1995年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析填空题(1)lim(1+ 3xe6【答】【详解1】用第二类重要极限：lim(1+3x)sinx(1+3x)3【详解2】化为指数函数求极限：6In(1+3x)2In(1+3x)lim(1+3x)=e6s3.xost?dt=cost'dt- 2x? cos x4【答】【详解】occos)=Jcostdt-2x?cosx.(3)设(axb)·c= 2,则[(a+b)x(b+c)7-(c+a)=【答】4.【详解】[(a+b)x(b+c)]-(c+a)=[(a+b)xb]-(c+a)+[(a+b)×c/ (c+a)=(a+b)xc+(bxc)-a=(axb)-c+(axb).c=4n(4)幂级数文n-1 的收敛半径R== 2" +(-3)【答】V3.an+1n则当lim<1时，【详解】令anJa2" +(-3)"n→o3
1995 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析 一、 填空题 (1) ( ) 2 sin 0 lim 1 3 x x x → + = . 【答】 6 e . 【详解 1】 用第二类重要极限: ( ) ( ) 6 2 1 sin 6 sin 3 0 0 lim 1 3 lim 1 3 . x x x x x x x x e → → ⎧ ⎫ +=+ = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 【详解 2】 化为指数函数求极限: ( ) ( ) ( ) 0 0 2 6ln 1 3 2 lim ln 1 3 lim sin 3 6 sin 0 lim 1 3 . x x x x x x x x x e ee → → + + → += = = (2) 2 0 2 cos x d x t dt dx = ∫ . 【答】 2 0 2 24 cos 2 cos x t dt x x − ∫ . 【详解】 ( ) ( ) ( ) 2 22 2 0 00 2 2 2 22 0 2 24 cos cos cos cos 2 cos 2 cos . x xx x d d x t dt x t dt t dt x x x dx dx t dt x x = =+ − = − ∫ ∫∫ ∫ (3)设( ) abc × ⋅= 2, 则 ⎡ ⎤ ( )( ) ab bc ca +×+ ⋅+ = ( ) ⎣ ⎦ . 【答】 4. 【详解】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) () ( )( ) 4. ab bc ca ab b ca ab c ca a b c bc a abc abc ⎡ ⎤ +×+ ⋅+ ⎣ ⎦ = +×⋅+ + +×⋅+ ⎡⎤⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦ = + ×+ × ⋅ = × ⋅+ × ⋅= (4)幂级数 ( ) 2 1 1 2 3 n n n n n x ∞ − = + − ∑ 的收敛半径 R＝ . 【答】 3. 【详解】 令 ( ) 2 1, 2 3 n n n n n a x − = + − 则当 1 1 2 lim 1 3 n n n a x a + →∞ = < 时
即x2[300]【答】020[0 0 1]【详解】在已知等式ABA=6A+BA两边右乘以A，得AB= 6E +B,[200300于是B=6(A-l-E)03026/[006]00二、选择题x+3y+2z+1=0(1)设有直线L及平面元：4x-2y+z-2=0,则直线L[2x-y-10z+3=0（A）平行于元（B）在元上（C）垂直于元.（D）与元斜交[】【答】应选(C)【详解】直线L的方向向量s为ikjs=(1,3,2)×(2,-1,-10) =13 2= -7(4, -2,1)2 -1 -10与平面元的法向量n={4,-2,1]平行，应此直线L垂直于元(2)设在[0,1]上了(x)>0,则(0)、(1)、()-f(0)或(0)-f(1)的大小顺序是(A)f (1)>f (0)>f(1)-f(0)(B) ()>f()-f(0)> f (0)
即 2 x 0, 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f f ff 0 11 0 、 、 − 或 f ( ) () 0 1 − f 的大小 顺序是 (A) ( ) ( ) () ( ) ' ' f f ff 1 0 1 0. > >− (B) ( ) ( ) () () ' ' f ff f 1 1 0 0. >− >
