【机器感知与模式识别】粒协调决策形式背景的属性约简与规则融合

第14卷第6期 智能系统学报 Vol.14 No.6 2019年11月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Nov.2019 D0:10.11992/tis.201905050 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20190910.1329.004html 粒协调决策形式背景的属性约简与规则融合 张晓鹩，米据生，李美争 (1.河北师范大学数学与信息科学学院，河北石家庄050024；2.河北师范大学计算机与网络室问安全学院， 河北石家庄050024) 摘要：针对基于决策形式背景进行属性约简与规则提取能够更便捷有效地获取知识.因此规则提取及属性约 简是形式概念分析理论重要的研究课题。本文基于等价关系研究粒协调决策形式背景的属性约简与规则提 取，定义粒协调集与粒约简，给出粒协调集判定定理，并结合布尔方法给出属性约简算法，最后利用集值向量 包含度这一工具给出决策形式背景中的乐观规则融合方法与悲观规则融合方法。 关键词：属性约简：决策规则：形式背景：辨识矩阵：包含度：规则提取：粒计算：概念格 中图分类号：0236，TP18文献标志码：A文章编号：1673-4785(2019)06-1138-06 中文引用格式：张晓鹤，米据生，李美争.粒协调决策形式背景的属性约简与规则融合小.智能系统学报，2019,14(6)： 1138-1143 英文引用格式：ZHANG Xiaohe,,MI Jusheng,LI Meizheng.Attribute reduction and rule fusion in granular consistent formal de- cision contexts[JI.CAAI transactions on intelligent systems,2019,14(6):1138-1143. Attribute reduction and rule fusion in granular consistent formal decision contexts ZHANG Xiaohe',MI Jusheng',LI Meizheng? (1.College of Mathematics and Information Science,Hebei Normal University,Shijiazhuang 050024,China;2.College of Computer and Cyber Security,Hebei Normal University,Shijiazhuang 050024,China) Abstract:Attribute reduction and rule acquisition based on formal decision contexts can acquire knowledge more con- veniently and effectively;thus,rule acquisition and attribute reduction are two key research directions of the theory of formal concept analysis(FCA).This study investigates attribute reduction and rule acquisition based on an equivalence relation in formal granular consistent decision contexts.In this paper,the granular consistent set and granular reduction are defined,and the judgment theory of the granular consistent set is given,and by combination with the Boolean meth- od,the granular reduction is formulated.Finally,using the inclusion degree of set-valued vectors,optimistic and pessim- istic rule fusion methods in formal decision contexts are proposed. Keywords:attribute reduction;decision rules;formal context;discernibility matrix:inclusions;extracting rules;granu- lar computing;concept lattice 形式概念分析(FCA)山于1982年由Wile教 步总结了概念格相关知识。目前该理论已在信息 授提出，它是在形式背景中进行数据分析与规则 检索)、数据挖掘4，软件工程等多个领域取得 提取的一个重要工具，通过分析形式背景中概念 了广泛应用。 的结构提出了概念格，从本质上对对象和属性的 属性约简与规则提取是粗糙集理论中关键的 内在联系进行了描述。Ganter]在其专著中进一 研究方向，同样也是FCA中的重要问题。一个决 策形式背景生成的全部形式概念，包括概念之间 收稿日期：2019-05-27.网络出版日期：2019-09-10. 的关系都会储存在概念格中，这使得概念格的分 基金项目：国家自然科学基金项目(61573127,61502144)：河北 省自然科学基金项目(F2018205196):河北省高等学 析过程变得极为困难。因此，决策形式背景研究 校科学技术研究项目(BJ2019014,QN2017095)片河北 师范大学博士基金项目(L2017B19) 的重要课题之一就是保持决策不变进行属性约 通信作者：张晓鹤.E-mail:985740655@qq.com 简，从而使形式背景中的隐藏知识更容易被发掘

DOI: 10.11992/tis.201905050 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20190910.1329.004.html 粒协调决策形式背景的属性约简与规则融合 张晓鹤1，米据生1，李美争2 （1. 河北师范大学 数学与信息科学学院，河北 石家庄 050024; 2. 河北师范大学 计算机与网络空间安全学院， 河北 石家庄 050024） 摘 要：针对基于决策形式背景进行属性约简与规则提取能够更便捷有效地获取知识，因此规则提取及属性约 简是形式概念分析理论重要的研究课题。本文基于等价关系研究粒协调决策形式背景的属性约简与规则提 取，定义粒协调集与粒约简，给出粒协调集判定定理，并结合布尔方法给出属性约简算法，最后利用集值向量 包含度这一工具给出决策形式背景中的乐观规则融合方法与悲观规则融合方法。 关键词：属性约简；决策规则；形式背景；辨识矩阵；包含度；规则提取；粒计算；概念格 中图分类号：O236;TP18 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2019)06−1138−06 中文引用格式：张晓鹤, 米据生, 李美争. 粒协调决策形式背景的属性约简与规则融合 [J]. 智能系统学报, 2019, 14(6): 1138–1143. 英文引用格式：ZHANG Xiaohe, MI Jusheng, LI Meizheng. Attribute reduction and rule fusion in granular consistent formal de￾cision contexts[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2019, 14(6): 1138–1143. Attribute reduction and rule fusion in granular consistent formal decision contexts ZHANG Xiaohe1 ，MI Jusheng1 ，LI Meizheng2 (1. College of Mathematics and Information Science, Hebei Normal University, Shijiazhuang 050024, China; 2. College of Computer and Cyber Security, Hebei Normal University, Shijiazhuang 050024, China) Abstract: Attribute reduction and rule acquisition based on formal decision contexts can acquire knowledge more con￾veniently and effectively; thus, rule acquisition and attribute