《高等岩石力学》课程教学资源（PPT课件）4 岩石流变力学——本构模型

3.4复杂应力条件下微分型本构方程参照弹性力学方法，将一点应力状态和应变状态分解为球张量和偏张量两部分：(i、ji=1,2,3)=S,+=ic：(i、j=1,2,3)+38Ci.01假定体积粘性应变只与球应力张量有关，偏粘性应变只与偏应力张量有关，参照一维应力状态下微分型本构方程的一般形式，则复杂应力状态下的微分型本构方程为：

3.4 复杂应力条件下微分型本构方程 参照弹性力学方法，将一点应力状态和应变状 态分解为球张量和偏张量两部分： ( 1,2,3) 3 1  ij = Sij +  ii ij i、j = ( 1,2,3) 3 1  ij = eij +  ii ij i、j = 假定体积粘性应变只与球应力张量有关，偏粘性 应变只与偏应力张量有关，参照一维应力状态下微分 型本构方程的一般形式，则复杂应力状态下的微分型 本构方程为：

P'S, =Q'ejP'S, = Q'eijP"α, = QP"on =Q"i8i也可参照弹性力学中的Hooke定律直接写出三维条件下流变微分本构的Laplace形式S, = 2Ge,S, = 2GeCi =3K8;G, =3Ke由此可得，粘性体积模量和粘性剪切模量的Laplace变换与应力、应变微分算子的Laplace变换之间的关系：

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ      =   =       =   =  ii ii ij ij ii ii ij ij P Q P S Q e P Q P S Q e     也可参照弹性力学中的Hooke定律直接写出三 维条件下流变微分本构的Laplace形式： ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ 2 ˆ 3 2     = =     = = ii ii ij ij ii ii ij ij K S Ge K S Ge     由此可得，粘性体积模量和粘性剪切模量的 Laplace变换与应力、应变微分算子的Laplace变换 之间的关系：

19G=P中K-103pm根据体积模量和剪切模量与弹性模量和泊松比之间的关系，可得粘性弹性模量和粘性泊松比的Laplace为:30'g"EE=2P'O" + P"02(1 + μ)EP'Q"-P"Q'K=3(1-2μ)2P'" + P"g

ˆ ˆ 3 1 ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ          =   = P Q K P Q G 根据体积模量和剪切模量与弹性模量和泊松比 之间的关系，可得粘性弹性模量和粘性泊松比的 Laplace为： ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 3 ˆ          +     −   =   +     = P Q P Q P Q P Q P Q P Q Q Q E  2(1 ) 3(1 2 ) E G μ E K μ  =   +   =  −

5复杂应力条件下弹粘塑性模型P.Perzyna本构模型aQ--2u0k, +(Φ(F)dijE2G其中：粘塑性流动系数屈服函数。塑性势函数

5 复杂应力条件下弹——粘塑性模型 ij kk ij ij ij Q F G E S         +  − = + ( ) 1 2 2    P.Perzyna本构模型 其中：  ——粘塑性流动系数。 F——屈服函数。 Q——塑性势函数

F>0Φ(F)(@(F)=30F≤0N2Am[exp(Fm)-1]m=1Φ(F)=≥WFmB..mm=1

       = 0 0 ( ) 0 ( ) F F F F        −  =   = = N m m m N m m m B F A F F 1 1 [exp( ) 1] ( )

3.6积分型本构模型3.6.1一维条件下积分型本构方程有前述内容知，在 α=,H(t)作用下应变相应可表达为 ε(t)= J(t)α。若在t,时刻，又增加了一个应力增量△α而变形仍在线性范围内，则新增加应变增量A& = J(t -t)△α总应变相应：(t) = J(t)o + J(t -t)△

3.6 积分型本构模型 3.6.1 一维条件下积分型本构方程 有前述内容知，在 ( ) 0  =  H t 作用下 应变相应可表达为 0  (t) = J(t) 若在t1时刻，又增加了一个应力增量  1 而变形仍在线性范围内，则新增加应变增量 1 1 1  = J (t − t ) 总应变相应： 0 1 1  (t) = J(t) + J(t − t )

a(t)ε(t)J(O)A,a00J(O)a10401t,Ao若在0时刻之后，先后有r个应力增量分别在t,时刻作用于物体，且物体变形始终在线弹性范围内，则总应变为ZJ(t-t,)△aε(t) = J(t)o +i=1

O  0  (t) 1 t  1 t  (t) O t 0 J (0) 1 J (0) 1 t 若在0时刻之后，先后有r个应力增量  i 分别在 t i 时刻作用于物体，且物体变形始终在 线弹性范围内，则总应变为： = = + −  r i i i t J t J t t 1 0  ( ) ( ) ( ) 

上式即为Boltzmann叠加原理对于更一般的应力 α(t)g(t)Ad;-11161115.5;+d5:0t可将 α(t)在d,时沿时间轴分成n个小段，do(5,)d;间内的应力增量表达为△;=ds;

上式即为Boltzmann叠加原理。 对于更一般的应力  (t)  (t) O t  0  i i i  + d  i 可将  (t) 沿时间轴分成 n 个小段，在 时 间内的应力增量表达为 i i i i d d d      ( )  = d i

由Boltzmann叠加原理，总的应变相应为ndo(5:)+ZJ(t-5,)de;(t) = J(t)o。 +de,i=1则上式可表达为积分形式n→8do()dJ(t-)ε(t) = J(t)。 +d上式为Boltzmann叠加原理的积分表达常称作继承积分，或遗传积分。得将上式中积分项分部积分

由Boltzmann叠加原理，总的应变相应为： = = + − n i i i i i d d d t J t J t 1 0 ( ) ( ) ( ) ( )        令 n →  则上式可表达为积分形式  = + − t d d d t J t J t 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )        上式为Boltzmann叠加原理的积分表达， 常称作继承积分，或遗传积分。 将上式中积分项分部积分 得

do()dJ(t-)dd = J(t-)()(5)J(t-)dsd(t-?)dJ(t-)dsα()= J(0)α(t)- J(t)α(0) +d(t-)代入Boltzmann积分表达式得dJ(t-)d.α()(t) = J(0)o(t)+ d(t -)习惯上也可将J(t)α。表达为:0do()dsJ(t-)d

  − − − = − + t t d d t t dJ t d J t d d J t 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )                     d d t dJ t J t J t t  − − = − + 0 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0) ( ) 代入Boltzmann积分表达式得  − − = + t d d t dJ t t J t 0 ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( )        习惯上也可将 0 J(t) 表达为：  + − − 0 0 ( ) ( )      d d d J t