(C) f(1)- f(0)> f ()> f' (0)(D) f' (1)> f(0)- f(1)> f (0)【答】应选（B）【详解】由(x)>0,知(x)单调增加，又f(1)-f(0)=f()(1-0) (0<<1)根据(0)<f()<(1)知,f (0)<f()-f(0)<f'()可见正确选项为(B).(3）设(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx),则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的（A）充分必要条件（B）充分条件但非必要条件（C）必要条件但非充分条件（D）既非充分条件又非必要条件【答】应选（A【详解】因为F(x)-F(0)f(x)(1-sinx)-f (0)F. (0)= limx-0xf(x)-f(0)f(a)sinx= limx= f' (0)- f(0),f(x)(1+ sin x)- f(0)F(x)-F(0)F* (0)= limlimx-0-00x[(x)-f(0) sir+f(x= limX-0x=f (0)+f (0),可见， F (0)存在 F. (0)=F(0)F (0)-f(0)=(0)+f(0)(0)=0因此正确选项为（A），则级数(4)设u,=(-1)"In1+Nn(A)2都收敛(B)都发散17=l=n=1u,收敛而u”发散Zu,发散而u?收敛(C)(D)E二n=l
(C) () ( ) () ( ) ' ' ff f f 1 0 1 0. −> > (D) ( ) ( ) ( ) () ' ' f fff 1 0 1 0. > −> 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 由 ( ) '' f x > 0,知 ( ) ' f x 单调增加，又 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ' ff f 1 0 1 0 0 1, − = − << ξ ξ 根据 ( ) ( ) () '' ' fff 0 1 < < ξ 知， ( ) () ( ) ( ) ' ' f ff f 0 1 0 1. <− < 可见正确选项为(B). （3）设 f ( ) x 可导， Fx f x x () () = + (1 sin ,) 则 f (0 0 ) = 是 F x( ) 在 x = 0 处可导的 （A）充分必要条件. （B）充分条件但非必要条件. （C）必要条件但非充分条件. （D）既非充分条件又非必要条件. 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 因为 ( ) ( ) () ( )( ) ( ) () () ( ) () () ' 0 0 0 ' 0 1 sin 0 0 lim lim 0 0 sin lim 0 0 , x x x Fx F f x x f F x x fx f x f x x x f f − − − − → → → − −− = = − ⎡ ⎤ − = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = − ( ) ( ) () ( )( ) ( ) () () ( ) () () ' 0 0 0 ' 0 1 sin 0 0 lim lim 0 0 sin lim 0 0 , x x x Fx F f x x f F x x fx f x f x x x f f + + + + → → → − +− = = − ⎡ ⎤ − = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = + 可见， ( ) ' F 0 存在⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () '' ' ' F F ffff f 0 0 0 0 0 0 0 0. − + = ⇔ −= +⇔= 因此正确选项为（A）. (4)设 ( ) 1 1 ln 1 , n n u n ⎛ ⎞ =− + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 则级数 （A） 1 n n u ∞ = ∑ 与 2 1 n n u ∞ = ∑ 都收敛. （B） 1 n n u ∞ = ∑ 与 2 1 n n u ∞ = ∑ 都发散. （C） 1 n n u ∞ = ∑ 收敛而 2 1 n n u ∞ = ∑ 发散. (D) 1 n n u ∞ = ∑ 发散而 2 1 n n u ∞ = ∑ 收敛
【答】应选(C)【详解】因为v,= In单调递减且limy,=0Vn由莱布尼茨判别法知级数≥u,=Z(-1)"v，收敛，二n=l而u =n (1+→)1，月2！一发散台nVnn因此u也发散.=故正确选项为（C)[ai[0 1 0ai2ai3a21a2a2300(5)设A=1a21a22a23Baai2ar3P0/0[a311a33a32[ag +aa +a13]a32+a12[1 000P,=0 1则必有[101](A) APP,=B(B) AP,P, = B(C) PP,A= B.(D) P,P,A= B.[】【答】应选（(C)【详解】P,是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵，P,是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵，而B是由A先将第一行加到第三行，然后再交换第一、二行两次初等交换得到的，因此P,P,A=B.故正确选项为（C）三、(1)设u=f(x,y,=),p(x2,e',=)=0,y=sinx,其中f、β都具有一阶连续偏导数，且0求兴Oz4【详解】等式u=(x,y,=)两边同时对x求导，得du of+of dy+of dzdx"axay dxaz dx
