线性代数第1讲 行列式 2021/2/20
2021/2/20 1 线性代数第1讲 行列式
介绍 线性代数的重要目标是解线性方程 而解线性方程组经常要用到行列式 的概念 1.1n阶行列式的定义和性质 2021/2/20
2021/2/20 2 介绍 ⚫ 线性代数的重要目标是解线性方程 组 ⚫ 而解线性方程组经常要用到行列式 的概念 1.1 n阶行列式的定义和性质
对于一个二元一次方程组 +a b (1.1) La2i-x,+a2 -2=b2 当a1a2-a12a21≠0时,用消元法求解,得 其解为 b,a22-a,2b, 9 c122-122 112-a1a (1.2) 3 2021/2/20
2021/2/20 3 对于一个二元一次方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b + = + = 当a11a22-a12a210时, 用消元法求解, 得 其解为 1 22 12 2 11 2 1 21 1 2 11 22 12 21 11 22 12 21 , b a a b a b b a x x a a a a a a a a - - = = - - (1.1) (1.2)
如果记 二阶行列式 b D -ad-bC (1.3) d (12)式可以表示为 b b 21 2021/2/20
2021/2/20 4 如果记 a b D ad bc c d = = - (1.3) (1.2)式可以表示为 1 12 11 1 2 22 21 2 1 2 11 12 11 12 21 22 21 22 , b a a b b a a b x x a a a a a a a a = = 二阶行列式
三阶行列式的定义 12 C1C22+a12221+a1 13021032 3022031 (1.4) 83 32 5 2021/2/20
2021/2/20 5 三阶行列式的定义 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 13 22 31 12 21 33 11 23 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = ++- - - 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 a a a a a a a a a a a a a a a - - - + + + (1.4) (1.5)
例如 5×2-(-1)×3=13 32 123 405=1×0×6+2×5×(-1) 106 +3×4×0-1×5×0-2×4×6-3×0×(-1) 10-48=-58 6 2021/2/20
2021/2/20 6 例如 10 48 58 3 4 0 1 5 0 2 4 6 3 0 ( 1) 1 0 6 2 5 ( 1) 1 0 6 4 0 5 1 2 3 5 2 ( 1) 3 13 3 2 5 1 = - - = - + - - - - = + - - = - - = -
如果三元线性方程组 a1x1+a12x2+a13x3=b, a21rta22x 2 +a arx+a32x2+a33x3=b3 的系数行列式 D ≠0 7 2021/2/20
2021/2/20 7 如果三元线性方程组 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 , , a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + = + + = + + = 的系数行列式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0, a a a D a a a a a a =
用消元方可解得 D D (1.6) D D D 其中 12 13 13 D,=16 2 23 b 23 D b b 8 2021/2/20
2021/2/20 8 用消元方可解得 1 2 3 1 2 3 , , D D D x x x D D D = = = (1.6) 其中 1 12 13 11 1 13 11 12 1 1 2 22 23 2 21 2 23 3 21 22 2 3 32 33 31 3 33 31 32 3 , , b a a a b a a a b D b a a D a b a D a a b b a a a b a a a b = = =
二阶和三阶行列式都可按第一行展开 12 C1C22+a12221+a1 13021032 3022031 11230132 2 22 203 (17 2 a1M1-a12M12+a3M13余子式 +a +a 代数余子式 4=(-1)M,42=(1DM2,A3=()M1。 2021/2/20
2021/2/20 9 二阶和三阶行列式都可按第一行展开 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 13 22 31 12 21 33 11 23 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = ++- - - 22 23 21 23 21 22 11 12 13 32 33 31 33 31 32 11 11 12 12 13 13 11 11 12 12 13 13 a a a a a a a a a a a a a a a a M a M a M a A a A a A = - + = - + = + + 1 1 1 2 1 3 11 11 12 12 13 13 A M A M A M ( 1) , ( 1) , ( 1) + + + = - = - = - 余子式 代数余子式 （1.7）
同样 D +a 22 其中 A1=(-1)+la2|=a2 A12=(-1)1+2a21|=-a21 这里a221是一阶行列式不是绝对值 2021/2/20
2021/2/20 10 同样 11 12 11 11 12 12 21 22 a a D a A a A a a = = + 其中 A11=(-1)1+1|a22|=a22, A12=(-1)1+2|a21|=-a21 这里|a22|,|a21|是一阶行列式不是绝对值