第六章数值积分与数值微分 §1数值积分 问题:用计算机计算f(x)x或f(x,y)d的值。 解决办法: ()Jf(x)=im∑f(5A≈∑f(5),Ax (2)g(x)d[P(x)+Rx)a∫P(x
第六章 数值积分与数值微分 §1 数值积分 问题：用计算机计算 ( ) b a f x dx ( , ) D f x y dxdy 或 的值。 解决办法： ( ) ( ) 1 b a f x dx 0 lim ( ) n i i i f x → = = 0 ( ) n i i i f x = ( ) ( ) 2 b a f x dx ( ) ( ) b a = + P x R x dx ( ) b a P x dx
1、求积公式的形式与代数精度 ∫,∫(x)dc∑f(5),△≈∑f(x)△x i=0 b f(x)d=∫(·(b-a)a<5<b a+b ≈∫(a)·(b-a)≈∫(b)·(b-a)≈∫(--)·(b-a) 2 a+b ∫(a)+∫(b) f(a)+2∫()+f(b) (b-a) (b-a) 综合上述形式,希望建立如下形式的求积公式: ∫f(x)≈∑4f(x) 0
1、求积公式的形式与代数精度 0 ( ) ( ) n b i i a i f x dx f x = 0 ( ) . n i i i f x x = ( ) ( ) ( ) b a f x dx f b a a b = − − f a b a ( ) ( ) − f b b a ( ) ( ) 2 ( ) ( ) a b f b a + − 2 ( ) ( ) ( ) f a f b b a + − 2 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) a b f a f f b b a + + + − 0 ( ) ( ) n b i i a i f x dx A f x = 综合上述形式，希望建立如下形式的求积公式：
定义如果某个求积公式对于次数≤m的所有多项式都精确 成立,但对某一个m+1次多项式不成立,则称该求积 公式具有m次代数精度 说明:只要验证求积公式对于∫(x)=1,x,…,x"都准确 成立即可,即 ∑ b-a ldx= b ∑4x=Jxdk i=0 i=0 2 ∑4x"=」m b-a xdx i=0 +
定义 如果某个求积公式对于次数≤m的所有多项式都精确 成立，但对某一个m+1次多项式不成立，则称该求积 公式具有m次代数精度。 说明：只要验证求积公式对于 都准确 成立即可，即 ( ) , , , 1 m f x x x = 0 1 , n b i a i A dx b a = = = − 2 2 0 2 , n b i a i b a A x xdx = − = = , 0 1 . n m m b m m i a i b a A x x dx = m − = = +
例1判断求积公式,f(x)d≈f(-/3)+f(3/3) 的代数精度。 解:分别代入f∫(x)=1,x,x,进行验证: 当f(x)=,∫,1d=2=1+1=f(√3/)+f(√33) 当∫(x)=x,x=0=-√3+5月3=(-√+f(5 当f(x)=x2,x=23=13+13=(-5)+15 当f(x)=x,[x=0=(-59+9y=1(-53+153) 当/(x)=x;,[xd=25+y+(的=+5+53 故此求积公式的代数精度为3
例1 判断求积公式 的代数精度。 1 1 f x dx f f ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 − − + 解：分别代入 进行验证： 2 f x x x ( ) , , , =1 1 1 1 2 1 1 3 3 3 3 dx f f ( ) ( ); − = = + = − + 当 f x( ) , = 1 1 1 xdx f f 0 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ); − = = − + = − + 当 f x x ( ) , = 1 2 1 x dx f f 2 3 1 3 1 3 3 3 3 3 ( ) ( ); − = = + = − + 当 2 f x x ( ) , = 1 3 3 3 1 x dx f f 0 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ); − = = − + − = − + 当 3 f x x ( ) , = 1 4 4 4 1 x dx f f 2 5 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ). − = − + − = − + 当 4 f x x ( ) , = 故此求积公式的代数精度为3
2、插值型数值积分——牛顿一柯特斯求积公式 已知数据点列(x;y)i=0,1,…,n,可以得到 Lagrange插值多项式Ln(x),满足∫(x)=L(x)+R(x) 于是 f(x)c=Ln(x)+」,R(x)h 由于 f(x)≈Ln(x), 故有 f(x)d≈.Ln(x)dt