【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 因为 1 ln 1 n v n ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 单调递减 且lim 0, n n v →∞ = 由莱布尼茨判别法知级数 ( ) 1 1 1 n n n n n u v ∞ ∞ = = ∑ ∑= − 收敛， 而 2 2 1 1 ln 1 ~ , n u n n ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 且 1 1 n n ∞ = ∑ 发散， 因此 2 1 n n u ∞ = ∑ 也发散. 故正确选项为（C）. (5)设 11 12 13 21 22 23 21 22 23 11 12 13 1 31 32 33 31 11 32 12 33 13 010 , , 1 0 0, 001 aaa a a a aaa a a a aa a aaaaaa ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ +++ A= B P 2 100 010 101 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ P ，则必有 （A） 2 = . APP B 1 (B) A = B. P P2 1 (C) = . P1 2 PA B (D) = . P2 1 PA B 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 P1 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵，P2 是将单位矩阵的第一行加到第 三行所得初等矩阵，而 B 是由 A 先将第一行加到第三行，然后再交换第一、二行两次初等交 换得到的，因此 = . P1 2 PA B 故正确选项为（C）. 三、(1)设 ( ) ( ) 2 , , , , , 0, sin , y u f xyz x e z y x = == ϕ 其中 f、ϕ 都具有一阶连续偏导数，且 0, z ∂ϕ ≠ ∂ 求 . du dx 【详解】 等式u f xyz = ( ) , , 两边同时对 x 求导，得 , du f f dy f dz dx x y dx z dx ∂∂ ∂ = +⋅+⋅ ∂∂ ∂
而d=cosx.又等式p(x2,e",=)=0两边同时对x求导，得dx2++0dxdx解得史(2xp, +e"cosxp2)dxP3du ofof.x-% -(2xp, +ecos xp2)故Odx-axayOzp(2)设函数(x)在区间[0,1]上连续，并设[,(x)dx=A,求Jdx"(x)(n)d)【详解1】交换积分次序，得T'dxf"f(x)r(v)dy=J'dyf(x)r(0)dx=f'dxf,(o)f(x)dy于是'dax"(x)()dy=[da" ()()ay+J'a (x)()dy-a ()(0)d-() x T' (0)y1A【详解2】分部积分，得'daxf" (x)r(v)dy= J(" (v)dy) (x)dx-((0)( s(0)da)=A-I('T()('())-+[(l-4-4-4四、（1）计算曲面积分』=ds,其中为锥面=+在柱体+≤2x内的部分.A--()() a=-/2do.因为dS=1【详解】于是
而 cos . dy x dx = 又等式 ( ) 2 , 0 y ϕ xez = 两边同时对 x 求导，得 '' ' 12 3 2 0, y y dy dz xe e dx dx ϕϕ ϕ ⋅+ ⋅ +⋅ = 解得 ( ) ' ' ' 1 2 3 1 2 cos , dz y xe x dx ϕ ϕ ϕ =− + 故 ( ) ' sin ' ' 1 2 3 1 cos 2 cos . du f f f x x xe x dx x y z ϕ ϕ ϕ ∂∂ ∂ =+ − + ∂∂ ∂ （2）设函数 f ( ) x 在区间[0,1]上连续，并设 ( ) 1 0 f x dx A = , ∫ 求 ()() 1 1 0 . x dx f x f y dy ∫ ∫ 【详解 1】 交换积分次序，得 () () () () () () 11 1 1 0 00 00 , y x x dx f x f y dy dy f x f y dx dx f y f x dy = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ 于是 ()() ()() ()() () () () () 11 11 1 0 0 00 1 1 0 0 1 1 0 0 1 2 1 2 1 2 x x x dx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy f x dx f y dy ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = = ⋅ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 . 2 = A 【详解 2】 分部积分，得 ()() () ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) 1 1 11 0 0 1 1 0 1 11 1 2 0 2 1 2 22 1 0 1 11 2 2 | x x x x x x x dx f x f y dy f y dy f x dx f y dy d f t dt A f t dt d f y dy A f t dt A A = ⋅ = = − ⎡ ⎤ =+ =− = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ 2 . 2 A 四、（1）计算曲面积分 zdS, ∑ ∫∫ 其中∑ 为锥面 2 2 z xy = + 在柱体 2 2 x + y x ≤ 2 内的部分. 【详解】 因为 2 2 1 2, z z dS d d x y σ σ ⎛ ⎞ ∂ ∂⎛ ⎞ =+ + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂⎝ ⎠ 于是
