《线性代数》第13讲 特征值和特征向量矩阵的对角化

线性代数第13讲 特征值和特征向量矩阵的对角化 2021/2/20

2021/2/20 1 线性代数第13讲 特征值和特征向量 矩阵的对角化

5特征值和特征向量矩阵的 对角化 5.1矩阵的特征值和特征向量相 似矩阝 2021/2/20

2021/2/20 2 5 特征值和特征向量 矩阵的 对角化 5.1 矩阵的特征值和特征向量 相 似矩阵

5.1.1特征值和特征向量的基本概念 定义1设A为复数域K上的n阶矩阵,如果存在 数λ∈K和非零的n维向量,使得 AX=X (5.1) 就称是矩阵4的特征值,X是A的属于(或对应 于)特征值λ的特征向量 注意:特征向量X≠0;特征值问题是对方阵而 言的,本章的矩阵如不加说明,都是方阵 3 2021/2/20

2021/2/20 3 5.1.1 特征值和特征向量的基本概念 定义 1 设A为复数域K上的n阶矩阵, 如果存在 数lK和非零的n维向量X, 使得 AX=lX, (5.1) 就称l是矩阵A的特征值, X是A的属于(或对应 于)特征值l的特征向量. 注意: 特征向量X0; 特征值问题是对方阵而 言的, 本章的矩阵如不加说明, 都是方阵

AX-X (5.1) 根据定义,n阶矩阵A的特征值,就是齐次线性 方程组 (-A)X=0 有非零解的值.即满足方程 det(2-A=0 (5.2) 的λ都是矩阵A的特征值.因此,特征值是的 多项式det(1-4)的根 2021/2/20

2021/2/20 4 AX=lX, (5.1) 根据定义, n阶矩阵A的特征值, 就是齐次线性 方程组 (lI-A)X=0 有非零解的l值. 即满足方程 det(lI-A)=0 (5.2) 的l都是矩阵A的特征值. 因此, 特征值是l的 多项式det(lI-A)的根

AX=X 5.1) det(nr-A=0 (52) 定义2设n阶矩阵A=[a],则 f()=det(a-a) (5.3) 称为矩阵A的特征多项式,A-A称为A 的特征矩阵,(5,2)式称为A的特征方程 5 2021/2/20

2021/2/20 5 AX=lX, (5.1) det(lI-A)=0 (5.2) 定义2 设n阶矩阵A=[aij], 则 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) det( ) (5.3) n n n n nn f I A a a a a a a a a a l l l l l = - - - - - - - = - - - 称为矩阵A的特征多项式, lI-A称为A 的特征矩阵, (5.2)式称为A的特征方程

显然,n阶矩阵A的特征多项式是的n次多项 式.特征多项式的重根也称为k重特征值.当 n≥5时,特征多项式没有一般的求根公式,即使 是三阶矩阵的特征多项式,一般也难以求根. 所以求矩阵的特征值一般要采用近似计算的 方法,它是计算方法课中的一个专题 在作业和考试中,一般是三阶行列式求特征值 般用0,1,-1,2,-2进行尝试先得到一个根,则 剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解 6 2021/2/20

2021/2/20 6 显然, n阶矩阵A的特征多项式是l的n次多项 式. 特征多项式的k重根也称为k重特征值. 当 n5时, 特征多项式没有一般的求根公式, 即使 是三阶矩阵的特征多项式, 一般也难以求根, 所以求矩阵的特征值一般要采用近似计算的 方法, 它是计算方法课中的一个专题. 在作业和考试中, 一般是三阶行列式求特征值, 一般用0,1,-1,2, -2进行尝试先得到一个根, 则 剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解

例1求矩阵-110 A 30 0 2 的特征值和特征向量. 解矩阵A的特征方程为 2+1-1 0 det(I-A)=42-30|=0 化简得(4-1)(2-1)2=0,A的特征值为1=2, 2=1(二重特征值) 7 2021/2/20

2021/2/20 7 例1 求矩阵 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A   - = -      1 1 0 det( ) 4 3 0 0. 1 0 2 I A l l l l + - - = - = - - 的特征值和特征向量. 解 矩阵A的特征方程为 化简得(l-1)(l-1)2=0, A的特征值为l1=2, l2=1(二重特征值)

110 A=-430 当1→2时,由(41-4)X=0,即 3-10 100x2 000 得其基础解系为X1=(0,0,1),因此 k1X1(k1≠0为常数)是A的对应于A1=2的 特征向量 8 2021/2/20

2021/2/20 8 当l1=2时, 由(l1 I-A)X=0, 即 1 2 3 3 1 0 0 4 1 0 0 , 1 0 0 0 x x x     -       - =             -   得其基础解系为X1=(0,0,1)T , 因此 k1X1 (k10为常数)是A的对应于l1=2的 特征向量. 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A   - = -     

110 A=-430 102 当2=1时,由(2-A)X=0,即 2-10 4-20 10-1 000 得其基础解系为X2=(,2,-1),因此 k2X2(k2≠0为常数)是A的对应于22=1的 特征向量. 9 2021/2/20

2021/2/20 9 当l2=1时, 由(l2 I-A)X=0, 即 1 2 3 2 1 0 0 4 2 0 0 , 1 0 1 0 x x x     -       - =             - -   得其基础解系为X2=(1,2,-1)T , 因此 k2X2 (k20为常数)是A的对应于l2=1的 特征向量. 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A   - = -     

例2主对角元为a1,a2,…,amn的对角阵A或上 (下)三角阵B的特征多项式是 MA-B=(元-a1)(-a2).(x-am) 故A,B的n个特征值就是n个主对角元 2021/2/20

2021/2/20 10 例2 主对角元为a11,a22,...,ann的对角阵A或上 (下)三角阵B的特征多项式是 |lI-A|=|lI-B|=(l-a11)(l-a22)...(l-ann), 故A,B的n个特征值就是n个主对角元