reduction are two key research directions of the theory of formal concept analysis (FCA). This study investigates attribute reduction and rule acquisition based on an equivalence relation in formal granular consistent decision contexts. In this paper, the granular consistent set and granular reduction are defined, and the judgment theory of the granular consistent set is given, and by combination with the Boolean meth￾od, the granular reduction is formulated. Finally, using the inclusion degree of set-valued vectors, optimistic and pessim￾istic rule fusion methods in formal decision contexts are proposed. Keywords: attribute reduction; decision rules; formal context; discernibility matrix; inclusions; extracting rules; granu￾lar computing; concept lattice 形式概念分析 (FCA)[1] 于 1982 年由 Wille 教 授提出，它是在形式背景中进行数据分析与规则 提取的一个重要工具，通过分析形式背景中概念 的结构提出了概念格，从本质上对对象和属性的 内在联系进行了描述。Ganter[2] 在其专著中进一 步总结了概念格相关知识。目前该理论已在信息 检索[3] 、数据挖掘[4-5] ，软件工程[6] 等多个领域取得 了广泛应用。 属性约简与规则提取是粗糙集理论中关键的 研究方向，同样也是 FCA 中的重要问题。一个决 策形式背景生成的全部形式概念，包括概念之间 的关系都会储存在概念格中，这使得概念格的分 析过程变得极为困难。因此，决策形式背景研究 的重要课题之一就是保持决策不变进行属性约 简，从而使形式背景中的隐藏知识更容易被发掘， 收稿日期：2019−05−27. 网络出版日期：2019−09−10. 基金项目：国家自然科学基金项目 (61573127，61502144)；河北 省自然科学基金项目 (F2018205196)；河北省高等学 校科学技术研究项目 (BJ2019014，QN2017095)；河北 师范大学博士基金项目 (L2017B19) 通信作者：张晓鹤. E-mail：985740655@qq.com. 第 14 卷第 6 期 智 能 系 统 学 报 Vol.14 No.6 2019 年 11 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Nov. 2019

第6期 张晓鹤，等：粒协调决策形式背景的属性约简与规则融合 ·1139· 即更易获取决策规则。越来越多的学者开始深入 定义49设V,1≤m是非空有限集.记 研究决策形式背景的属性约简与规则提取问题。 P={E=(E1,E2,…,Em):E≤Vl≤m)S 2009年，Wu研究了保持概念格的粒结构不 P(E1)XP(E2)×…X(Em) 变的属性约简与规则提取，并给出具体算法。 称P为集合向量空间。对于P中的两个集合向 Li等7)提出了一种新的决策形式背景知识约简 量E=(E,…,Em),S=(S,…,Sm,如果l≤m,均有 框架，给出约简算法，且在决策形式背景研究了 E≤S,则记E≤S,且(P,≤)为偏序集。 保持决策规则不变的属性约简。Li等研究了 定义511设(P,≤)为偏序集，称D:P→ 基于同余关系的不协调决策形式背景的属性约 [0,1]为集值向量包含度，满足下列条件： 简。Li等川提出了基于最大规则的决策形式背 1)0≤DS/E)≤1： 景中的新型属性约简。Chen2l1提出了一种大数 2)E≤S时，D(S/E)=1: 据模型下的快速属性约简模型，并结合实例分析 3)E≤S≤G时，D(E/G)≤D(E/S)e 其算法复杂度。Yang基于蕴涵映射对实数集 2基于等价关系的粒协调决策形式 决策形式背景中的属性约简和规则提取问题进行 背景的属性约简 研究。Q1从多角度讨论了两类三支概念格与 传统概念格之间的联系，并给出了在经典概念格 以往对决策形式背景进行讨论时通常会分别 基础上构造三支概念格的算法。Zhang等Io利 构造条件概念格与决策概念格，利用两者的序关 用概念格提出了一种基于案例的层次化分类器。 系来定义形式背景的协调性。本节利用等价关系 Zhang等叼研究了模糊决策格值信息系统上的近 对对象集进行划分，从而得到对应的决策类，可以 似约简与规则提取。张89叙述了信息系统上的 在保持对象的决策不变的前提下删除冗余属性。 知识发现与知识约简，提出了协调近似表示空间 设F=(U,A,I,D,G)为一个决策形式背景，A 上的规则融合方法。 为条件属性集，D为决策属性集，并且AnD=O, 目前在概念格领域已取得诸多成果，但仍存 IsU×A。定义Ro={(x,y∈U×U:dx)=dy)d∈ 在众多问题有待解决。比如基于等价关系的粒协 D》,则由上述等价关系可产生U上的一个划分： U/Rp ([xlp xEU=(D..D2.....D,] 调决策形式背景的属性约简问题，利用确定性规 其中 则获取全部规则的具体途径，本文将进一步讨论 [xlD=yEU:(x,y)E Rp] 这些问题。 如果x∈U,均满足x4S[xD,则称决策形式 1预备知识 背景F是粒协调的。 定义6设F=(U,A,1,D,G)为粒协调决策形 定义1设三元组F=(U,A,)是形式背景 式背景，对BSA,如果Yx∈U,都有xSxD,则 U={x1,,…,xn,A={a1,2,…,amh,I二UXA。如果 称B是F的一个粒协调集。进一步，如果不存在 (x,ad)∈L,则称x具有属性a。用P(U)表示U的幂集， CcB,使得Hx∈U都有xCC[xo,则B是F的粒 P(A)表示A的幂集。YX∈P(U,B∈P(A),定义： 约简。 X={a∈A:x∈X,(x,a)∈ (1) B°={x∈U:YaeB,(x,aeI (2) 注：1)对粒协调决策形式背景F来说，必存 在粒约简。如用{B:i≤)表示F所有的粒约简， 定义2对于形式背景F=(U,A,),若二元 组(X,B)EP(U)×P(A)满足X=B且B=X,则 则B=∩B:为F的核心，B中的元素称为核心元 (X,B)称为形式概念或概念。其中X是概念(X,B) 素或绝对必要属性。 的外延，B是概念(X,B)的内涵。 2)对于x,y∈Dj,Yd∈D有d(x)=dy),显然 定义361对于形式背景F=(U,A,),C≤ 决策类中所有对象决策值相同，记为d(D)。称T,= A,可以得到形式背景Fc=(U,C,Ic),Fc称为F的 {d(D,d(D,),…,d(D》为决策类D,的决策值。 子背景，其中Ic=In(U×C)。 设F=(U,A,L,D,G是一个粒协调决策形式 则对XsU,定义映射C:P(U→P(C:XC= 背景.BSA.记 RB={(x,x)∈U×U:xoSx,Va∈B}(4) {a∈C:YxeX,(x,a)e。特别地，当X={x},C={a 时有 则容易证明： {a,(x,a)∈I (3) 1)x={x,∈U:(x,x)∈Rg 0.(x.a)I 2)x二D台RBC RD,即B是粒协调集等价

