李娇娇 jiaojiaolee@163.com 华南农业大学理学院数学系
华南农业大学理学院数学系 李娇娇 jiaojiaolee@163.com
教材:《数值分析》 史万明、杨骅飞等主编 北京理工大学出版社 参考资料:《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义主编 清华大学出版社 学时:理论课时54,实验课时18 学习内容: 1.绪论(第1章) 2.方程(组)的数值解法(第2、3、4章) 3.插值和数值逼近(第5、8章) 4.数值积分和数值微分(第6章) 5.常微分方程的数值解法(第7章)
◼ 教材：《数值分析》 史万明、杨骅飞等主编 北京理工大学出版社 ◼ 参考资料：《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义主编 清华大学出版社 ◼ 学时：理论课时54， 实验课时18 ◼ 学习内容： 1. 绪论（第1章） 2. 方程（组）的数值解法（第2、3、4章） 3. 插值和数值逼近（第5、8章） 4. 数值积分和数值微分（第6章） 5. 常微分方程的数值解法（第7章）
第一章绪论与数值计算中的误差 §1绪论 1、数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数学科学 的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法 及其理论与软件实现。 数值分析所研究的问题,是为求解各类数学问题去构造算 法、分析算法和使用算法 用计算机解决科学计算问题的过程: 数学问题口数学模型口数值计算方法 (应用数学) (计算数学) 上机计算求解 程序设计
第一章 绪论与数值计算中的误差 数值分析所研究的问题，是为求解各类数学问题去构造算 法、分析算法和使用算法。 用计算机解决科学计算问题的过程： 数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学 的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法 及其理论与软件实现。 1、数值分析的研究对象 数学问题 上机计算求解 程序设计 数学模型 数值计算方法 （应用数学） （计算数学） §1 绪论
2、数值分析的特点 ①面向计算机,根据计算机的特点提供切实可行的有效算法; (加、减、乘、除、逻辑) ②有可靠的理论分析,能任意逼近并达到精度要求,对近似 算法要保证收敛性和数值稳定性,对误差进行分析; ③需要有好的计算复杂性(时间和空间); ④需要进行数值试验,以证明算法是行之有效的
2、数值分析的特点： ①面向计算机，根据计算机的特点提供切实可行的有效算法； （加、减、乘、除、逻辑） ②有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似 算法要保证收敛性和数值稳定性，对误差进行分析； ③需要有好的计算复杂性（时间和空间）； ④需要进行数值试验，以证明算法是行之有效的
§2数值计算中的误差与算法稳定性 1、数值计算中的误差来源与分类 用计算机解决科学计算问题的过程: 观测误差 模型误差 截断误差 数学间题→数学模型→数值计算方法 (应用数学) (计算数学) 上机计算求解 白 程序设计 舍入误差 总误差=截断误差+舍入误差 误差分配原则:截断误差=舍入误差
§2 数值计算中的误差与算法稳定性 1、数值计算中的误差来源与分类 用计算机解决科学计算问题的过程： 观测误差 模型误差 截断误差 舍入误差 总误差＝截断误差＋舍入误差 数学问题 上机计算求解 程序设计 数学模型 数值计算方法 （应用数学） （计算数学） 误差分配原则：截断误差＝舍入误差
2、绝对误差和相对误差: 设A为精确值,a为A的近似值,称△A=a-A为a的绝对 误差( absolute error),简称误差(eror) △>0时称为正绝对误差,否则称为负绝对误差。 称根据测量误差或计算情况可以估计出的绝对误差的上 界E为a的绝对误差限(界)或误差限(界)( limit of error), 即|△a-A|E或a-E<A<a+E,A=a±E 问题:已知地球的质量为102:(0.6)0t,而氢原子的质量为 1023·(0.165)8,如果测量的绝对误差都是1个单位 那么哪一个更准确呢? 称绝对误差与精确值的比值为相对误差 relative error), 记为δ=一.而实际计算时采用δ=代替
2、绝对误差和相对误差： 设A为精确值，a为A的近似值，称 为a的绝对 误差(absolute error)，简称误差(error). = −a A 0 时称为正绝对误差，否则称为负绝对误差。 称根据测量误差或计算情况可以估计出的绝对误差的上 界 为a的绝对误差限（界）或误差限（界）(limit of error), 即 或 | | | | = − a A a A a A a − + = , . 称绝对误差与精确值的比值为相对误差(relative error), . A 记为 = 而实际计算时采用 代替。 a = 问题：已知地球的质量为 而氢原子的质量为 如果测量的绝对误差都是1个单位， 那么哪一个更准确呢？ 22 10 10 (0.6) , t 23 10 10 (0.165) , g −