[J zds= [/x +2da=2de[20rdr=162cosde32 J2.9(2）将函数f(x)=x-1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦级数因为【详解】Z10dx=010x-1)cos nx dx = -[.(x-1)d sin nzxL22n元2'sin nxdx=--[-1(-2 ,n元Jo2(-1)-14.:n元x,xe[0,2],故f(x)2O7n?元22=1五、设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，焦点记为(3.3)A.已知MA=OA,且L过点，求L的方程(22)【详解】设点M的坐标为（x,J)，则切线MA的方程为Y-y=y(X-x)令X=0,则Y=-xy,故点A的坐标为(0,-xy)由MA=OA,有[y-xy|= /(x-0) +(y-y+xy)化简后，得2yy -- y =-x,令z=y，得dz12=-Xdxx解得z=x(-x+c),即y=-x2+cx由于所求曲线在第一象限内，故y=Vcx-x.再以条件）代入得c=3.于是所求曲
2cos 22 2 3 2 2 0 0 2 16 2 2 2 cos 3 32 2. 9 D zdS x y d d r dr d π π θ σ π θ θθ − =+ = = ∑ = ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ （2）将函数 fx x x () ( ) =− ≤≤ 10 2 展开成周期为 4 的余弦级数. 【详解】 因为 ( ) ( ) ( ) () ( ) 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 0 2 1 0, 2 2 2 1 cos 1 sin 22 2 2 4 sin 1 1 , 1,2, . 2 n n a x dx nx nx a x dx x d n n x dx n n n π π π π π π = −= =− = − =− = − − = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ " 故 ( ) ( ) [ ] 2 2 1 4 1 1 , 0, 2 . 2 n n n x f x cos x n π π ∞ = − − = ∈ ∑ 五、设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交，焦点记为 A.已知 MA OA = ,且 L 过点 3 3, , 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 求 L 的方程. 【详解】 设点 M 的坐标为( ) x, y ，则切线 MA的方程为 ( ) ' Y y yX x −= − . 令 X = 0, 则 ' Y y xy = − , 故点 A 的坐标为( ) ' 0, y xy − . 由 MA OA = ,有 ( ) ( ) 2 2 ' ' y xy x y y xy − = − + −+ 0 , 化简后，得 ' 2 1 2 , yy y x x − =− 令 2 z y = ，得 1 , dz z x dx x − =− 解得 z x xc = −+ ( ), 即 2 2 y x cx =− + . 由于所求曲线在第一象限内，故 2 y cx x = − .再以条件 3 3 2 2 y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 代入得 c = 3.于是所求曲
线方程为y= 3x-x(0<x<3)六、设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分[,2xydx+Q(x,y)dy与路径无关，并且对任意t恒有[(a) 2xydx+Q(x,y)dy=J() 2xydx+0(x, y)dy求 Q(x,y)_ 0(2xy),由曲线积分与路径无关的条件知4=2x,于是有【详解】axayQ(x, y)=x*+C(v),其中 C()为待定函数.又[(a) 2xdx+0(x, y)dly = J'[r +C(v)]ky =f + f'c(0) dy) 2xydx+0(x, y)dly= J'[1P +C(v) jby=1+f'c(y)dy0.01由题设知P + f'c(v)dy=I+ J'c(v)dy,两边对t求导得2t =1+C(0),于是C()=2t-1,从而C(y)=2y-1,故有Q(x, j)= x2+2y-1.七、假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数，并且g (x)±0, f (a)=f(b)=g(a)=g(b),试证:(1)在开区间(a,b)内g(x)+0在开区间(a,b)内至少存在一点,使少-((2)g() g ()【详解】(1)用反证法：若存在点ce(a,b)使g(c),则对g(x)在[a,c]和[c,b]上分别应