即更易获取决策规则。越来越多的学者开始深入 研究决策形式背景的属性约简与规则提取问题。 2009 年，Wu[6] 研究了保持概念格的粒结构不 变的属性约简与规则提取，并给出具体算法。 Li 等 [7-9] 提出了一种新的决策形式背景知识约简 框架，给出约简算法，且在决策形式背景研究了 保持决策规则不变的属性约简。Li 等 [10] 研究了 基于同余关系的不协调决策形式背景的属性约 简。Li 等 [11] 提出了基于最大规则的决策形式背 景中的新型属性约简。Chen[12-13] 提出了一种大数 据模型下的快速属性约简模型，并结合实例分析 其算法复杂度。Yang[14] 基于蕴涵映射对实数集 决策形式背景中的属性约简和规则提取问题进行 研究。Qi[15] 从多角度讨论了两类三支概念格与 传统概念格之间的联系, 并给出了在经典概念格 基础上构造三支概念格的算法。 Zhang 等 [16] 利 用概念格提出了一种基于案例的层次化分类器。 Zhang 等 [17] 研究了模糊决策格值信息系统上的近 似约简与规则提取。张[18-19] 叙述了信息系统上的 知识发现与知识约简, 提出了协调近似表示空间 上的规则融合方法。 目前在概念格领域已取得诸多成果，但仍存 在众多问题有待解决。比如基于等价关系的粒协 调决策形式背景的属性约简问题，利用确定性规 则获取全部规则的具体途径，本文将进一步讨论 这些问题。 1 预备知识 F = (U, A,I) U = {x1, x2,··· , xn} A = {a1,a2,··· ,am} I ⊆ U × A (x,a) ∈ I x a P(U) U P(A) A ∀X ∈ P(U) B ∈ P(A) 定义 1 [6] 设三元组 是形式背景， ， ， 。如果 ，则称 具有属性 。用 表示 的幂集， 表示 的幂集。 ， ，定义： X ∗ = {a ∈ A : ∀x ∈ X,(x,a) ∈ I} (1) B ◁ = {x ∈ U : ∀a ∈ B,(x,a) ∈ I} (2) F = (U, A,I) (X,B) ∈ P(U)× P(A) X ∗ = B B ◁ = X (X,B) X (X,B) B (X,B) 定义 2 [6] 对于形式背景 ，若二元 组 满足 且 ，则 称为形式概念或概念。其中 是概念 的外延， 是概念 的内涵。 F = (U, A,I) C ⊆ A FC = (U,C,IC) F IC=I∩(U ×C) 定义 3 [ 6 ] 对于形式背景 ， ，可以得到形式背景 ，FC 称为 的 子背景，其中 。 X ⊆ U ∗C : P(U) → P(C) : X ∗C = {a ∈ C : ∀x ∈ X,(x,a) ∈ I} X = {x} C = {a} 则对 ，定义映射 。特别地，当 ， 时有 x ∗{a} = { {a}, (x,a) ∈ I Ø, (x,a) < I (3) 定义 4 Vl(l ⩽ m) [19] 设 是非空有限集，记 P= {E= (E1,E2,···,Em) : El ⩽ Vl(l ⩽ m)} ⊆ P(E1)× P(E2)× ··· ×(Em) P P E= (E1,···,Em) S= (S1,···,Sm) ∀l ⩽ m El ⩽ Sl E ⩽ S (P, ⩽ ) 称 为集合向量空间。对于 中的两个集合向 量 ， ，如果 ，均有 ，则记 ，且 为偏序集。 (P, ⩽ ) D : P 定义 5 2 → [ 1 9 ] 设 为偏序集，称 [0,1] 为集值向量包含度，满足下列条件： 1) 0 ⩽ D(S/E) ⩽ 1 ； 2) E ⩽ S 时， D(S/E) = 1 ； 3) E ⩽ S ⩽ G 时， D(E/G) ⩽ D(E/S)。 2 基于等价关系的粒协调决策形式 背景的属性约简 以往对决策形式背景进行讨论时通常会分别 构造条件概念格与决策概念格，利用两者的序关 系来定义形式背景的协调性。本节利用等价关系 对对象集进行划分，从而得到对应的决策类，可以 在保持对象的决策不变的前提下删除冗余属性。 F = (U, A,I, D,G) A D A∩ D = Ø I ⊆ U × A RD = {(x, y) ∈ U ×U : dl(x) = dl(y)(∀dl ∈ D)} U 设 为一个决策形式背景， 为条件属性集， 为决策属性集，并且 ， 。定义 ，则由上述等价关系可产生 上的一个划分： U/RD = {[x]D : x ∈ U}= {D1,D2,··· , Dr} 其中 [x]D= {y ∈ U : (x, y) ∈ RD} ∀x ∈ U x ∗A◁ ⊆ [x]D F 如果 ，均满足 ，则称决策形式 背景 是粒协调的。 F = (U, A,I, D,G) B ⊆ A ∀x ∈ U x ∗B◁ ⊆ [x]D B F C ⊂ B ∀x ∈ U x ∗C◁ ⊆ [x]D B F 定义 6 设 为粒协调决策形 式背景，对 ，如果 ，都有 ，则 称 是 的一个粒协调集。进一步，如果不存在 ，使得 都有 ，则 是 的粒 约简。 F {Bi : i ⩽ l} F B = ∩l i=1 Bi F B 注：1) 对粒协调决策形式背景 来说，必存 在粒约简。如用 表示 所有的粒约简， 则 为 的核心， 中的元素称为核心元 素或绝对必要属性。 x y ∈ Dj ∀dl ∈ D dl(x) = dl(y) dl(Dj) Tj = {d1(Dj),d2(Dj),··· ,d|D|(Dj)} Dj 2) 对于 ， ， 有 ，显然 决策类中所有对象决策值相同，记为 。称 为决策类 的决策值。 F = (U, A,I, D,G) B ⊆ A 设 是一个粒协调决策形式 背景， ，记 RB = {(xi , xj) ∈ U ×U : x ∗{a} i ⊆ x ∗{a} j ,∀a ∈ B} (4) 则容易证明： x ∗B◁ i = {xj ∈ U : (xi 1) , xj) ∈ RB} ； x ∗B◁ 2) i ⊆ [xi]D ⇔ RB ⊆ RD，即 B 是粒协调集等价 第 6 期 张晓鹤，等：粒协调决策形式背景的属性约简与规则融合 ·1139·

·1140· 智能系统学报 第14卷 于RB C RDo G 定义7 设F=(U,A,L,D,G)是一个粒协调决策 输出B(粒约简集) 形式背景.x,v∈U,x与y的辨识属性集定义如下： 1)for1sisUⅥand1sss4 D,y={aeA:rgya.d≠d) 其他 (5) 2)if (xia,)EI.x;d =a, 10, 3)else x;"tal 且D={D(x,y)Ix,y∈U)为F的辨识矩阵。 4)initialize Da(xi.x)= 由定义7可知，以下性质显然成立： 5)for 1sssl and 1s/D do 1)Da(x,x)=0: 6)if x"la x"la and di(x)+di(x)then 2)Da(xy)∩D0y,x)=0。 7) Da(,x)←Da(x,x）Vas 定理1设F=(U,A,L,D,G)是一个粒协调决 8)end if 策形式背景，BSA。则B是F的粒协调集，当且 9)end for 仅当Da(x,y)≠O时有B∩D(x,y)≠0。 10)initialize B=O 证明（一→）当D(x,y)≠0时，由定义7可知， Yd∈D均满足d()≠d),即(x,y)生Ro。而B是 11)for1sisU八，1 sU do F的粒协调集，则有RSRD。因此(x,y)生R,故 12)B=BA Da(xi,x) 必存在b∈B使得x4y。所以b∈D(x,y)。因 13)end for 而B∩Da(x,y)≠0。 14)compute B=V=() (=)若D(x,y)≠O,则Yd∈D,d(x)≠dy),即 15)return B (x,)Ro。故B∩D(x,y)≠O,一定存在b∈B,使 例1表1给出了一个决策形式背景，其中对 得b∈D(x,y,则有x生y,从而(x,y)生RB。当 象集U={x1,,,x4,x,x6小，D={d山为决策属性 (x,y)生RD时(x,y)生RB,故R&C RD。综上，B是F 集。A={a1,a2,a3,a4,a5,a6,a,as}为条件属性集。 的粒协调集。 表1决策形式背景F=(U,A,I,D,G) 定理2设F=(U,A,L,D,G)是一个粒协调决 Table 1 A formal decision context:F=(U,A,I,D,G) 策形式背景，a∈A,则a是F的核心属性，等价于 U a a2 asasasas a as d 存在x,yeU使得Du(x,y)={alo 1 证明(=)如果条件属性a∈A是F的核心 属性，则A-{al不可能是F的粒约简，即RA-o￠Ro。 1 故存在x,y∈U,使得(c,y)生Rn时有(x,y)∈RA-ao 3 1 1 此时d(x)≠dy)。又易证xa4y,由定义7可知 X4 1 1 1 3 aeD(x,y),即3x,yeU使得D(x,y)={a(事实上， Xs 1 如xa≤ya,则由(x,y∈RA-可知(c,y)eRAo 又F是一个粒协调决策形式背景，所以R4SRo, 1 1 1 1 2 即VdeD均满足d(x)=doy),这与d(x)≠d)矛 古 1 3 盾，所以xa4ya)o (∈)如果D(xy)={a,定义7可知d(x)≠dy) 计算可知： xa生ya并且任取b∈A-a,必有xo二yo。因此 x=x,2,3}=[x]D,x={2,3}[x2lD=[x]D (x,y)ERn且(x,y)∈RA-a。故可得RA-a生Rn,即 x={x3}二[x3]b=[xJD,x={x4}{x4,x}=[x4D A-{a不是F的粒约简，a是F的核心属性。 xs (xs,X6)E [xs,x6)=[xs]D 定义8设F=(U,A,I,D,GO是一个粒协调决 x=(x6)C [x6lD [xs]D,x=(x[xi]D [xa]D 策形式背景，xvEU、D(x,y≠O。记 M=入(Dax,)=A(Va:aeDa(x,y》 可知F为粒协调的，其辨识矩阵如表2所 (6) 示。由布尔方法可获取F的所有粒约简，具体过 基于文献[18]可知，如果B={a。:t≤qu}中没 程如下： 有重复元素，则 M=A(VDa(x,y)) M=VR(a) (7) =a AasAas Aas A(a3 Vas) 称为F的极小析取范式。B(k≤p)是F的所有 =(a1Aa4Aa6 Ads Aa3)V(a1∧a4Aa6Aag∧as) 粒约简的集合，具体算法如下： 故该形式背景存在两个粒约简，即B,={a1, 算法1粒协调决策形式背景的属性约简算法 a3,a46,ag}与B2={a1,a4,a5,a6,ag,F的核心属性为 输入粒协调决策形式背景F=(U,A,L,D, a1,a4,a6与ag0

