖|=0当且仅当A=0; (2)对任意实数a,‖aA|H=a|·A|; (3)对任意向量A,B∈R,‖A+B‖⊥A‖+‖B| (4)对任意向量A,B∈R"”,‖AB|S‖A‖‖B‖ 则称该实数A.矩阵A的范数
定义2 设A为n阶方阵，若对应的非负实数||A||满足： ( )|| || ; || || ; 1 0 0 0 A A A = = 当且仅当 ( ) , || || | | || ||; 2 对任意实数 A A = ( ) , , || || || || || ||; 3 n n A B R A B A B 对任意向量 + + 则称该实数||A||为矩阵A的范数。 2、矩阵范数 ( ) , , || || || || || || 4 n n A B R AB A B 对任意向量 （矩阵的“大小”）
矩阵范数和向量范数的相容性 设‖Xll.R"中的向量范数,‖A为R中的 矩阵范数,如果对于任意的X与A,满足 I AX las‖Al‖Xla 则称矩阵范数Al和向量范数‖Xll相容 注意:定义一种矩阵范数时,应使它与向量范数相容
设 为 中的向量范数， 为 中的 矩阵范数，如果对于任意的X与A，满足 || || n X R || || n n A R || || || || || || AX A X 矩阵范数和向量范数的相容性 则称矩阵范数 || || A 和向量范数 || || X 相容。 注意：定义一种矩阵范数时，应使它与向量范数相容
定理1设在R中给定了一种向量范数,对任一n阶 方阵A,令 A|=max‖AX‖ IX= 则由此定义的‖‖是一种矩阵范数,并且它与所给 定的向量范数相容。 称此矩阵范数为从属于给定向量范数的矩阵范数、矩阵 的算子范数或由向量导出的矩阵范数。 算子范数的一个必要条件:‖I|=1
定理1 设在 中给定了一种向量范数，对任一n阶 方阵A，令 则由此定义的 是一种矩阵范数，并且它与所给 定的向量范数相容。 n R || || 1 || || max || || X A AX = = || || 称此矩阵范数为从属于给定向量范数的矩阵范数、矩阵 的算子范数或由向量导出的矩阵范数。 算子范数的一个必要条件： || || . I = 1
Rn×n中常用的范数: 0—范数|A=max∑|an1|行范数 范数‖A1=max ∑lan|列范数 j i=1 算子范数 2—范数‖A4|2=√n、(4A)谱范数 F一范数 I=√n F (Frobenius) 1 SIAF.X
R n × n中常用的范数： 1 1 1 || || max | | n ij j n i A a = 1 —范数 = 2 —范数 ∞ —范数 2 max || || ( ) A A A = 1 1 || || max | | n ij i n j A a = = 列范数 行范数 F —范数 (Frobenius) 2 , 1 || || n F ij i j A a = = || || F I n = 算子范数 2 2 || || || || || || AX A X F 谱范数
例2计算矩阵A 的各种范数 解(1)4|=max∑|an|=max{+1,2+3}=5, I≤n (2川A=max∑|an|=max1+2,1+3}=4, ≤ (3AA「55 元-5-5 九I-AA|= 510 5元-10 1≈13.091,12≈1.910, x2-154+25=0, Al2=√am(A4)≈√3.091=3618, (4=、∑=√+1++1=15 l
例2 计算矩阵 的各种范数。 解 1 1 2 3 A − = 1 1 1 (2) || || max | | n ij j n i A a = = 2 max = || || ( ) A A A 1 1 (1) || || max | | n ij i n j A a = = = + + = max{1 2,1 3} 4, 5 5 (3) , 5 10 A A = 2 5 5 | | 5 10 15 25 0, I A A − − − = − − = − + = 1 2 13.091, 1.910, = 13.091 3.618, = + + = max{1 1, 2 3} 5, 2 , 1 (4) || || n F ij i j A a = = = + + + = 1 1 4 9 15
