第二章方程(组)的迭代解法 §1引言 方程「代数方程:f(x)为有理系数多项式。(求代数根历程) x)=01超越方程:除代数方程以外的方程,如fx是三 角函数、指数函数等等。 满足方程(x)=0的x值称为方程的根或解,也叫做函数f(x)的 零点。如果f(x)=(xa)g(x)且g(a)≠0,则称a为f(x)=0的m重根, m=1称为单根,m>1称为重根。 本章介绍求方程(组)的实根的数值方法之一—迭代解法 迭代解法要解决的问题: (1)确定根的初值; (2)将初值进一步精确化到需要的精度
§1 引言 方程 f(x)=0 第二章 方程（组）的迭代解法 代数方程：f(x)为有理系数多项式。 超越方程：除代数方程以外的方程，如 f(x)是三 角函数、指数函数等等。 本章介绍求方程（组）的实根的数值方法之一——迭代解法。 迭代解法要解决的问题： （1）确定根的初值； （2）将初值进一步精确化到需要的精度。 满足方程f(x)=0的x值称为方程的根或解，也叫做函数f(x)的 零点。如果f(x)=(x-a)mg(x)且g(a)≠0，则称a为f(x)=0的m重根, m=1称为单根，m>1称为重根。 （求代数根历程）
代数多项式方程求代数根的发展史 矿公元前1700年古巴比伦人已掌握一、二次方程的解法; 1545年意大利卡当( Cardano)给出三次方程公式解; 矿之后不久,卡当的学生弗瑞里( Ferrari)提出四次方程的 解法; G1799年,德国高斯( Gauss)提出代数学基本定理,说明 n次代数方程必有n个实根或复根; 1824年挪威阿贝尔(Abe)发表了“五次方程代数解法不 存在”的论文; 矿1828年法国伽罗华( Galois)提出五次及五次以上方程的 代数根不存在
代数多项式方程求代数根的发展史—— F 公元前1700年古巴比伦人已掌握一、二次方程的解法； F 1545年意大利卡当（Cardano）给出三次方程公式解； F 之后不久，卡当的学生弗瑞里（Ferrari）提出四次方程的 解法； F 1799年，德国高斯（Gauss）提出代数学基本定理，说明 n次代数方程必有n个实根或复根； F 1824年挪威阿贝尔（Abel）发表了“五次方程代数解法不 存在”的论文； F 1828年法国伽罗华（Galois）提出五次及五次以上方程的 代数根不存在
§2迭代解法 1、根的初值的确定方法 ①圈定根所在的范围; ②采取适当的数值方法确定出具有一定精度要求的初值。 定理1(根的存在定理或零点定理)设f(x)为区间[a,b]上的 单值连续函数,如果fa)f(b)<0,则[a,b内至少有一个实根 如果f(x)在[a,b]上还是单调函数,则仅有一个实根
§2 迭代解法 1、根的初值的确定方法 ① 圈定根所在的范围； ② 采取适当的数值方法确定出具有一定精度要求的初值。 定理1（根的存在定理或零点定理） 设f(x)为区间[a,b]上的 单值连续函数，如果f(a)f(b)<0，则[a,b]内至少有一个实根。 如果f(x)在[a,b]上还是单调函数，则仅有一个实根
(1)画图法 ①画出y=f(x)的略图,确定出曲线与x轴的交点的大体位置; 例1确定xlgx-1=0的初值。 y=xix 23 X
（1）画图法 ① 画出y=f(x)的略图，确定出曲线与x轴的交点的大体位置； 例1 确定 x lg x 1 0 的初值。 y x lg x 1 O 2 3 x y
(1)画图法 ②如果y=f(x)的图形不易画出,可将f(x)=0分解成(x)=2(x) 的形式,其中Q(x)与q2(x)是较容易画出图形的函数,那么两 曲线的交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。 例2确定xlgx-1=0的初值。 解:将xlgx-1=0 X 改写为lgx= y=gx 12 X
② 如果y=f(x)的图形不易画出，可将f(x)=0分解成 的形式，其中 与 是较容易画出图形的函数，那么两 曲线的交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。 1 2 (x) (x) 1 2 (x) (x) （1）画图法 例2 确定 x lg x 1 0 的初值。 解：将 改写为 x lg x 1 0 1 lg x x O 1 2 3 x y y lg x 1 y x
(1)画图法 注:对于某些看不清根的范围的函数,可以通过乘以一个较 大的系数以扩大函数值。 例3如图: y y=100f(x) 画图法的特点: y=f(x) 直观,但精度不高! O|/102030