于 RB ⊆ RD。 F = (U, A,I, D,G) x, y ∈ U x y 定义 7 设 是一个粒协调决策 形式背景， ， 与 的辨识属性集定义如下： Dd(x, y)= { {a ∈ A : x ∗{a} ⊈ y ∗{a} }, dl(x) , dl(y) Ø, 其他 (5) D ∗ 且 = {Dd(x, y) | x, y ∈ U} 为 F 的辨识矩阵。 由定义 7 可知，以下性质显然成立： 1) Dd(x, x) = Ø ； Dd(x, y) ∩ 2) Dd(y, x) = Ø。 F = (U, A,I, D,G) B ⊆ A B F Dd(x, y) , Ø B ∩ Dd(x, y) , Ø 定理 1 设 是一个粒协调决 策形式背景， 。则 是 的粒协调集，当且 仅当 时有 。 (⇒) Dd(x, y) , Ø ∀dl ∈ D dl(x) , dl(y) (x, y) < RD B F RB ⊆ RD (x, y) < RB b ∈ B x ∗{b} ⊈ y ∗{b} b ∈ Dd(x, y) B ∩ Dd(x, y) , Ø 证明 当 时，由定义 7 可知， 均满足 ，即 。而 是 的粒协调集，则有 。因此 ，故 必存在 使得 。所以 。因 而 。 (⇐) Dd(x, y) , Ø ∀dl ∈ D dl(x) , dl(y) (x, y) < RD B ∩ Dd(x, y) , Ø b ∈ B, b ∈ Dd(x, y) x ∗{b} ⊈ y ∗{b} (x, y) < RB (x, y) < RD (x, y) < RB RB ⊆ RD B F 若 ，则 ， ，即 。故 ，一定存在 使 得 ，则有 ，从而 。当 时 ，故 。综上， 是 的粒协调集。 F = (U, A,I, D,G) a ∈ A a F x y ∈ U Dd(x, y) = {a} 定理 2 设 是一个粒协调决 策形式背景， ，则 是 的核心属性，等价于 存在 ， 使得 。 (⇒) a ∈ A F A− {a} F RA−{a} ⊈RD x y ∈ U (x, y) < RD (x, y) ∈ RA−{a} dl(x) , dl(y) x ∗{a} ⊈ y ∗{a} a ∈ Dd(x, y) ∃x, y ∈ U Dd(x, y) = {a} x ∗{a} ⊆ y ∗{a} (x, y) ∈ RA−{a} (x, y) ∈ RA F RA ⊆ RD ∀dl ∈ D dl(x) = dl(y) dl(x) , dl(y) x ∗{a} ⊈ y ∗{a} 证明 如果条件属性 是 的核心 属性，则 不可能是 的粒约简，即 。 故存在 ， ，使得 时有 。 此时 。又易证 ，由定义 7 可知 ，即 使得 (事实上， 如 ，则由 可 知 。 又 是一个粒协调决策形式背景，所以 ， 即 均满足 ，这与 矛 盾，所以 )。 (⇐) Dd(x, y) = {a} dl(x) , dl(y) x ∗{a} ⊈ y ∗{a} b ∈ A−a, x ∗{b} ⊆ y ∗{b} (x, y) < RD (x, y) ∈ RA−{a} RA−{a} ⊈ RD A− {a} F a F 如果 ，定义 7 可知 并且任取 必有 。因此 且 。故可得 ， 即 不是 的粒约简， 是 的核心属性。 F = (U, A,I, D,G) x, y ∈ U Dd(x, y) , Ø 定义 8 设 是一个粒协调决 策形式背景， ， 。记 M=∧(∨Dd(x, y)) = ∧(∨{al : al ∈ Dd(x, y)}) (6) B q k = {ait 基于文献 [18] 可知，如果 : t ⩽ qk} 中没 有重复元素，则 M = ∨ p k=1 (∧ qk t=1 ait ) (7) 称为 F 的极小析取范式。 Bk(k ⩽ p) 是 F 的所有 粒约简的集合，具体算法如下： 算法 1 粒协调决策形式背景的属性约简算法 输入 粒协调决策形式背景 F=(U，A，I，D， G) 输出 B (粒约简集) 1) for 1≤i≤|U| and 1≤s≤|A| (xi ,as) ∈ I, xi ∗{as} 2) if = as xi ∗{as} 3) else = Ø Dd ( xi , xj ) 4) initialize = Ø 5) for 1≤s≤|A| and 1≤l≤|D| do xi ∗{as} ⊈ xj ∗{as} and dl(xi) , dl ( xj ) 6) if then Dd ( xi , xj ) ← Dd ( xi , xj ) 7) ∨as 8) end if 9) end for 10) initialize B = Ø 11) for 1≤i≤|U|, 1≤j≤|U| do B = B∧ Dd ( xi , xj ) 12) 13) end for B = ∨ p m=1 ( ∧ si q=1 aq ) 14) compute 15) return B U = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7} D = {d} A = {a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8} 例 1 表 1 给出了一个决策形式背景，其中对 象集 ， 为决策属性 集。 为条件属性集。 表 1 决策形式背景 F = (U, A,I, D,G) Table 1 A formal decision context: F = (U, A,I, D,G) U a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 d x1 1 − − − − 1 − − 1 x2 1 − − − − 1 1 − 1 x3 1 1 − − − 1 1 − 1 x4 − 1 − − 1 1 1 1 3 x5 1 − 1 − 1 − − − 2 x6 1 1 1 − 1 − − − 2 x7 − 1 1 1 − − − − 3 计算可知： x ∗◁ 1 = {x1, x2, x3} = [x1]D, x ∗◁ 2 = {x2, x3} ⊆ [x2]D = [x1]D x ∗◁ 3 = {x3} ⊆ [x3]D = [x1]D, x ∗◁ 4 = {x4} ⊆ {x4 , x7} = [x4]D x ∗◁ 5 = {x5 , x6} ⊆ {x5 , x6} = [x5]D x ∗◁ 6 = {x6} ⊆ [x6]D = [x5]D, x ∗◁ 7 = {x7} ⊆ [x7]D = [x4]D F F 可知 为粒协调的，其辨识矩阵如表 2 所 示。由布尔方法可获取 的所有粒约简，具体过 程如下： M = ∧(∨Dd(x, y)) =a1 ∧a4 ∧a6 ∧a8 ∧(a3 ∨a5) =(a1 ∧a4 ∧a6 ∧a8 ∧a3)∨(a1 ∧a4 ∧a6 ∧a8 ∧a5) a3,a4,a6,a8} B2 = {a1,a4,a5,a6,a8} F a1,a4,a6 a8 故该形式背景存在两个粒约简，即 B1= {a1 , 与 ， 的核心属性为 与 。 ·1140· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷

第6期 张晓鹤，等：粒协调决策形式背景的属性约简与规则融合 ·1141· 表2F=(U,A,I,D,G)的辨识矩阵 Table 2 The discernibility matrix of F=(U,A,I,D,G) U 专 Xs X6 少 1 0 ⊙ 0 {a1} {a6} {a6} {a1,a6} 0 8 0 {a1} {a6,a7} {a6,a} {a1,a6,a} 3 8 8 0 {a1} {a2,a6,a} {a6,a} {a1,a6,a} XA {a2,a7,ag} (a2,as] (as) 0 a,a6,a,as a6:az;as 0 5 a3,as (a3,as) a3,as {a1,a3,as} 0 0 {a1,a5} X6 {a2,a3,a5} {a2,a3,as} las,as a,as,as 0 0 a,asl {a2,a3,aa} {a2,a3,a4} {a3,a4} 0 {a2,a4} as 0 3基于等价关系的粒协调决策形式 4)对于概念(X,B)∈L(U.A.D.记 背景上的规则融合 E=({y},{v2,…,{vm) 计算DS,/E),若DS/E)=mxDS/E,则有： 本节给出粒协调决策形式背景中决策规则及 If B,then Ti.(D(Sj./E)) 最优决策规则的定义，进一步讨论粒协调决策形 算法2粒协调决策形式背景中乐观规则融 式背景上规则融合算法，并给出相关实例。 合算法 定义9设F=(U,A,L,D,G)是一个粒协调决 输入F=(U,A,I,D,G) 策形式背景，称(X,Y∈L(U,A,)为条件概念。决 输出R(决策规则) 策类D,与其决策值T,构成的二元组(D,T)称 1)for1≤sDdo 为决策概念。如果X≠O,Y≠O,并且有X二D, 2)U/Ro={D,D2,,D}={[D:x∈U) 则称(X,)→(DT)为决策形式背景的粒决策规 3)end for 则。