《线性代数》 正交矩阵及其性质

线性代数第12讲 正交矩阵及其性质 2021/2/20

2021/2/20 1 线性代数第12讲 正交矩阵及其性质

定义6设A为n阶方阵,如果AZA=L,就称A为正 交矩阵 定理4A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量组为P的一组标准正交基 正设 ain A a an n2 按列分块为[ax1c2,,nl 2021/2/20

2021/2/20 2 定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I, 就称A为正 交矩阵. 定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量组为Rn的一组标准正交基. 证 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a     =         按列分块为[a1 ,a2 ,...,an ]

于是 al A A 1:2:n an a an a 因此4A=/的充分必要条件是 aa1=(ax12a1)=1,i=1,2,…,n 且aa1=(a,a,)=0,j≠,j=1,2,,n 即A的向量组{a1,a2,…,an} 为R的一组标准正交基. 3 2021/2/20

2021/2/20 3 于是   1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 , , , T T T T n T T T T T n n T T T T n n n n n A A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a         = =                 . { , , , } ( , ) 0, , , 1,2, , . ( , ) 1, 1,2, , ; 1 2 为 的一组标准正交基 即 的向量组 且 n n j i j T i i i i T i R A j i i j n i n a a a a a a a a a a a    = =  = = = = 因此ATA=I的充分必要条件是

定理5设A,B皆是n阶正交矩阵,则 (i)detA=1或-1;(i)A-1=4,(i)A(即A1)也是 正交矩阵;(i)AB也是正交矩阵 证(i)det(4Z4)=det()=1-(det(4)2,所以成立, (i)74=,当然就是4l=4, (i)(4)=A4=A4-1=l,所以4(即A也是正 交矩阵,从而A的行向量组也是R的一组标准 正交基, (iV)由(AB)(AB)=B(A)B=BB=,即得AB也 是正交矩阵 2021/2/20

2021/2/20 4 定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT ; (iii) AT (即A-1 )也是 正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵. 证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2 , 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT , (iii) (AT ) TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT (即A-1 )也是正 交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标准 正交基, (iv) 由(AB) T (AB)=BT (ATA)B=BTB=I, 即得AB也 是正交矩阵

定理6若列向量X,Y∈R在n阶正交矩阵A作用 下变换为AX,AY∈R,则向量的内积与长度及 向量间的夹角都保持不变,即 (Ax,4Y)(x,,1, RAX,AYX,Yi 证(AX,A=(4X)(4)=X(44)y =X=(x,) 当F=(时,有(AX,AX)=(X,X,即AX=X1,因此 COS(AX, AY (A, AY(X,Y coS(X, r) 1AX‖AY|X‖Y 所以A巧与AY夹角与XY的夹角相同 5 2021/2/20

2021/2/20 5 定理6 若列向量X,YRn在n阶正交矩阵A作用 下变换为AX, AYRn , 则向量的内积与长度及 向量间的夹角都保持不变, 即 (AX,AY)=(X,Y), |AX|=|X|, {AX,AY}={X,Y}. 证 (AX,AY)=(AX) T (AY)=XT (ATA)Y =XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因此 ( , ) ( , ) cos , cos , , | || | | || | AX AY X Y AX AY X Y AX AY X Y   = = =   所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同

4.3线性空间的定义及简单性质 2021/2/20

2021/2/20 6 4.3 线性空间的定义及简单性质

定义数域F上的线性空间V是一个非空集合, 其上定义有加法a+6和数乘c的运算,其中 a,/B∈V,λ∈F,V对两种运算封闭且满足性质 Va,B,∈V,Vk,l∈F (1)a+B-=+a (2)(aB)+=ax+(6+) (3)3∈V,a+e=a,称为的零元素 (4)彐—a∈V,a+(-a)=O,-a称为a的负元素 (5)1aa (6)k(la)=(k)a ((k+lakota (8)k(atB=katkB 7 2021/2/20

2021/2/20 7 定义 数域F上的线性空间V是一个非空集合, 其上定义有加法a+b和数乘la的运算, 其中 a,bV, lF, V对两种运算封闭且满足性质: a,b,gV, k,lF (1) a+b=b+a (2) (a+b)+g=a+(b+g) (3) qV, a+q=a, q称为V的零元素 (4) -aV, a+(-a)=q, -a称为a的负元素 (5) 1a=a (6) k(la)=(kl)a (7) (k+l)a=ka+la (8) k(a+b)=ka+kb

F为实(复)数域时,称为实(复)线性空间,简称 实(复)空间 线性空间中元素也常称为向量,线性空间中 的加法和数乘运算称为线性运算 然,三维几何向量空间和R都是线性空间的 具体模型 8 2021/2/20

2021/2/20 8 F为实(复)数域时, 称为实(复)线性空间, 简称 实(复)空间. 线性空间V中元素也常称为向量, 线性空间中 的加法和数乘运算称为线性运算. 显然, 三维几何向量空间和Rn都是线性空间的 具体模型

例1数域F上的全体多项式x],对通常的多项 式加法和数乘多项式的运算构成数域F上的 线性空间.所有次数小于n的多项式,也构成数 域F上的线性空间,记作Fx 例3区间[a,b上的全体实连续函数,对通常的 函数加法和数与函数的乘法运算构成实数域 上的线性空间,记作C[a,b]在(a,b)上全体阶 导数连续的实函数Cka,b)对同样的加法和数 乘运算也构成实线性空间 9 2021/2/20

2021/2/20 9 例1 数域F上的全体多项式F[x], 对通常的多项 式加法和数乘多项式的运算构成数域F上的 线性空间. 所有次数小于n的多项式, 也构成数 域F上的线性空间, 记作F[x]n 例3 区间[a,b]上的全体实连续函数, 对通常的 函数加法和数与函数的乘法运算构成实数域 上的线性空间, 记作C[a,b]. 在(a,b)上全体k阶 导数连续的实函数Ck (a,b)对同样的加法和数 乘运算也构成实线性空间

由线性空间的定义可证下列性质: ()线性空间的零元素是唯一的 i)线性空间中任一元素a的负元素是唯一的 (i)若a,B∈V,k∈F,则有 k(a-B)=ka-kB (h-Dakala (ⅳV)k=,k(B)=(kB,0a=,(-1)a=(-(a),特 别,(-1)a=-a,以后,(la)简记作la (V)设c∈V,k∈F,若ka=B,则k=0或a= 2021/2/20

2021/2/20 10 由线性空间的定义可证下列性质: (i) 线性空间的零元素是唯一的. (ii) 线性空间中任一元素a的负元素是唯一的. (iii) 若a,bV, kF, 则有 k(a-b)=ka-kb (k-l)a=ka-la (iv) kq=q, k(-b)=-(kb), 0a=q, (-l)a=(-(la), 特 别, (-1)a=-a, 以后, -(la)简记作-la. (v) 设aV, kF, 若ka=q, 则k=0或a=q