《线性代数》第11讲 向量空间与线性变换

线性代数第11讲 向量空间与线性变换 2021/2/20

2021/2/20 1 线性代数第11讲 向量空间与线性变换

4.1R的基与向量关于基的坐标 2021/2/20

2021/2/20 2 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标

R中的n个单位向量 61=[1,0,0,…,0 62=[0,1,0,…,0 E2=[0,0,0,…,1 是线性无关的 个m阶实矩阵4=[a1m如果≠0,则A的n个 行向量和n个列向量也都是线性无关的此外 R中任何n+1个向量都是线性相关的,因此Rn 中任一向量c都可用中n个线性无关的向量 来表示,且表示法唯一.由此给出基和坐标的 概念 3 2021/2/20

2021/2/20 3 Rn中的n个单位向量 e1=[1,0,0,...,0] e2=[0,1,0,...,0] ... en=[0,0,0,...,1] 是线性无关的 一个n阶实矩阵A=[aij]nn , 如果|A|0, 则A的n个 行向量和n个列向量也都是线性无关的. 此外, Rn中任何n+1个向量都是线性相关的, 因此Rn 中任一向量a都可用Rn中n个线性无关的向量 来表示, 且表示法唯一. 由此给出基和坐标的 概念

定义1设有序向量组B={1,B2…,Bn}CRn,如果 B线性无关,则任给∈R有 a=a1B1+a2/2+…+anB, (4.1) 就称B是R的一组基(或基底),有序数组 (a1,a2…,an)是向量a关于基B(或说在基B下)的 坐标,记作 a2=[a1a2,,an或ag=[a1a2,…,an], 并称之为α的坐标向量 显然R的基不是唯一的,而a关于给定的基的 坐标是唯一的.以后把n个单位向量组成的基 称为自然基或标准基 2021/2/20

2021/2/20 4 定义1 设有序向量组B={b1 ,b2 ,...,bn}Rn , 如果 B线性无关, 则任给aRn有 a=a1b1+a2b2+...+anbn , (4.1) 就称B是Rn的一组基(或基底), 有序数组 (a1 ,a2 ,...,an )是向量a关于基B(或说在基B下)的 坐标, 记作 aB=[a1 ,a2 ,...,an ]或aB=[a1 ,a2 ,...,an ] T , 并称之为a的坐标向量. 显然Rn的基不是唯一的, 而a关于给定的基的 坐标是唯一的. 以后把n个单位向量组成的基 称为自然基或标准基

在三维几何向量空间R3中,k是一组标准基, R3中任一向量a可唯一地表示为 arity+zk 这里有序数组(xy,2)称为a在基i,k下的坐标 如果c的起点在原点,(xy2)就是c的终点P的 直角坐标.(以后常用R3中向量a与空间点P的 对应关系,对中的一些问题及其结论在 R3中作几何解释 5 2021/2/20

2021/2/20 5 在三维几何向量空间R3中, i,j,k是一组标准基, R3中任一向量a可唯一地表示为 a=xi+yj+zk, 这里有序数组(x,y,z)称为a在基i,j,k下的坐标. 如果a的起点在原点, (x,y,z)就是a的终点P的 直角坐标. (以后常用R3中向量a与空间点P的 一一对应关系, 对Rn中的一些问题及其结论在 R3中作几何解释)

为讨论方便,对向量及其坐标常采用列向量的 形式[a1a2,am1,则式子 a=a1B1+a2/2+…+anB (4.1) 可表示为分块矩阵相乘的形式 C =[A,B2,…,Bn (4.2) 6 2021/2/20

2021/2/20 6 为讨论方便, 对向量及其坐标常采用列向量的 形式[a1 ,a2 ,...,an ] T , 则式子 a=a1b1+a2b2+...+anbn , (4.1) 可表示为分块矩阵相乘的形式 1 2 1 2 [ , , , ] (4.2) n n a a a a b b b     =      

设B1={a1,a2…,an}和B2={m12…,n}是R的两 组基,则n,m2,…,n也都能被B1唯一地表示 n1=a101+a211+…+an1Cn and t a +…+a、C (4.3) n =aina+ t.+aman 可用分块矩阵表示为 7,2…,n]=[a1 2 (4.5) 7 2021/2/20

2021/2/20 7 设B1={a1 ,a2 ,...,an}和B2={h1 ,h2 ,...,hn}是Rn的两 组基, 则h1 ,h2 ,...,hn也都能被B1唯一地表示 1 11 1 21 1 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 (4.3) n n n n n n n nn n a a a a a a a a a h a a a h a a a h a a a  = + + +  = + + +    = + + + 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 [ , , , ] [ , , , ] (4.5) n n n n n n nn a a a a a a a a a h h h a a a     =         可用分块矩阵表示为

定义2设R的两组基B1={a1,a2,,n}和 B2={n,72,…,n}满足 12 n,n2…n=ax,a2…2Onl:?z 2n 或 [7,2…,n]=[a1,2 JA (46) 矩阵A称为旧基B到新基B2的过渡矩阵 过渡矩阵一定是可逆的 8 2021/2/20

2021/2/20 8 定义2 设Rn的两组基B1={a1 ,a2 ,...,an}和 B2={h1 ,h2 ,...,hn}满足 矩阵A称为旧基B1到新基B2的过渡矩阵. 过渡矩阵一定是可逆的. 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 [ , , , ] [ , , , ] [ , , , ] [ , , , ] (4.6) n n n n n n nn n n a a a a a a a a a A h h h a a a h h h a a a     =         = 或

定理2设向量a在两组基B1={a1,a2,…,m}和 B2={7,n2,mn}下的坐标向量分别为 xxix,x,]TFHy=[y1,22,V 1 基B到基B2的过渡矩阵为A,则 fyx或y=4 证由已知条件,有(46)式成立,且 ax,art, C+.tuna =y171+y22+…+Vn17 故 9 2021/2/20

2021/2/20 9 定理2 设向量a在两组基B1={a1 ,a2 ,...,an}和 B2={h1 ,h2 ,...,hn}下的坐标向量分别为 x=[x1 ,x2 ,...,xn ] T和y=[y1 ,y2 ,...,yn ] T . 基B1到基B2的过渡矩阵为A, 则 Ay=x 或 y=A-1x. 证 由已知条件, 有(4.6)式成立, 且 a=x1a1+x2a2+...+xnan =y1h1+y2h2+...+ynhn , 故

722…,mn]: y y ([ JA a1,a2…,n4 n 由于a在基a1,a2,an下的坐标是唯一的,所以 yx或y=41lx 2021/2/20

2021/2/20 10 由于a在基a1 ,a2 ,...,an下的坐标是唯一的, 所以 Ay=x 或 y=A-1x. 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 [ , , , ] [ , , , ] ([ , , , ] ) [ , , , ] n n n n n n n n x y x y x y y y y y A A y y a a a a h h h a a a a a a         = =                         = =                    