所有粒决策规则的集合记为3(F)。 4)forD,j≤r),do 对于粒协调决策形式背景来说，必有x≤ 5)M={f(M,{5(xl,…,{f(x)D川x≤D [xD。于是可得到U条确定性规则。显然还存 6)compute S;={(vf(x》,…,v{fa(x))x“∈Dl 在一些不确定性规则，下文给出用条确定性规 7)for (X,B)EL(U.A,I)do 则得到全部规则的两种规则融合方法。 8)E=(y(B)l,{2(B)H,…,{M(B)D 设F=(U,A,L,D,G)是一个粒协调决策形式 9)end for 背景，YxeU.m∈A.定义 10)compute D(S/E) 1, f(x)= (x,a)∈I 10, (x,a)生1 11)if D(S,/E)=maxD(S/E),then A定义W国{凸验， 12)R:B→T.(D(S./E) 13)end if 定义10设(P,≤)是偏序集，对于P中的两 14)return R 个集合向量E和S,定义包含度为 例2接例1，F=(U,A,L,D,G)中的所有条件 D(SIE)=Is -XE(E) (8) 概念计算如下： 台ΣS ({x1,x2,xl,{a1,a6):({x32,x3l,{a1,a6,a):({x3},{a1,a2,a6,a) i1 ({x4l,{a2,a6,,as5({,x6,{a1,a3,a5D ∫1，E,cS 其中xe(E)={0,E4S ((x6l.la,az,as,as)):((xl.laz,as,aD) ({x1,x2,x3,x4,{a6}):({x1,X2,x3,x3,x6},{a1) 3.1 乐观规则融合 {x2,x3,xa},{a6,a})({3,x},{a2,a6,a}) 1)由Rn对U进行划分，得到 UIRD={D1,D2,…,D】 (x3,x6,{a1,a2(x3,x4,x6,x,{a2l(x36,{a3) (x6,x,{a2,a3:(U,O);(O,A) 2)对于决策类D,(j≤)，记 M={({f(xh,{f(xh,…,{fm(x))x“≤DU≤r) 为使讨论更具实际意义，在下列讨论中我们 忽略(U,O)、(O,A)。 3)将M,中的向量取并运算，即每个分量取 计算可知： 并运算，得到S=(S,S,…,Sj≤r)。 U/RD={x,2,3l,{x4,l,{5,x6}

表 2 F = (U, A,I, D,G) 的辨识矩阵 Table 2 The discernibility matrix of F = (U, A,I, D,G) U x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x1 Ø Ø Ø {a1} {a6} {a6} {a1,a6} x2 Ø Ø Ø {a1} {a6,a7} {a6,a7} {a1,a6,a7} x3 Ø Ø Ø {a1} {a2,a6,a7} {a6,a7} {a1,a6,a7} x4 {a2,a7,a8} {a2,a8} {a8} Ø {a2,a6,a7,a8} {a6,a7,a8} Ø x5 {a3,a5} {a3,a5} {a3,a5} {a1,a3,a5} Ø Ø {a1,a5} x6 {a2,a3,a5} {a2,a3,a5} {a3,a5} {a1,a3,a5} Ø Ø {a1,a5} x7 {a2,a3,a4} {a2,a3,a4} {a3,a4} Ø {a2,a4} {a4} Ø 3 基于等价关系的粒协调决策形式 背景上的规则融合 本节给出粒协调决策形式背景中决策规则及 最优决策规则的定义，进一步讨论粒协调决策形 式背景上规则融合算法，并给出相关实例。 F = (U, A,I, D,G) (X,Y ∈ L(U, A,I) Dj Tj (Dj ,Tj) X , Ø Y , Ø X ⊆ Dj (X,Y) ⇒ (Dj ,Tj) ℑ(F) 定义 9 设 是一个粒协调决 策形式背景，称 为条件概念。决 策类 与其决策值 构成的二元组 称 为决策概念。如果 ， ，并且有 ， 则称 为决策形式背景的粒决策规 则。所有粒决策规则的集合记为 。 xi ∗A◁ ⊆ [xi]D |U| |U| 对于粒协调决策形式背景来说，必有 。于是可得到 条确定性规则。显然还存 在一些不确定性规则，下文给出用 条确定性规 则得到全部规则的两种规则融合方法。 F = (U, A,I, D,G) ∀x ∈ U al ∈ A 设 是一个粒协调决策形式 背景， ， ，定义 fl(xi) = { 1, (xi ,al) ∈ I 0, (xi ,al) < I ∀B ∈ A al ∈ A vl(B) = { 1, al ∈ B 0, al < B。 ， ，定义 (P,⩽) P E S 定义 10 设 是偏序集，对于 中的两 个集合向量 和 ，定义包含度为 D(S/E) = ∑m i=1 |Sl | ∑m i=1 |Si | χFl (El) (8) χFl (El)= { 1, El ⊆ Sl 0, El ⊈ Sl。 其中 3.1 乐观规则融合 1) 由 RD 对 U 进行划分，得到 U/RD = {D1, D2,··· , Dr} 2) 对于决策类 Dj(j ⩽ r) ，记 Mj = {({f1(xi)},{f2(xi)},··· ,{fm(xi)})   x ∗◁ i ⊆ Dj }(j ⩽ r) Mj Sj = (S j 1 ,S j 2 ,··· ,S j m)(j ⩽ r) 3) 将 中的向量取并运算，即每个分量取 并运算，得到 。 4) 对于概念 (X,B) ∈ L(U, A,I) ，记 E = ({v1},{v2},··· ,{vm}) D(Sj/E) D(Sj0 /E)=max j⩽r 计算 ，若 D(Sj/E) ，则有： If B,then Tjo (D(Sjo /E)) 算法 2 粒协调决策形式背景中乐观规则融 合算法 输入 F = (U, A,I, D,G) 输出 R(决策规则) 1) for 1≤t≤|D| do 2) U/RD = {D1, D2,··· , Dr} = {[x]D : x ∈ U} 3) end for 4) for Dj(j ⩽ r), do Mj = {({f1 (xi)},{f2 (xi)},··· , { f|A|(xi) })| x ∗◁ i ⊆ Dj } 5) Sj = {(∨{f1 (xi)},···,∨ { f|A|(xi) })|x ∗◁ i ⊆ Dj } 6) compute 7) for (X,B) ∈ L(U, A,I) do E = ( {v1 (B)},{v2 (B)},··· , { v|A|(B) }) 8) 9) end for 10) compute D(Sj /E) 11) if D(Sjo /E)=maxD(Sj /E) ，then R : B ⇒ Tjo ( D ( Sjo /E )) 12) 13) end if 14) return R 例 2 接例 1, F = (U, A,I, D,G) 中的所有条件 概念计算如下： ({x1, x2, x3},{a1,a6}); ({x2,x3},{a1,a6,a7}); ({x3},{a1,a2,a6,a7}) ({x4},{a2,a6,a7,a8}); ({x5, x6},{a1,a3,a5}) ({x6},{a1 ,a2 ,a3 ,a5}); ({x7},{a2 ,a3 ,a4}) ({x1, x2, x3, x4},{a6}); ({x1, x2, x3, x5, x6},{a1}) {x2, x3, x4},{a6,a7}); ({x3, x4},{a2,a6,a7}) ({x3 , x6},{a1 ,a2}); ({x3 , x4 , x6 , x7},{a2}); (x567,{a3}) ({x6, x7},{a2,a3}); (U,Ø); (Ø, A) (U,Ø) (Ø, A) 为使讨论更具实际意义，在下列讨论中我们 忽略 、 。 计算可知： U/RD = {{x1, x2, x3},{x4, x7},{x5, x6}} 第 6 期 张晓鹤，等：粒协调决策形式背景的属性约简与规则融合 ·1141·

