《材料力学》课程教学课件（讲稿）第7章 应力状态分析及强度理论（应变能、强度理论）

第7章应力状态分析、强度理论一点的应力状态平面应力状态分析空间应力状态分析平面应变状态广义胡克定律应变能强度理论

第 7 章 应力状态分析、强度理论  一点的应力状态  平面应力状态分析  空间应力状态分析  平面应变状态  广义胡克定律  应变能  强度理论

回顾空间应力状态1.由主应力状态计算任意斜截面上的应力。y4ya2BBn(l, m, n)Q3D13aAPA043tPzxvo202zzZF,=0ZF,=0ZF,=0.P, =O,nP, =O,mPx =,l

x y z O σ1 σ2 σ1 σ3 σ3 σ2 1.由主应力状态计算任意斜截面上的应力。 A B C A B C n px py pz σ1 σ2 σ3 (l, m, n) x y z O 0 0 ∑F y = 0 ∑F z = ∑F x = x 1 p l = σ z 3 p n = σ y 2 p m = σ 回顾 空间应力状态

回顾Chax主应力R三向应力圆xeng_-d最大剪应力T.max42C2、广义胡克定律oiv(o, +o.)一1SE-v(α2 +0,)]8,-v(o,+.)EE[02 -v(g, +0,)]8.0IＥ１-v(,+o,)]E53 -v(01 +02)]63FTLETZXxyVV7GGG

回顾 最大剪应力 2 1 3 max σ σ τ − = 2、广义胡克定律 [ ( )] [ ( )] [ ( )]          = − + = − + = − + 3 3 1 2 2 2 1 3 1 1 2 3 1 1 1 ε σ ν σ σ ε σ ν σ σ ε σ ν σ σ E E E 三向应力圆 主应力 σ τ O σ3 σ2 σ1 σmax B D A τmax [ ( )] z z x y E ε = σ −ν σ +σ 1 [ ( )] y y x z E ε = σ −ν σ +σ 1 [ ( )] x x y z E ε = σ −ν σ +σ 1 G xy xy τ γ = G yz yz τ γ = G zx zx τ γ =

回顾H平面应力状态：?EVCE3、各向同性材料的体积应变2VE

( ) ( ) ( )          = − + = − = − 3 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 σ σ υ ε ε σ νσ ε σ νσ E E E 平面应力状态： 3、各向同性材料的体积应变 ( 123 ) 1 2 E ν θ σσσ − = ++ 回顾

6.应变能

6. 应变能

应变能密度dV5应变能密度一单位体积的应变能：V8dV1、单向应力状态dz2gEd1102uV800dyGdV222Edx2、三向应力状态02d应变能与加载方式/次序无关，设定比例加载：主单元体各面上的应力dy01按同一比例增加直至最终值。dx

V V v d d ε 应变能密度—单位体积的应变能： ε = 1、单向应力状态 2 2 2 2 1 2 1 d d ε σ σε ε ε E V E V v = = = = 应变能密度 2、三向应力状态 应变能与加载方式/次序无关, 设定 比例加载：主单元体各面上的应力 按同一比例增加直至最终值。 dz dy dx σ σ dz dy dx σ2 σ1 σ3

应变能密度每一主应力仅仅在其对应的主应变上做功而在与其它主应力对应的主应变上不做功：(o, dzdx) (s,dy) +=((o,dydz) (e,dx) +(α,dxdy) (c,dz)Y02 dxdydz(0/) + 0282 + 0;;)dVdy应变能密度为：dxdV90,0+0282+038C2dV

( 11 2 2 3 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 d d d d dzd d d d d 22 2 V yz x x y xy z ε = ⋅+ ⋅ + ⋅ σε σ ε σ ε 每一主应力仅仅在其对应的主应变上做功， 而在与其它主应力对应的主应变上不做功： 应变能密度 ( 11 2 2 3 3 ) 1 ddd 2 = ++ σε σε σε xyz ( ) 1 1 2 2 3 3 2 1 d d σ ε σ ε σ ε ε ε = = + + V V v 应变能密度为： dV dz dy dx σ2 σ1 σ3

应变能密度广义虎克定律：(α, +o)8E, -v(, +,)E3 -v(α,+α,)8E+0, +0,? -2v(0,02 +020, +0,03O2E对一般空间应力状态：+08.+0.8+OX2

广义虎克定律: [ ( )] [ ( )] [ ( )]          = − + = − + = − + 3 3 1 2 2 2 1 3 1 1 2 3 1 1 1 ε σ υ σ σ ε σ υ σ σ ε σ υ σ σ E E E [ ( )] 1 2 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 2 2 1 ε = σ +σ +σ − ν σ σ +σ σ +σ σ E v 应变能密度 ( ) x x y y z z xy xy yz yz zx zx v σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ ε = + + + + + 2 1 对一般空间应力状态：

应变能密度推导E,G，V的关系（各向同性材料）T纯剪切状态的应变能密度：V82G纯剪切状态的主应力：三Q, =T， O2 =O, O3=-T+02? +03? -2v(0,02 +020, +0,03VL2ET2(1+v)EGE2(1 +v)

应变能密度 推导 E, G, ν 的关系（各向同性材料） 纯剪切状态的应变能密度: τ 2 2 v G ε τ = σ σ=τ σ=τ 纯剪切状态的主应力: [ ( )] 1 2 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 2 2 1 ε = σ +σ +σ − ν σ σ +σ σ +σ σ E v σ =τ σ = σ = −τ 1 ， 2 0， 3 2 (1 ) E τ ν+ = ( +ν ) = 2 1 E G

应变能密度平均应力：3、体积改变能和畸变能-(0)+,+0,主单元体上主应力的分解：m02-0m=0220mO1-Om=dO0m(仅有形状改变）（仅有体积改变）V么+Va8（畸变能密度）（体积改变能密度）

m 123 ( ) 1 3 σ σσσ = ++ 3、体积改变能和畸变能 = + 主单元体上主应力的分解: 平均应力： 应变能密度 (仅有体积改变) (仅有形状改变) vε Vv d = + v 1 σ2 σ3 σ σ m σ m σ m σ2−σm=σ2 ' σ1−σm=σ1 ' σ3−σm=σ3 ' (体积改变能密度) (畸变能密度)