线方程为 ( ) 2 y xx = − 3 0<x<3 . 六、设函数Qxy ( ) , 在 xOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 2 , ( ) L xydx Q x y dy + ∫ 与 路径无关，并且对任意t 恒有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 1, ( ) 0,0 0,0 2 , 2 , t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy += + ∫ ∫ 求 Qxy ( ) , . 【详解】 由曲线积分与路径无关的条件知 (2 ) 2 , Q xy x x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ 于是有 ( ) () 2 Qxy x C y , , = + 其中 C y( ) 为待定函数.又 ( ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) () () ,1 1 1 2 2 0,0 0 0 1, 2 0,0 0 0 2, , 2 ,1 , t t tt xydx Q x y dy t C y dy t C y dy xydx Q x y dy C y dy t C y dy + = + =+ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ + = + =+ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ 由题设知 () () 1 2 0 0 , t t C y dy t C y dy + =+ ∫ ∫ 两边对t 求导得 21 , t Ct = + ( ) 于是 Ct t ( ) = − 2 1, 从而Cy y ( ) = − 2 1, 故有 ( ) 2 Qxy x y , 2 1. = + − 七 、 假设函数 f ( ) x 和 g x( ) 在 [a b, ] 上存在二阶导数，并且 () () ( ) () ( ) '' g x f a f b ga gb ≠ === 0, , 试证： （1） 在开区间( ) a b, 内 g x( ) ≠ 0; （2） 在开区间( ) a b, 内至少存在一点ξ,使 ( ) ( ) ( ) ( ) '' '' . f f g g ξ ξ ξ ξ = 【详解】 （1）用反证法：若存在点c ab ∈( , ) 使 g c( ),则对 g x( ) 在[a c, ] 和[c b, ] 上分别应
用罗尔定理，知存在E(a,c)和2 =(c,b),使g (5)=g (52)=0再对g()在[51,]上应用罗尔定理，知存在53=(51,52),使g (5)=0. 这与题设g(x)+0矛盾，故在(a,b)内g(x)+0(3）令F(u)=f(x)g (x)-g(x)F (x),则 F(x)在[a,b)上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,根据罗尔定理知，存在e(a,b),使F()=0即有f ()g ()-f ()g()=0(A)__ ()故得g(5) g ()八、设三阶实对称矩阵A的特征值为=-1,==1,对应于的特征向量为5=(0,1,1),求 A【详解】设对应于==1的特征向量为=（,x2,），根据A为实对称矩阵的假设知5=0,即x+x=0,解得52 =(1,0,0)°,5, =(0,1,1)"于是由A(51,52,5)=(451,252,15)有A=(451,252, 35)(51,52,5)01000010九、设A是n阶矩阵，满足AAT=E（E是n阶单位阵，AT是A的转置矩阵，A<O,求[4 + E].【详解】根据AAT=E有[A+E|=|A+ AA|=A(E+ A')=|A|E + A|=|A|A+E|,于是(1-[4I)[A+E|= 0
用罗尔定理，知存在ξ1 ∈( ) a c, 和ξ 2 ∈(c b, ,) 使 ( ) ( ) ' ' 1 2 g g ξ ξ = = 0. 再 对 ( ) ' g x 在 [ξ1 2 ,ξ ] 上应用罗尔定理，知存在 ξ 3 12 ∈(ξ ξ, ,) 使 ( ) '' 3 g ξ = 0. 这与题设 ( ) '' g x ≠ 0 矛盾，故在( ) a b, 内 g x( ) ≠ 0. （3） 令 ( ) ( ) () () ( ) ' ' F x f xg x gx f x = − , 则 F ( x) 在[a b, ] 上连续，在( ) a b, 内可导，且 Fa Fb () () = = 0, 根据罗尔定理知，存在ξ ∈(a b, ,) 使 ( ) ' F ξ = 0, 即有 () () () () '' '' fg f g ξ ξ ξξ − = 0, 故得 ( ) ( ) ( ) ( ) '' '' . f f g g ξ ξ ξ ξ = 八 、 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 23 λ = − == 1, 1, λ λ 对应于 λ1 的特征向量为 1 ( ) 0,1,1 , T ξ = 求 A . 