《材料力学》课程教学课件（讲稿）第二章 拉伸压缩与剪切 2.3 轴向拉压变形分析

材料力学第2章拉伸、压缩与剪切拉压杆的内力与应力材料在拉伸与压缩时的力学性能轴向拉压变形分析杆件在轴向载荷作用下的强度设计简单拉压超静定问题分析拉压杆件的应变能连接部分的强度计算(剪切、挤压)

第 2 章 拉伸、压缩与剪切  拉压杆的内力与应力  材料在拉伸与压缩时的力学性能  轴向拉压变形分析  杆件在轴向载荷作用下的强度设计  简单拉压超静定问题分析  拉压杆件的应变能  连接部分的强度计算(剪切、挤压)

材料力学83轴向拉压变形分析胡克定律塑性材料脆性材料da=0de颈缩606EE8OC实验结果表明：在比例极限内，正应力与正应变成正比：0=Es

塑性材料 脆性材料 实验结果表明：在比例极限内，正应力与正应变成 正比: 胡克定律 σ O ε   E §3 轴向拉压变形分析

材料力学轴向拉压变形分析胡克定律=EFNFp△1横截面面积A8=aAFAA1F.lI+A1△1EAF---轴力;E----杆材料的弹性模量（与正应力具有相同的单位)：EA--为截面的抗拉/压刚度（tensile/compressionrigidity）

Δ F l N l EA  l l    FN FP A A    胡克定律 FN-轴力； E-杆材料的弹性模量(与正应力具有相同的单位)； EA-为截面的抗拉/压刚度(tensile/compression rigidity )   E 轴向拉压变形分析

材料力学轴向拉压变形分析横向变形与泊松比△b0.000横向变形△b = b - b0.0003bD.0002试验表明：两者异号在比例极限内，80.0020.:0040.0080.000680.0010.00120.00548'=-V88泊松比-(0<v<0.5)a0vo828EE

横向变形与泊松比 横向变形  b  b  b 1 b b '    E    试验表明：两者异号 在比例极限内， ′   '   v － 泊松比 ( 0< 0.5 )   E '              ′|  轴向拉压变形分析

材料力学轴向拉压变形分析例：阶梯形直杆受力如图示。400mm300mm300mm材料的弹性模量E=200GPa;BC杆各段的横截面面积分别为DA,=A,=2500mm2， A,=O2X200kN1000mm2；杆各段的长度标500kN1300kN在图中。试求：1.杆AB，BC、CD段横截面上的正应力；2.杆AB段上与杆轴线夹45°角（逆时针方向)斜截面上的正应力和切应力；3.杆的总伸长量

例: 阶梯形直杆受力如图示。 材料的弹性模量E＝200GPa； 杆各段的横截面面积分别为 A1 ＝ A2 ＝ 2500mm2 ， A3 ＝ 1000mm2；杆各段的长度标 在图中。 试求： 1．杆AB、BC、CD段横截面上的正应力； 2．杆AB段上与杆轴线夹45°角 (逆时针方向)斜截面上 的正应力和切应力； 3. 杆的总伸长量。 轴向拉压变形分析

材料力学轴向拉压变形分析300mr400mm300mm解：1．计算各段杆横截面上的正应力R02200kN500kN300kN(1）由平衡条件求各段的轴力：200kNFnx=400kNAB段：C0Fnx2=—100kNFBC段：200kN300kNFNx3=200kNCD段：BC200kN(2）求各段横截面上的正应力：500kN300kNFNxl400×103=160×10°Pa=160MPaAB段：O xl2500×10-6A1FNr2-100×103BC段:=—40×10°Pa=—40MPa0x22500×10-6A,FNr3200×103CD段：1000 ×10- = 200 ×10°Pa = 200MPa x3A3

解：1．计算各段杆横截面上的正应力 AB段： BC段： CD段： FNx1＝400kN FNx2＝－100kN FNx3＝200kN (1) 由平衡条件求各段的轴力： (2) 求各段横截面上的正应力： AB段： BC段： CD段： 40 10 Pa 40MPa 2500 10 100 10 6 6 3 2 N 2 2 － － － ＝        A F x  x 200 10 Pa 200MPa 1000 10 200 10 6 6 3 3 N 3 3       ＝  A F x  x 160 10 Pa 160MPa 2500 10 400 10 6 6 3 1 N 1 1       ＝  A F x  x 轴向拉压变形分析