·1142· 智能系统学报 第14卷 则所有决策概念计算如下： 1,且两种规则融合方式获取的规则并不一致。下 (1,x2,x,1庆：(x4,x7h,3:(《x5,x6h,2) (9) 面给出具体算法。 记 算法3粒协调决策形式背景中悲观规则融 D1={x1,x2,x3,D2={x4,x},D3={x5,x6} 合算法 则有 M1={1},{0,{01,{01,{01,1,{01,{0), 输入F=(U,A,I,D,G (《1,{01,{01,{0,{01,{1},{1,{0), 输出R(决策规则) (《1,{1,01,{01,0,{1,(1,{0D》 1)for 1t<D M2=(01,{1,{01,{0,{01,{1,{1,{1), (《01,{1,{1,{1,01,{01,{01,{0)1 2)U/Ro={D1,D2,…,D}={xD:x∈U M3={({1,{01,{1},{01,{1,{01,{01,0): 3)forD;j≤r),do (《1,{1,(1,{01,(1,01,{01,0)1 4)M,={(f(x,5(x)},…,{f(x))川x二D引 放 5)L={(max{f(c},max{5(x}…,max{f(x))川 S1=(1},{0,1},{01,{01,{01,{1h,{0,1},{0) S2=(01,(1,0,1,0,1,01,0,1,{0,1,{0,1) x∈D S3=(1},{0,1,{1},{01,{1},{0,{01,{0) 6)for (X,B)E L(U,A,I)do 对于条件概念(《x1,2,,x,{a)来说，有E= 7)E=(y1(B),{(B)H,…,{a(B)D (0,{0,01,{01,01,{1,01,{0)0 8) compute D(L/E) 计算可知： 9)if D(Lj/E)=maxD(L/E) D(S1/E=0.9 D(S2/E)≈0.92 10)then R:B=T.(D(Li/E)) D(S3/E)≈0.56 11)return R 综上可得规则“{a.}→d=30.92)”,此处0.92 12)end for 为该方法中此条规则的可信度。由上述方式可获 例3通过悲观融合方法同样可以获取F中 取规则： 的全部规则。 首先计算可知： {a1,a6}→d=1(1):{a1,a6,a}→d=1(1) L1=(1,1,{0,{01,01.{1.{1,{0) {a1,a2,a6,a}→d=1(1)；{a2,a6,a7ag}→d=2(1) L2=(01,1,{1},1},{01,{1,{1,{1) L3=(《1,{1},{1},{01,{1},{01,{0,{0) {a1,a3,as}→d=3(1{a1,42,a3,a5}→d=3(1) {a2,a3,a4}→d=2(1){a6}→d=2(0.92) 对条件概念(xl.{as),有 D(L1/E)=0.625 {a}→d=1(0.9):{a6,al→d=2(0.92) D(L2/E)=0.375 {a2,a6,a}→d=2(1):{a1,a2}→d=2(0.92) D(L3/E)=0.375 {a2}→d=2(1):Ha3}→d=2(0.92) 可得规则“{a6}→d=1(0.625)”,此处0.625为 {a2,as1→d=2(1) 由定义9可知，粒决策规则如下： 该方法中此条规则的可信度。由该方式可规则 {a1,a6}→d=1(1)Ha1,a6,a}→d=1(1) 如下： {a1,a6}→d=1(0.75):{a1,a6,a}→d=1(0.875) {a1,a2,a6,a}→d=1(1):{a2,a6,a,as}→d=2(1) {a1,a2,a6,a}→d=1(1)Ha2,a6,a,ag}→d=1(0.75) {a1,a3,a5}→d=3(1) {a2,a6,a,as}→d=2(0.75):{a1,a3,as}→d=3(0.75) 显然粒决策规则在乐观规则融合方法中同样 {a1,2,a3,as}→d=3(1)la2,3,a4}→d=2(0.625) 为确定性规则。 {a2,a3,a4}→d=3(0.625){a6}=d=1(0.625) 3.2悲观规则融合 {a1}→d=1(0.625):{a1}→d=3(0.625) {a6,a}→d=1(0.75):{a2,a6,a7}→d=1(0.875) 1)由Rn对U进行划分.得到 U/RD={D1,D2,…,D,} {a1,a2}→d=10.75){a1,a2}→d=3(0.75) {a2}→d=1(0.75):{a2}→d=3(0.625) 2)对于决策类D:(i≤r).记 a3}→d=3(0.625):{a2,a3}→d=3(0.75) M={(f(x)h,{f(xh,…,{fm(x))x≤DjU≤r） 3)将M中的向量取最大值，即每个分量取4结束语 最大值，得到L,=(,,…,L)≤)。 4)对于概念(XB)∈L(U.A.D.记 形式概念分析中至关重要的两个研究问题就 E=(V1,{v2},·,{vm}) 是属性约简问题与规则提取问题，而这两方面的 计算D(L;/E),若D(L/E)=maxD(L;/E,则有： 研究都是为了更准确便捷地获取决策。本文用对 If B,then Ti (D(Li /E)) (10) 象集与决策属性集之间的等价关系代替要求更为 粒决策规则在该方法中可信度并不一定为 严格的伽罗瓦连接，使决策形式背景的模型更易

则所有决策概念计算如下： ({x1, x2, x3},{1}); ({x4, x7},{3}); ({x5, x6},{2}) (9) 记 D1 = {x1, x2, x3}, D2 = {x4, x7}, D3 = {x5, x6} 则有 M1 = {({1},{0},{0},{0},{0},{1},{0},{0}), ({1},{0},{0},{0},{0},{1},{1},{0}), ({1},{1},{0},{0},{0},{1},{1},{0})} M2 = {({0},{1},{0},{0},{0},{1},{1},{1}), ({0},{1},{1},{1},{0},{0},{0},{0})} M3 = {({1},{0},{1},{0},{1},{0},{0},{0}), ({1},{1},{1},{0},{1},{0},{0},{0})} 故 S1 = ({1},{0,1},{0},{0},{0},{1},{0,1},{0}) S2 = ({0},{1},{0,1},{0,1},{0},{0,1},{0,1},{0,1}) S3 = ({1},{0,1},{1},{0},{1},{0},{0},{0}) ({x1, x2, x3, x4},{a6}) ({0},{0},{0},{0},{0},{1},{0},{0}) 对于条件概念 来说，有 E = 。 计算可知： D(S1/E) = 0.9 D(S2/E) ≈ 0.92 D(S3/E) ≈ 0.56 综上可得规则“ {a6} ⇒ d = 3(0.92)”，此处 0.92 为该方法中此条规则的可信度。由上述方式可获 取规则： {a1,a6} ⇒ d = 1(1); {a1,a6,a7} ⇒ d = 1(1) {a1,a2,a6,a7} ⇒ d = 1(1); {a2,a6,a7,a8} ⇒ d = 2(1) {a1,a3,a5} ⇒ d = 3(1); {a1,a2,a3,a5} ⇒ d = 3(1) {a2,a3,a4} ⇒ d = 2(1); {a6} ⇒ d = 2(0.92) {a1} ⇒ d = 1(0.9); {a6,a7} ⇒ d = 2(0.92) {a2,a6,a7} ⇒ d = 2(1); {a1,a2} ⇒ d = 2 (0.92) {a2} ⇒ d = 2(1);{a3} ⇒ d = 2(0.92) {a2,a3} ⇒ d = 2(1) 由定义 9 可知，粒决策规则如下： {a1,a6} ⇒ d = 1(1);{a1,a6,a7} ⇒ d = 1(1) {a1,a2,a6,a7} ⇒ d = 1(1);{a2,a6,a7,a8} ⇒ d = 2(1) {a1,a3,a5} ⇒ d = 3(1) 显然粒决策规则在乐观规则融合方法中同样 为确定性规则。 3.2 悲观规则融合 1) 由 RD 对 U 进行划分，得到 U/RD = {D1, D2,··· , Dr} 2) 对于决策类 Dj(j ⩽ r) ，记 Mj = {({f1(xi)},{f2(xi)},··· ,{fm(xi)})   x ∗◁ i ⊆ Dj }(j ⩽ r) Mj Lj = (L j 1 , L j 2 ,··· , L j m)(j ⩽ r) 3) 将 中的向量取最大值，即每个分量取 最大值，得到 。 4) 对于概念 (X,B) ∈ L(U, A,I) ，记 E = ({v1},{v2},··· ,{vm}) D(Lj/E) D(Lj0 /E)=max j⩽r 计算 ，若 D(Lj/E) ，则有： If B,then Tjo (D(Ljo /E)) (10) 粒决策规则在该方法中可信度并不一定为 1，且两种规则融合方式获取的规则并不一致。下 面给出具体算法。 算法 3 粒协调决策形式背景中悲观规则融 合算法 输入 F = (U, A,I, D,G) 输出 R(决策规则) 1) for 1≤t≤|D| 2) U/RD = {D1, D2,··· , Dr} = {[x]D : x ∈ U} 3) for Dj(j ⩽ r), do Mj = {({f1 (xi)},{f2 (xi)},··· , { f|A|(xi) })| x ∗◁ i ⊆ Dj } 4) Lj = {( max{f1 (xi)},max{f2 (xi)}··· ,max { f|A|(xi) })| x ∗◁ i ⊆ Dj } 5) 6) for (X,B) ∈ L(U, A,I) do E = ( {v1 (B)},{v2 (B)},··· , { v|A|(B) }) 7) 8) compute D(Lj /E) 9) if D(Ljo /E)=maxD(Lj /E) R : B ⇒ Tjo ( D ( Ljo /E )) 10) then 11) return R 12) end for 例 3 通过悲观融合方法同样可以获取 F 中 的全部规则。 