【详解】 设对应于 2 3 λ = = λ 1的特征向量为 ( ) 123 , , T ξ = xxx 根据 A 为实对称矩阵的假设知 1 0, T ξ ξ = 即 2 3 x x + = 0, 解得 2 3 () ( ) 1,0,0 , 0,1, 1 . T T ξ ξ = =− 于是由 ( )( ) 1 2 3 11 2 2 3 3 A ξ , , , , ξ ξ λξ λξ λξ = 有 ( )( ) 1 11 2 2 33 1 2 3 1 , , , 0 1 0 01 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1. 10 110 1 0 1 0 λξ λξ λξ ξ ξ ξ − − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =− = − ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −− − − A = 九、设 A 是 n 阶矩阵，满足 T AA E= （ E 是 n 阶单位阵， T A 是 A 的转置矩阵， A < 0, 求 A+ E . 【详解】 根据 T AA E= 有 == == ( ) , T T A+ E A+ AA A E + A A E + A A A+ E 于是( ) 1 0. − = A A+ E
因为1-A|>0,故A+E|=0十、填空题（1）设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X?的数学期望E(X2)=【答】 18.4.【详解】由题设知，X服从n=10,P=0.4的二项分布，因此有 E(X)=np=4,D(X)=np(1-p)=2.4,故E(x3)= D(X)+[E(X)} =18.4(2)设X和Y为两个随机变量，且P(X≥0,Y≥0)=号,P(X≥0)=P(Y≥0)=号,则P(max(X,Y)≥0)=【答】57【详解】 令A={X<0),B=(Y<0),则P(max(X,Y)≥0)=1-P(max(X,I)<0)=1-P(X<0,Y <0)=1-[1-P(AB)]= P(A+B)= P(A)+ P(B)-P(AB)= P(X≥0)+P(Y ≥0)- P(X≥0,Y≥0)-4.4.3.57777[e",x≥0+一、设随机变量X的概率密度为fx(x)求随机变量Y=e的概率密度[0, x<0S (o).【详解】根据分布函数的定义，有y<10fy (0)= P(Y<y)= P(e*<y)[P(X<Iny),y≥于是当y≥1时，fr(0)=P(X<lny)=fm"e-*dx因此所求概率密度函数为
因为1 0, − > A 故 A+ E = 0. 十、填空题 （1）设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 0.4，则 2 X 的数 学期望 ( ) 2 E X = . 【答】 18.4. 【详解】 由题设知， X 服从 n p = = 10, 0.4 的二项分布， 因此有 E X np D X np p () () == = −= 4, 1 2.4, ( ) 故 ( ) () () 2 2 EX DX EX =+ = ⎡ ⎤ 18.4 ⎣ ⎦ (2)设 X 和Y 为两个随机变量，且 { } { }{ } 3 4 0, 0 , 0 0 , 7 7 P X Y P X PY ≥ ≥= ≥= ≥= 则 P XY {max , 0 ( ) ≥ =} . 【答】 5 . 7 【详解】 令 AX BY = < =< { 0, 0, } { } 则 P XY P XY P X Y {max , 0 1 max , 0 1 0, 0 ( ) ≥ =− < =− < < } { ( ) } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }{ }{ } 1 1 0 0 0, 0 4435 . 7777 P AB P A B P A P B P AB P X PY P X Y =− − = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =+− = ≥+ ≥− ≥ ≥ =+−= 十一、设随机变量 X 的概率密度为 ( ) , 0 0, 0 x X e x f x x − ⎧ ≥ = ⎨ ⎩ < ，求随机变量 x Y e = 的概率密度 ( ). Yf y 【详解】 根据分布函数的定义，有 () { } ( ) { } 0, 1 ln , 1 x Y y f y PY y Pe y PX y y ⎧ < = <= <= ⎨ < ≥ ⎩ 于是当 y ≥1时， () { } ln 0 ln . y x Yf y P X y e dx − = <= ∫ 因此所求概率密度函数为
0,y<1dF, (d)fr(o)=91(3,J2]dy
( ) ( ) 2 0, 1 1 , 1 Y Y y dF y f y dy y y ⎧ < ⎪ = = ⎨ ≥ ⎪ ⎩