材料力学轴向拉压变形分析解：2.计算AB段杆斜截面上的正应力和切应力AB段杆横截面上的正应力：x =160MPa与轴线夹45°角（逆时针方向)斜截面上之正应力和切应力： 4s.=0xicos?0=160×cos? 45°MPa=80MPa1×160 × sin(2×45°)MPa=80MPa1422n400mm300mml300mmOamBCPaD20。=0,cos*0m200kN300kN500kN,sin(20)LEO

解：2．计算AB段杆斜截面上的正应力和切应力           sin 2 2 1 cos 2 x x ＝ ＝ AB段杆横截面上的正应力 ： 160MPa  x1  与轴线夹45°角(逆时针方向)斜截面上之正应力和切应力：   160 sin  2 45 MPa 80MPa 21 sin 2 21 cos 160 cos 45 MPa 80MPa 45 1 2 2 45 1 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝               x x 轴向拉压变形分析

材料力学轴向拉压变形分析解：3.计算杆的总伸长量400mm300mm300mmBCDFv!200kN计算各段杆的轴向变形：△I：EA500kN300kN400×103×300×10-3FnihA.200×10°×2500×10-m=0.24×10′m=0.24mmEA,(-100)×103 ×300×10-3Fn2l2-m=—0.06x10m=—0.06mmA200×10°×2500×10-6EA200×103×400×10-3FrelN200×10°x1000×10- m=0.4×10°m=0.4mmEA3/=△l,=(0.240.06+0.4)mm=0.58mmFNi=1AlEA

解：3. 计算杆的总伸长量 Δ FNl l EA 计算各段杆的轴向变形：  3 3 N1 1 -3 1 9 6 1 400 10 300 10 Δ m 0.24 10 m 0 24mm 200 10 2500 10 F l l EA          ＝ .   m 0.06 10 m 0 06mm 200 10 2500 10 100 10 300 10 Δ -3 9 6 3 3 2 N2 2 2 － ＝－ . －             EA F l l 3 3 N3 -3 3 9 6 3 200 10 400 10 Δ m 0.4 10 m 0.4mm 200 10 1000 10 F l l EA          ＝   3 1 Δ Δ 0.24 0.06 0.4 mm 0.58mm i i l l     － ＝ 轴向拉压变形分析 Δ FNl l EA 

例：AB长2m，面积为200mm2。AC面积为250mm2。E=200GPa。F-10kN。试求节点A的位移。解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水B平杆为2杆）取节点A为研究对象ZF,=0FnCOSα+Fn2=030°福ZF,=0Fn, sinα-F=0Fn =F/sinα =2F = 20kNFnIyFn2 =-Fni COSα=-/3F =-17.32kNA300Fx2、根据胡克定律计算杆的变形N2Fmi20×103×2F斜杆伸长200×10°×200×10-6 =1x10~m=1mmE,A,水平杆缩短Fx2h2-17.32×103 ×1.732FN200×10°×250×10- =-0.6×10~ m =-0.6mmlA1E,A,EA

例：AB长2m, 面积为200mm2。AC面积为250mm2。 E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。   0 Fy FN1  F /sin  2F  20kN 解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水 平杆为2杆）取节点A为研究对象 FN 2  FN1 cos   3F  17.32kN   0 Fx cos 0 FN1   FN 2  sin 0 FN1   F  2、根据胡克定律计算杆的变形 1 10 m 1mm 200 10 200 10 20 10 2 3 9 6 3 1 1 1 1 1              E A F l l N A F FN1 FN 2 x y 300 3 2 2 3 2 9 6 2 2 17.32 10 1.732 0.6 10 m 0.6mm 200 10 250 10 F l N l E A             斜杆伸长 水平杆缩短 Δ FN l l EA 

材料力学轴向拉压变形分析3、节点A的位移（以切代弧）HAA, = △/, = lmmAA, = △/, = 0.6mm30°8==-0.6mmVFA,Al,yH8=AAAAtan 30°sin30°A300AF=2+1.039=3.039mmXN2A2/2A2AAAA" = /s2 +8, = V0.62 +3.0392=3.1mmAnAA

3、节点A的位移 A F FN1 FN 2 x y 300 A A A1 A2 AA1  l1 1mm AA2  l2  0.6mm 2  x   l 0.6mm 2 1.039 3.039mm sin 30 tan 30 1 2 3 3 4            l l  y AA A A 3.1mm 0.6 3.039 2 2 2 2  AA   x  y   A A A1 A2 A3 A4 轴向拉压变形分析 1 l 2 l （以切代弧）