（1）画图法 注：对于某些看不清根的范围的函数，可以通过乘以一个较 大的系数以扩大函数值。 y f (x) O 10 20 30 x y y 100 f (x) 例3 如图： 画图法的特点： 直观，但精度不高！
(2)扫描法 ①对于给定的f(x)及含根区间[ab],从x=a开始,以步长为 h (n∈z)在[a,b]内依次取节点:x=x0+ih(i=0,1,…,n) ②依次检查f(x)的符号,如果发现f(x)与f(x1)异号,则得 到一个有根区间[x2x+],同样的方法继续下去,就可以找 出[a,b]内的所有含根区间 扫描法的关键在于选取合适的步长! 步长h过大—漏根; 步长h过小——一计算量、存储量大,费时
（2）扫描法 ①对于给定的f(x)及含根区间[a,b]，从 开始，以步长为 在[a,b]内依次取节点： 0 x a ( ) b a h n Z n 0 ( 0,1, , ); i x x ih i n ②依次检查 的符号，如果发现 与 异号，则得 到一个有根区间 同样的方法继续下去，就可以找 出[a,b]内的所有含根区间。 ( ) i f x 1 ( ) ( ) k k f x f x 1 [ , ], k k x x 扫描法的关键在于选取合适的步长！ 步长h过大——漏根； 步长h过小——计算量、存储量大，费时
(3)对分法(二步法) ①取[a的中点r=a+b 计算f(r) 2 ②若f(a)f)=0,则x=r就是一个根;若f(a)f(r)>0,则取a=r; 若f(a)f(r)ε(预先给定的精度要求),转向①,否则结束。 b 如果经n次对分后结束,则≤E,即n≥ In(b-a)-In a 2 In 2 所得的含根区间依次为:[ab][a1,b][a2b2],…,[an,b 在[an2bn中任取一点或取中点作为初值,即:x=b 2
（3）对分法（二步法） ①取[a,b]的中点 计算f(r) ②若f(a)f(r)=0,则x=r就是一个根；若f(a)f(r)>0,则取a=r； 若f(a)f(r)ε(预先给定的精度要求)，转向①，否则结束。 , 2 a b r , 2 n b a 即 ln( ) ln , ln 2 b a n 所得的含根区间依次为： 1 1 2 2 [ , ],[ , ],[ , ], ,[ , ] n n a b a b a b a b 在[an ,bn ]中任取一点或取中点作为初值，即： 0 . 2 n n a b x 如果经n次对分后结束，则
例4用对分法求方程f(x)=x3x-1=0在区间[1,15]内的根的初值 (E=05×102)。 解:取a=1,b=15,注意到f(1)=10,因此 在[a,b]内至少存在一个根。查看计算结果 当对分到第7次时,区间长度为0.0039<0005,满足精度 要求,取 1.3203+1.3242 =1.3223 对分法的特点: 可以求任意精度的方程的根,但计算量大
例4 用对分法求方程f(x)=x3-x-1=0在区间[1,1.5]内的根的初值 （ε=0.5×10-2）。 解：取a=1，b=1.5，注意到f(1)=-10，因此 在[a,b]内至少存在一个根。查看计算结果 当对分到第7次时，区间长度为0.0039<0.005，满足精度 要求，取 0 1.3203 1.3242 1.3223. 2 x 对分法的特点： 可以求任意精度的方程的根，但计算量大
a tb 2 f(r) 0[1,15] 125 0.2969 1[125,15] 1.375 022461 2[1.25,1375] 13125 0.0515 3[131251375]1343750.08261 4[13125,134375]1.32810.01458 5[1.3125,1.3281]1.3203 0.0187 6[1.320313281]1.3242 0.0021 [13203,1.3242]
7 [1.3203,1.3242] 6 [1.3203,1.3281] 1.3242 -0.0021 5 [1.3125,1.3281] 1.3203 -0.0187 4 [1.3125,1.34375] 1.3281 0.01458 3 [1.3125,1.375] 1.34375 0.08261 2 [1.25,1.375] 1.3125 -0.0515 1 [1.25,1.5] 1.375 0.22461 0 [1,1.5] 1.25 -0.2969 i [ , ] i i a b 2 i i i a b r ( ) i f r