3、数学问题的性态与算法稳定性 对于一个数值问题,如果输入数据有微小扰动(即误差) 引起输出数据(即问题的解)相对误差很大,称之为病态问题 输出数据与输入数据的相对误差比值称为条件数 例如,计算函数值∫(x)时,若x有扰动Ax=x-x,其相对 误差为 Ax 函数值f(x)的相对误差为 f(x)-f(x) f(x) 则称比值 f(x)-f(x)/△ C,为此问题的条件数。 f(x) 对于一个数值方法,如果输入数据有误差,而在计算过 程中舍入误差不增长,则称此算法是稳定的,否则称为不稳 定的
3、数学问题的性态与算法稳定性 对于一个数值问题，如果输入数据有微小扰动（即误差）， 引起输出数据（即问题的解）相对误差很大，称之为病态问题。 输出数据与输入数据的相对误差比值称为条件数。 对于一个数值方法，如果输入数据有误差，而在计算过 程中舍入误差不增长，则称此算法是稳定的，否则称为不稳 定的。 例如，计算函数值 f x( ) 时，若 x 有扰动 其相对 * = − x x x , 误差为 , x x * ( ) ( ) . ( ) f x f x f x − 函数值 f x( ) 的相对误差为 则称比值 为此问题的条件数。 * ( ) ( ) ( ) p f x f x x C f x x − =
§3计数与数值 (1)远古的计数 (2)罗马记数法:工(1)V(5)X(10)L(50)c(100) 依最大数左减右加 (3)巴比伦记数法:六十进制 (4)印度记数法(阿拉伯记数法):十进制 (5)中国记数法:十进制 (6)通用记数法:R进制记数法
§3 计数与数值 （1）远古的计数 （2）罗马记数法： （3）巴比伦记数法：六十进制 （4）印度记数法（阿拉伯记数法）：十进制 （5）中国记数法：十进制 （6）通用记数法：R进制记数法 Ⅰ(1) Ⅴ(5) Ⅹ(10) L(50) C(100) 依最大数左减右加
R进制记数法的两种表示形式: 定点形式:(anan1…a1aBB2…Bn) anRm+am1Rm+…a1R+a0+m+n2+…+ RR R 其中a,B(i=01,2,…,mj=12…,m)都是介于0与 R1之间的整数。称该数的总位数m+n+1为字长。 浮点形式:Rn(0.d1d2…dn)=Rn(如+2+…+) RR R 称P为阶码,(d4d2…dn)为尾数,其中d是介于0 与R1之间的正整数。若1≠0,则称该浮点数为规格 化数,否则称为非规格化数。尾数的位数为字长。 用浮点形式表达的数值的范围较定点形式要广。例如, 地球的质量为102(06)2氢原子的质量为023.(0.165)og
定点形式： 1 1 2 1 1 1 1 0 1 2 0 1 2 ( . ) m m n m m m R n n R R R m R R R − − − = + + + + + + + 其中 都是介于0与 R-1之间的整数。称该数的总位数m+n+1为字长。 , ( 0,1, 2, , ; 1, 2, , ) i j i m j n = = 浮点形式： 1 2 1 2 1 2 (0. ) ( ) n p n R p n d d d R R R d R d R d = + + + 称 为阶码， 为尾数，其中 是介于0 与R-1之间的正整数。若 则称该浮点数为规格 化数，否则称为非规格化数。尾数的位数为字长。 1 2 (0. )n R d d d i d 1 d 0, p 用浮点形式表达的数值的范围较定点形式要广。例如， 地球的质量为 22 10 10 (0.6) , t 氢原子的质量为 23 10 10 (0.165) . g − R进制记数法的两种表示形式：
§4舍入方法与有效数字 1、舍入方法 计算机只能处理有限位字长的数,对字长较长的数要作 舍入处理,以得到一个有限字长的近似数 设要对A=a0a1…a m.m+1 m+2 m+n+n+ (a0≠0)作 舍入处理,得到具有n位小数的近似数a,常见的舍入方法有: (1)截断法:取a=a0a1… a.a+1am+2 m+n 此时舍入误差估计为 △a-A=0.0.0am+…≤0.0.09<0.0…1=1×10″ (2)四舍五入法:根据an+n+1的大小 m+n+1 1.2.3.4时,取a=a0a1·amm+1m+2…m+n 此时舍入误差估计为 △|a-A=0.0….0am+…≤0.0…049<0.0…05=0.5×10 n位 n位
1、舍入方法 计算机只能处理有限位字长的数，对字长较长的数要作 舍入处理，以得到一个有限字长的近似数。 （1）截断法 ： 设要对 作 舍入处理，得到具有n位小数的近似数a，常见的舍入方法有: 0 1 1 2 1 0 . ( 0) A a a a a a a a a = m m m m n m n + + + + + （2）四舍五入法 ： 取 0 1 1 2 . m m m m n a a a a a a a = + + + 此时舍入误差估计为 1 | | | | 0.0 0 0.0 09 0.0 1 1 10 n m n n n n a A a − = − = = + + 位 位 位 根据 am n+ +1 的大小 当 am n+ +1 =1, 2,3, 4 时，取 0 1 1 2 . m m m m n a a a a a a a = + + + 此时舍入误差估计为 1 | | | | 0.0 0 0.0 0 49 0.0 05 0.5 10 n m n n n n a A a − = − = = + + 位 位 位 §4 舍入方法与有效数字