首先计算可知： L1 = ({1},{1},{0},{0},{0},{1},{1},{0}) L2 = ({0},{1},{1},{1},{0},{1},{1},{1}) L3 = ({1},{1},{1},{0},{1},{0},{0},{0}) 对条件概念 ({x1, x2, x3, x4},{a6}) ，有 D(L1/E) = 0.625 D(L2/E)=0.375 D(L3/E)=0.375 可得规则 “ {a6} ⇒ d = 1(0.625)”，此处 0.625 为 该方法中此条规则的可信度。由该方式可规则 如下： {a1,a6} ⇒ d = 1(0.75);{a1,a6,a7} ⇒ d = 1(0.875) {a1,a2,a6,a7} ⇒ d=1(1);{a2,a6,a7,a8} ⇒ d=1(0.75) {a2,a6,a7,a8} ⇒ d=2(0.75);{a1,a3,a5} ⇒ d=3(0.75) {a1,a2,a3,a5} ⇒ d = 3(1);{a2,a3,a4} ⇒ d = 2(0.625) {a2,a3,a4} ⇒ d = 3(0.625);{a6} ⇒ d = 1(0.625) {a1} ⇒ d = 1(0.625);{a1} ⇒ d = 3(0.625) {a6,a7} ⇒ d = 1(0.75);{a2,a6,a7} ⇒ d = 1(0.875) {a1,a2} ⇒ d = 1(0.75);{a1,a2} ⇒ d = 3(0.75) {a2} ⇒ d = 1(0.75);{a2} ⇒ d = 3(0.625) {a3} ⇒ d = 3(0.625);{a2,a3} ⇒ d = 3(0.75) 4 结束语 形式概念分析中至关重要的两个研究问题就 是属性约简问题与规则提取问题，而这两方面的 研究都是为了更准确便捷地获取决策。本文用对 象集与决策属性集之间的等价关系代替要求更为 严格的伽罗瓦连接，使决策形式背景的模型更易 ·1142· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷

第6期 张晓鹤，等：粒协调决策形式背景的属性约简与规则融合 ·1143· 获取决策。 114127 本文利用集值向量包含度给出两种规则融合 [13]CHEN Jinkun,MI Jusheng.XIE Bin,et al.A fast attrib- 方法，获取了决策形式背景的全部规则，其中包 ute reduction method for large formal decision con- 括确定性规则与大量不确定性规则。在现实生 texts[J].International journal of approximate reasoning, 2019.106:1-17. 活，这些不确定性规则可能具有重要意义，如何 [14]YANG Hongzhi,YEE L,SHAO Mingwen.Rule acquisi- 在部分不确定性规则不变的前提下进行属性约 tion and attribute reduction in real decision formal con- 简，将是未来研究的重要方向。 texts[J].Soft computing,2011,15(6):1115-1128. [15]QI Jianjun,QIAN Ting,WEI Ling.The connections 参考文献： between three-way and classical concept lattices[J]. [1]WILLE R.Restructuring lattice theory:an approach based Knowledge-based systems,2016,91:143-151. on hierarchies of concepts[Ml//RIVAL I.Ordered Sets. [16]ZHANG Qi,SHI Chongyang,NIU Zhendong,et al. Dordrecht:Springer,1982:445-470. HCBC:a hierarchical case-based classifier integrated with [2]GANTER B,WILLE R.Formal concept analysis:Math- conceptual clustering[J].Transactions on knowledge and ematical foundations[M].Berlin:Springer,1999. data engineering,2019,31(1):152-165. [3]SUTTON A,MALETIC J I.Recovering UML class mod- [17]ZHANG Xiaoyan,WEI Ling,XU Weihua.Attributes re- els from C++:a detailed explanation[J].Information and duction and rules acquisition in an lattice-valued informa- software technology,2007,49(3):212-229. tion system with fuzzy decision[J].International journal [4]MISSAOUI R,GODIN R,BOUJENOUI A.Extracting ex- of machine learning and cybernetics,2017,8(1): act and approximate rules from databases[C]//Proceedings 135-147. of the SOFTEKS Workshop on Incompleteness and Uncer- [18]张文修，梁怡，吴志伟.信息系统与知识发现M.北京」 tainty in Information Systems.Berlin,Heidelberg:Spring- 科学出版社，2003. er,1993:209-222. [19]张文修，仇国芳.基于粗糙集的不确定决策[M.北京： [5]SHAO Mingwen,LEUNG Y,WU Weizhi.Rule acquisi- 清华大学出版社，2005. tion and complexity reduction in formal decision con- ZHANG Wenxiu,QIU Guofang.Uncertain decision mak- texts[J].International journal of approximate reasoning, ing based on rough sets[M].Beijing:Tsinghua University 2014,55(1):259-274. Press,2005. [6]WU Weizhi,LEUNG Y,MI Jusheng.Granular computing 作者简介： and knowledge reduction in formal contexts[J].IEEE transactions on knowledge and data engineering,2009, 张晓鹤，女，1993生，硕士研究 21(10):1461-1474. 生，主要研究方向为粗糙集、概念格 [7]LI Jinhua,MEI Changlin,LV Yuejin.Knowledge reduc- tion in decision formal contexts[J].Knowledge-based sys- tems,2011,245):709-715. [8]LI Jinhua,MEI Changlin,LV Yuejin.Knowledge reduc- tion in real decision formal contexts[J].Information sci- ences,2012,189:191-207. 米据生，男，1966年生.教授，博 [9]LI Jinhua,MEI Changlin,WANG Junhong,et al.Rule-pre- 士生导师，主要研究方向为粗糙集、粒 served object compression in formal decision contexts us- 计算、概念格、数据挖掘与近似推理。 ing concept lattices[J].Knowledge-based systems,2014, 主持国家自然科学基金项目3项，教 71:435-445 育部博士点基金项目1项。获得省级 [10]LI Junyu,WANG Xia,WU Weizhi,et al.Attribute reduc- 自然科学奖3项。发表学术论文130 tion in inconsistent formal decision contexts based on 余篇 congruence relations[J].International journal of machine learning and cybernetics,2017,8(1):81-94. 李美争，女，1984年生，讲师，博 [11]LI Leijun,MI Jusheng,XIE Bin.Attribute reduction 士，CC℉会员，主要研究方向为粒计 based on maximal rules in decision formal context[J].In- 算、概念格。发表学术论文10余篇。 ternational journal of computational intelligence systems, 2014,7(6):1044-1053 [12]CHEN Jinkun,LI Jinjin.An application of rough sets to graph theory[J].Information sciences,2012,201:

获取决策。 本文利用集值向量包含度给出两种规则融合 方法，获取了决策形式背景的全部规则，其中包 括确定性规则与大量不确定性规则。在现实生 活，这些不确定性规则可能具有重要意义，如何 在部分不确定性规则不变的前提下进行属性约 简，将是未来研究的重要方向。 参考文献： WILLE R. Restructuring lattice theory: an approach based on hierarchies of concepts[M]//RIVAL I. Ordered Sets. Dordrecht: Springer, 1982: 445−470. [1] GANTER B, WILLE R. Formal concept analysis: Math￾ematical foundations[M]. Berlin: Springer, 1999. [2] SUTTON A, MALETIC J I. Recovering UML class mod￾els from C++: a detailed explanation[J]. Information and software technology, 2007, 49(3): 212–229. [3] MISSAOUI R, GODIN R, BOUJENOUI A. Extracting ex￾act and approximate rules from databases[C]//Proceedings of the SOFTEKS Workshop on Incompleteness and Uncer￾tainty in Information Systems. Berlin, Heidelberg: Spring￾er, 1993: 209-222. [4] SHAO Mingwen, LEUNG Y, WU Weizhi. Rule acquisi￾tion and complexity reduction in formal decision con￾texts[J]. International journal of approximate reasoning, 2014, 55(1): 259–274. [5] WU Weizhi, LEUNG Y, MI Jusheng. Granular computing and knowledge reduction in formal contexts[J]. IEEE transactions on knowledge and data engineering, 2009, 21(10): 1461–1474. [6] LI Jinhua, MEI Changlin, LV Yuejin. Knowledge reduc￾tion in decision formal contexts[J]. Knowledge-based sys￾tems, 2011, 24(5): 709–715. [7] LI Jinhua, MEI Changlin, LV Yuejin. Knowledge reduc￾tion in real decision formal contexts[J]. Information sci￾ences, 2012, 189: 191–207. [8] LI Jinhua, MEI Changlin, WANG Junhong, et al. Rule-pre￾served object compression in formal decision contexts us￾ing concept lattices[J]. Knowledge-based systems, 2014, 71: 435–445. [9] LI Junyu, WANG Xia, WU Weizhi, et al. Attribute reduc￾tion in inconsistent formal decision contexts based on congruence relations[J]. International journal of machine learning and cybernetics, 2017, 8(1): 81–94. [10] LI Leijun, MI Jusheng, XIE Bin. Attribute reduction based on maximal rules in decision formal context[J]. In￾ternational journal of computational intelligence systems, 2014, 7(6): 1044–1053. [11] CHEN Jinkun, LI Jinjin. An application of rough sets to graph theory[J]. Information sciences, 2012, 201: [12] 114–127. CHEN Jinkun, MI Jusheng, XIE Bin, et al. A fast attrib￾ute reduction method for large formal decision con￾texts[J]. International journal of approximate reasoning, 2019, 106: 1–17. [13] YANG Hongzhi, YEE L, SHAO Mingwen. Rule acquisi￾tion and attribute reduction in real decision formal con￾texts[J]. Soft computing, 2011, 15(6): 1115–1128. [14] QI Jianjun, QIAN Ting, WEI Ling. The connections between three-way and classical concept lattices[J]. Knowledge-based systems, 2016, 91: 143–151. [15] ZHANG Qi, SHI Chongyang, NIU Zhendong, et al. HCBC: a hierarchical case-based classifier integrated with conceptual clustering[J]. Transactions on knowledge and data engineering, 2019, 31(1): 152–165. [16] ZHANG Xiaoyan, WEI Ling, XU Weihua. Attributes re￾duction and rules acquisition in an lattice-valued informa￾tion system with fuzzy decision[J]. International journal of machine learning and cybernetics, 2017, 8(1): 135–147. [17] 张文修, 梁怡, 吴志伟. 信息系统与知识发现 [M]. 北京: 科学出版社, 2003. [18] 张文修, 仇国芳. 基于粗糙集的不确定决策 [M]. 北京: 清华大学出版社, 2005. ZHANG Wenxiu, QIU Guofang. Uncertain decision mak￾ing based on rough sets[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2005. [19] 作者简介： 张晓鹤，女，1993 生，硕士研究 生，主要研究方向为粗糙集、概念格 米据生，男，1966 年生，教授，博 士生导师，主要研究方向为粗糙集、粒 计算、概念格、数据挖掘与近似推理。 主持国家自然科学基金项目 3 项，教 育部博士点基金项目 1 项。获得省级 自然科学奖 3 项。发表学术论文 130 余篇 李美争, 女, 1984 年生, 讲师, 博 士, CCF 会员, 主要研究方向为粒计 算、概念格。发表学术论文 10 余篇。 第 6 期 张晓鹤，等：粒协调决策形式背景的属性约简与规则融合 ·1143·