2、插值型数值积分——牛顿－柯特斯求积公式 已知数据点列 ( , ) , , , , 0 1 i i x y i n = 可以得到 Lagrange插值多项式 ( ), L x n 满足 ( ) ( ) ( ). n n f x L x R x = + 于是 ( ) ( ) ( ) b b b n n a a a f x dx L x dx R x dx = + 由于 ( ) ( ), n f x L x 故有 ( ) ( ) b b n a a f x dx L x dx
∫nf(x)d≈JL(x)t b ∑a(x)f(x)a ∑| b a1(x)dtx∫(x1) i=0 ∫R,(xk=」 ∫m+() n+1 (x) a (n+ 1)
0 ( ) ( ) n b i i a i a x f x dx = = 0 ( ) ( ) n b i i a i a x dx f x = = = Ai ( ) ( ) b b n a a f x dx L x dx ( ) b n a R x dx 1 1 1 ( )( ) ( ) ( )! n b n a f x dx n + = + +
特别地,对积分区间[a,b]作如下等距节点划分: x+ih i=0.1 b 记 (x)dc b-a 1pb(x-x)…(x-x)(x-x+)…(x-xn) b-an(x2-x)…(x;-x12)x2-x1)…(x2-xn) 1rbt(t-1)…(t-i-1)(x-i+1)…(t-n) x=a+ th 1(i-i+1)…(i-n) (-1) t(t-1)…(t-i-1)(x-i+1)…(t-n)dt n·j、(n-j)
特别地，对积分区间[a,b]作如下等距节点划分： ( ) 1 ( ) b n i i a c a x dx b a = − 记 0 0 1, , , , i x x ih i n = + = 0 1 1 0 1 1 ( ) 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) b n i i n i a i i i i i i n x x x x x x x x c dx b a x x x x x x x x − + − + − − − − = − − − − − 1 1 1 1 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) b a t t t i x i t n x a th dt n i i i i n − − − − + − = + − + − 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) !( )! n j b a t t t i x i t n dt n j n j − − = − − − − + − −
b b (-1) b t(t-1)…(t-i-1)(x-i+1)…(t-n)l n·j(n-j) b f(x)d≈(b-a∑cf(x) 牛顿一柯 i=0 特斯公式 其中的c是与a,b,h都无关的常数,且有课本P173表63 可查
( ) 1 ( ) b n i i a c a x dx b a = − 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n b n i i a i f x dx b a c f x = 则 − 其中的 是与a,b,h都无关的常数，且有课本P173表6.3 可查。 ( ) n i c 牛顿－柯 特斯公式 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) !( )! n j b n i a c t t t i x i t n dt n j n j − − = − − − − + − −
n=1时, f(x)d≈(b-a)f(a)+∫(b) 2 梯形公式 n=2时, 广(x)(-o)/(+(+b)+/(b) Simpson公式
1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b a f x dx b a f a f b − + n =1 时， ——梯形公式 n = 2 时， ——Simpson公式 1 4 1 6 6 2 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a a b f x dx b a f a f f b + − + +
n=3时, 32a+b、3a+2b1 f(x)ds(b-)。f(a)+。f(,)+ )+f(b) 8°3 838 3/8公式 4时, 1630+b22a+2b16a+3b7 f(x)(b-a)f()+ +,f()+ )+一f(b) 90 445″490 —柯特斯公式
1 3 2 3 2 1 8 8 3 8 3 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a a b a b f x dx b a f a f f f b + + − + + + n = 3 时， ——3/8公式 n = 4 时， ——柯特斯公式 7 16 3 2 2 2 16 3 7 90 45 4 15 4 45 4 90 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a a b a b a b f x dx b a f a f f f f b + + + − + + + +