《线性代数》第4讲 2.2 矩阵的加法数量乘法乘法 2.3 矩阵的转置、对称矩阵

线性代数第4讲 2.2矩阵的加法数量乘法 乘法 2021/2/20

2021/2/20 1 线性代数第4讲 2.2 矩阵的加法 数量乘法 乘法

定义1如果两个矩阵A=[an和B=[bn]的行数和 列数分别相等,且各对应元素也相等,即an=b (=1,2,,m;)=1,2,,n),就称A和B相等,记作 A=B 例如由 x-1-8 30 2 24 立即可得x=3,y=2,z=-8 2021/2/20

2021/2/20 2 定义1 如果两个矩阵A=[aij]和B=[bij]的行数和 列数分别相等, 且各对应元素也相等, 即aij =bij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n), 就称A和B相等, 记作 A=B. 例如由 1 8 3 1 0 4 0 2 4 x z y     − − − =         立即可得x=3, y=2, z=−8

应注意矩阵与行列式的本质区别行列式是 个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值 而矩阵是一个数表,它的行数和列数也可以不 同.对于n阶方阵,虽然有时也要算它的行列式 记作A或detA,但是方阵A和方阵A的行列式 是不同的概念, 当detA=0(此时A不一定是零矩阵)时,称A为奇 异矩阵; 当detA≠0时,称A为非奇异矩阵 3 2021/2/20

2021/2/20 3 应注意矩阵与行列式的本质区别. 行列式是一 个算式, 一个数字行列式经过计算可求得其值, 而矩阵是一个数表, 它的行数和列数也可以不 同. 对于n阶方阵, 虽然有时也要算它的行列式, 记作|A|或det A, 但是方阵A和方阵A的行列式 是不同的概念, 当det A=0(此时A不一定是零矩阵)时, 称A为奇 异矩阵; 当det A0时, 称A为非奇异矩阵

2.2.1矩阵的加法 定义2设A=[a和B=[bn是两个m×n矩阵,规定 a1,+b +b +b 2 a1,+b an t a1.+b A+B=a,+b, 22 a,+b a+ a+b 2 m2 2.12) 并称A+B为A与B之和 只有行数与列数都相同的矩阵(即同型 矩阵)才能相加,且同型矩阵之和仍是 同型矩阵 2021/2/20

2021/2/20 4 2.2.1 矩阵的加法 定义2 设A=[aij]和B=[bij]是两个mn矩阵, 规定 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 [ ] (2.12) n n n n ij ij m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b a b   + + +   + + + + = + =         + + + 并称A+B为A与B之和. 只有行数与列数都相同的矩阵(即同型 矩阵)才能相加, 且同型矩阵之和仍是 同型矩阵

矩阵的加法满足规律: ()交换律:A+B=B+A; i)结合律:(A+B)C=A+(B+C); i)零矩阵满足:A+0=4,其中0与4同型; i存在矩阵(-4)满足A+(4)=0,如amn 2 A 22 n 2 mn 称(-4)为4的负矩阵 还可定义矩阵的减法A-B=A+(-B 5 2021/2/20

2021/2/20 5 矩阵的加法满足规律: (i)交换律: A+B=B+A; (ii)结合律: (A+B)+C=A+(B+C); (iii)零矩阵满足:A+0=A, 其中0与A同型; (iv)存在矩阵(−A)满足A+(−A)=0, 如A=[aij]mn 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a   − − −   − − − − =         − − − 称(−A)为A的负矩阵. 还可定义矩阵的减法 A−B=A+(−B)

2.2.2矩阵的数量乘法(简称数乘) 定义3设是数域F中的任意一个数,A[a是 mX矩阵,规定 k kA=ka= 2 2n (2.13 ●番 2 k 并称这个矩阵为k与A的数量乘积 6 2021/2/20

2021/2/20 6 2.2.2 矩阵的数量乘法(简称数乘) 定义3 设k是数域F中的任意一个数, A=[aij]是 一个mn矩阵, 规定 11 12 1 21 22 2 1 2 [ ] ,(2.13) n n ij m m mn ka ka ka ka ka ka kA ka ka ka ka     = =         并称这个矩阵为k与A的数量乘积

注意,数k乘一个矩阵A,需要把数k乘矩阵A的 每一个元素,这与行列式的性质一个数乘行列 式等于这个数乘行列式的一行或者一列,是不 同的 矩阵的数量乘法满足规律: 1A=A: 11)(Kl)A-K(lA) (i)(k+D)4=kA+l4; iv)K(A+B)=kA+kB 其中1,,是数域F中的数 7 2021/2/20

2021/2/20 7 注意, 数k乘一个矩阵A, 需要把数k乘矩阵A的 每一个元素, 这与行列式的性质一个数乘行列 式等于这个数乘行列式的一行或者一列, 是不 同的. 矩阵的数量乘法满足规律: (i) 1A=A; (ii) (kl)A=k(lA); (iii) (k+l)A=kA+lA; (iv) k(A+B)=kA+kB; 其中1,k,l是数域F中的数

2.2.3矩阵的乘法 定义4设A是一个m×xn矩阵,B是一个nx矩阵 12 12 2n B n 2 mI b, b b 2 h m2 则A与B之乘积AB(记作C=[cn)是一个 mX矩阵,且 b,+ab+…+a.b ∑ ab.(2.14 k 8 2021/2/20

2021/2/20 8 2.2.3 矩阵的乘法 定义4 设A是一个mn矩阵, B是一个ns矩阵 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 , n n n n m m mn m m mn a a a b b b a a a b b b A B a a a b b b         = =                 1 1 2 2 1 . (2.14) n ij i j i j in nj ik kj k c a b a b a b a b = = + + + =  则A与B之乘积AB(记作C=[cij])是一个 ms矩阵, 且

根据矩阵乘法定义,可把AB=C形象地表示 成行 n列 s列 s列 行B 第i行 第j列 其中矩阵C的第i第冽元素c,是A的 第i行n个元素与B的第列相应的n个 元素分别相乘的乘积之和 9 2021/2/20

2021/2/20 9 根据矩阵乘法定义, 可把AB=C形象地表示 成 其中矩阵C的第i行第j列元素cij, 是A的 第i行n个元素与B的第j列相应的n个 元素分别相乘的乘积之和. m 行 n列 s列 n 行 = s列 m 行 A B C 第i行 第j列 cij

例1设 0-4 113 B 22 057 060 AB=-80 10-10 注意BA没有意义(不可乘) 2021/2/20

2021/2/20 10 例1 设 0 4 1 0 1 2 1 2 1 1 3 0 , 3 2 0 5 7 6 1 1 A B   −   −     = − =       − −     −     − 1 0 8 0 10 10 AB     = −      − − 则 注意BA没有意义(不可乘)